一道斜率為定值?？碱}的探究與變式

摘要：本文對(duì)一道高三?？贾械男甭识ㄖ祮栴}進(jìn)行推廣與變式，得到橢圓中的幾個(gè)一般性結(jié)論，并通過類比得到雙曲線和拋物線中的相關(guān)結(jié)果.

關(guān)鍵詞：斜率;定值;中點(diǎn);頂點(diǎn)

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）07-0028-03

收稿日期：2021-12-05

作者簡(jiǎn)介：高繼浩（1987-），男，四川省天全人，碩士，中學(xué)一級(jí)教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]

1 試題呈現(xiàn)

題目（2021年5月北京市東城區(qū)高三二模）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點(diǎn)為F，左、右頂點(diǎn)分別為A-2，0，B2，0，AF=3FB.

（1）求橢圓C的方程;

（2）設(shè)過點(diǎn)P2，1的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過點(diǎn)N作x軸的垂線，與直線BM交于點(diǎn)D，E為線段DN的中點(diǎn).證明：直線BE的斜率為定值.

答案：（1）x24+y23=1;

（2）直線BE的斜率為-32.

2 問題提出

改變?cè)囶}第（2）問點(diǎn)P的坐標(biāo)后，直線BE的斜率還為定值嗎？注意到試題中B，P兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，利用軟件GeoGebra作圖發(fā)現(xiàn)，若保持點(diǎn)P的橫坐標(biāo)不變，改變點(diǎn)P的縱坐標(biāo)且點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合，則當(dāng)直線l繞著點(diǎn)P轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，直線BE的斜率仍為定值.這是否具有一般性呢？

3 推廣探究

命題1設(shè)B為橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)Pa，tt≠0的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M，N，過點(diǎn)N作x軸的垂線，與直線BM交于點(diǎn)D，E為線段DN的中點(diǎn)，則直線BE的斜率為定值-b2at.

證明顯然直線MN的斜率存在，設(shè)其方程為y-t=kx-a，與橢圓方程聯(lián)立，消去y整理，得

b2+a2k2x2+2a2kt-akx+a2（a2k2-2atk+t2-b2）=0.

設(shè)Mx1，y1，Nx2，y2，則Δ>0，且

x1+x2=2a2kak-tb2+a2k2，

x1x2=a2a2k2-2atk+t2-b2b2+a2k2.

直線BM的方程為

y=y1x1-ax-a.

令x=x2，得

yD=y1x2-ax1-a.

故yE=yD+y22=y1x2-a+y2x1-a2x1-a.

所以kBE=yEx2-a=y1x2-a+y2x1-a2x1-ax2-a，

其中分子

y1x2-a+y2x1-a=kx1-ak+tx2-a+kx2-ak+tx1-a

=2kx1x2+t-2akx1+x2+2aak-t

=[2a2ka2k2-2atk+t2-b2+t-2ak·2a2k·ak-t+2aak-tb2+a2k2]/（b2+a2k2）

=-2ab2tb2+a2k2，

分母

2x1-ax2-a

=2x1x2-ax1+x2+a2

=2·[a2a2k2-2atk+t2-b2-a·2a2k·ak-t+a2b2+a2k2]/（b2+a2k2）

=2a2t2b2+a2k2，

故kBE=-2ab2t2a2t2=-b2at.

考慮左頂點(diǎn)得到：

命題2設(shè)A為橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)P-a，tt≠0的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M，N，過點(diǎn)N作x軸的垂線，與直線AM交于點(diǎn)D，E為線段DN的中點(diǎn)，則直線AE的斜率為定值b2at.

參照命題1可證得.

命題3設(shè)B為橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的上頂點(diǎn)，過點(diǎn)Pt，bt≠0的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M，N，過點(diǎn)N作y軸的垂線，與直線BM交于點(diǎn)D，E為線段DN的中點(diǎn)，則直線BE的斜率為定值-bta2.

考慮下頂點(diǎn)得到：

命題4設(shè)A為橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的下頂點(diǎn)，過點(diǎn)Pt，-bt≠0的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M，N，過點(diǎn)N作y軸的垂線，與直線AM交于點(diǎn)D，E為線段DN的中點(diǎn)，則直線AE的斜率為定值bta2.

4 類比探究

在雙曲線和拋物線中有：

命題5設(shè)B為雙曲線x2a2-y2b2=1a>0，b>0的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)Pa，tt≠0的直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)M，N，過點(diǎn)N作x軸的垂線，與直線BM交于點(diǎn)D，E為線段DN的中點(diǎn)，則直線BE的斜率為定值b2at.

命題6設(shè)A為雙曲線x2a2-y2b2=1a>0，b>0的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)P-a，tt≠0的直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)M，N，過點(diǎn)N作x軸的垂線，與直線AM交于點(diǎn)D，E為線段DN的中點(diǎn)，則直線AE的斜率為定值-b2at.

命題5（命題6）的證明過程與命題1類似，略.

命題7設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)P（0，t）t≠0的直線與拋物線y2=2pxp>0交于不同的兩點(diǎn)M，N，過點(diǎn)N作x軸的垂線，與直線OM交于點(diǎn)D，E為線段DN的中點(diǎn)，則直線OE的斜率為定值pt.

證明顯然直線MN的斜率存在且不為零，設(shè)其方程為y=kx+t，與拋物線方程聯(lián)立，消去y，得k2x2+2tk-px+t2=0.

設(shè)Mx1，y1，Nx2，y2，則Δ>0，且

x1+x2=2p-tkk2，x1x2=t2k2.

直線OM的方程為y=y1x1x.

令x=x2，得yD=x2y1x1.

故yE=yD+y22=x2y1+x1y22x1.

所以kOE=yEx2=x2y1+x1y22x1x2=x2kx1+t+x1kx2+t2x1x2=2kx1x2+tx1+x22x1x2=2t2k+2tp-tk2t2=pt.

命題8設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)P（0，t）t≠0的直線與拋物線y2=-2pxp>0交于不同的兩點(diǎn)M，N，過點(diǎn)N作x軸的垂線，與直線OM交于點(diǎn)D，E為線段DN的中點(diǎn)，則直線OE的斜率為定值-pt.

參考文獻(xiàn)：

[1]?高繼浩.一道雙曲線題的探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2021（07）：33-34.

[2] 高繼浩.一道武漢市質(zhì)檢試題的探究與變式[J].數(shù)學(xué)通訊，2021（15）：32-33.

[3] 高繼浩.探究一道兩線關(guān)系的質(zhì)檢試題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2021（03）：36-37.

[責(zé)任編輯：李璟]