對(duì)2021年一道高考題目的深入研究

摘要：文章大膽揣測(cè)新高考數(shù)學(xué)試卷22題的右側(cè)不等式的命制過(guò)程，結(jié)合題源分析，給出了切線放縮、割線放縮證明不等式這一方法，并在高考題目的基礎(chǔ)上給出了變式，發(fā)展出了直線放縮與曲線放縮，豐富了證明不等式的方法.

關(guān)鍵詞：切線放縮;割線放縮;直線放縮;曲線放縮

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）07-0023-05

收稿日期：2021-12-05

作者簡(jiǎn)介：王振民（1974.12-），男，山東省東平人，本科，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]

原創(chuàng)題目命制的流程，一般是先要明確考查的知識(shí)，在命題者固有知識(shí)的基礎(chǔ)上，通過(guò)邏輯推理，借助數(shù)學(xué)軟件，進(jìn)行相應(yīng)數(shù)學(xué)運(yùn)算，經(jīng)過(guò)反復(fù)驗(yàn)證、修證、查重等過(guò)程，最終形成一道新的題目.原創(chuàng)題要滿足題目敘述的完整性、簡(jiǎn)潔性與準(zhǔn)確性，提供的答案要滿足知識(shí)考查的全面性與解題過(guò)程的一般性、多樣性，滿足答案最終結(jié)果的簡(jiǎn)單性.一道比較成功的數(shù)學(xué)原創(chuàng)題，考查的知識(shí)與方法要有極強(qiáng)的針對(duì)性，同種形式的問(wèn)題考查不同的知識(shí)與方法，最大限度地發(fā)揮數(shù)學(xué)題目全面考查知識(shí)的作用.多問(wèn)之間有所銜接，達(dá)到多一問(wèn)則簡(jiǎn)，少一問(wèn)則繁的目的.

2021年新高考數(shù)學(xué)22題的第（2）問(wèn)，左側(cè)不等式屬于極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，直接構(gòu)造φ（x）=f（x）-f（2-x）即可，而對(duì)于右側(cè)不等式來(lái)說(shuō)，答案給出的方法是構(gòu)造g（x）=f（x）-f（e-x），同一個(gè)題目中的兩個(gè)不等式證明，雖然具體證明過(guò)程不完全一樣，但是證明的數(shù)學(xué)思想與方法相同，這對(duì)于一道高考題目來(lái)說(shuō)是令人驚訝的.筆者根據(jù)自己長(zhǎng)年命題的經(jīng)驗(yàn)知道，當(dāng)命題人命制出一道題目后，命題人提供的解題方法最能體現(xiàn)命題人的命制過(guò)程與命制思想.當(dāng)題目被廣大的教師與學(xué)生解答后，會(huì)呈現(xiàn)出更多的出乎命題人意料的解法.本文大膽揣測(cè)命題人命制題目的題源與過(guò)程，給出對(duì)應(yīng)的解法，并加以推廣.

1 沿波討源

1.1 切線放縮

題目1（2015年天津理20）已知函數(shù)f（x）=nx-xn，x∈R，其中n∈N*，n≥2.

（1）討論f（x）的單調(diào)性;

（2）設(shè)曲線y=f（x）與x軸正半軸的交點(diǎn)為P，曲線在點(diǎn)P處的切線方程為y=g（x），求證：對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)x，都有f（x）≤g（x）;

（3）若關(guān)于x的方程f（x）=a（a為實(shí)數(shù)）有兩個(gè)正實(shí)根x1，x2，求證：|x2-x1|<a1-n+2

.

分析本題的第（2）問(wèn)為第（3）問(wèn)的切線放縮做了鋪墊，提示了在原點(diǎn)處亦作函數(shù)的切線進(jìn)行放縮.原點(diǎn)處的切線方程為y=nx，由（2）可知在點(diǎn)P （n1n-1，0）處的切線方程為

g（x）=（n-n2）（x-n1n-1）.

設(shè)y=a與兩條切線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x3，x4，如圖1所示，易證得x3<x1，x2<x4.

則|x2-x1|<|x4-x3|.

易解得x3=an，x4=an（1-n）+n1n-1.

所以|x4-x3|=a1-n+n1n-1.

因?yàn)?/p>

n≥2時(shí)，2n-1=（1+1）n-1≥1+C1n-1=1+n-1=n，所以2≥n1n-1.

所以|x4-x3|<a1-n+2.

即|x2-x1|<a1-n+2成立.

總結(jié)直線y=a與上凸或下凸的單峰函數(shù)交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，與函數(shù)峰值兩側(cè)的切線交點(diǎn)C，D的橫坐標(biāo)分別為x3，x4，則AB<CD（AB≤CD），即|x2-x1|<|x4-x3|（|x2-x1|≤|x4-x3|）.1.2 割線放縮

題目2（2020年寧陽(yáng)縣第一中學(xué)高三段考題）已知f（x）=xlnx與y=a有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，其橫坐標(biāo)分別為x1，x2（x1<x2）.

（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

（2）求證：x2-x1>ae+1.

分析如圖2，x2-x1表示線段AB的長(zhǎng)度，通過(guò)圖象可以看出，可以將線段AB適當(dāng)縮短為長(zhǎng)度為ae+1的線段.

因?yàn)楹瘮?shù)圖象是上凸的，故可以考慮割線放縮.

函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)為M（1e，-1e），與x軸的交點(diǎn)為N（1，0），連接OM，MN，割線OM的方程為y=-x，割線MN的方程為y=1e-1（x-1）.

設(shè)直線y=a與兩條割線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x3，x4，且x3<x4.

易證得x1<x3，x4<x2，則x4-x3<x2-x1.易解得x3=-a，x4=ae-a+1.

故x4-x3=ae+1.

所以x2-x1>ae+1成立.

總結(jié)直線y=a與上凸或下凸的單峰函數(shù)交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，與函數(shù)峰值兩側(cè)的割線交點(diǎn)C，D的橫坐標(biāo)分別為x3，x4，則AB>CD，即|x2-x1|>|x4-x3|.

題目1利用的是切線放縮，題目2利用的是割線放縮，能否在一個(gè)題目中同時(shí)利用切線與割線放縮呢？

2 切、割線放縮的綜合應(yīng)用

題目3（2021年新高考數(shù)學(xué)22題）已知函數(shù)f（x）=x（1-lnx）.

（1）討論f（x）的單調(diào)性;

（2）設(shè)a，b為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且blna-alnb=a-b，證明：2<1a+1b<e.

分析我們證明1a+1b<e.由第（2）問(wèn)可知

1a（1-ln1a）=1b（1-ln1b）.

令x1=1a，x2=1b，則

x1（1-lnx1）=x2（1-lnx2）.

所以f（x1）=f（x2）=t.只需要證明x1+x2<e.

函數(shù)f（x）的最大值點(diǎn)為P（1，1），與x軸的交點(diǎn)為E（e，0）.如圖3，割線OP方程為y=x，過(guò)點(diǎn)E的切線方程為y=-x+e.

設(shè)直線y=t與割線、切線的交點(diǎn)分別為x3，x4.

易證得x1<x3，x2<x4.

則x1+x2<x3+x4.易解得x3=t，x4=e-t.

所以x3+x4=e.于是x1+x2<e成立.

總結(jié)直線y=a與上凸或下凸的單峰函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，在函數(shù)峰值兩側(cè)分別作割線、切線，直線y=a與割線、切線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x3，x4，則x1+x2<x3+x4或x1+x2>x3+x4.

高考題的精彩之處就是在學(xué)生具備的知識(shí)與方法的基礎(chǔ)上再提高，既著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，又有較高的思維含量，考查學(xué)生的發(fā)散性思維與創(chuàng)新能力.我相信本題的命制是命題人研究切線放縮與割線放縮時(shí)兩種思想方法碰撞的結(jié)果.3 高考題目變式

3.1 切割線放縮

變式1已知函數(shù)f（x）=x（1-lnx）.

（1）討論f（x）的單調(diào)性;

（2）存在兩個(gè)不等的正數(shù)x1，x2使得f（x1）=f（x2）=a，證明：x1+x2>a（2-e）+e-1e.

分析證明x1+x2>a（2-e）+e-1e，因?yàn)榫ca關(guān)，可以考慮切、割線放縮將x1與x2縮小.

如圖4，圖象是上凸的，所以可以通過(guò)切線將x1縮小，通過(guò)割線將x2縮小.

函數(shù)f（x）的最大值點(diǎn)為P（1，1），與x軸的交點(diǎn)為E（e，0）.由于不等式中含1e，故在點(diǎn)A（1e，2e）處作切線，切線方程為y=x+1e.

連接EP，割線EP的方程為y=11-e（x-e）.

設(shè)y=a與切線、割線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x3，x4，易證得x3≤x1，x4<x2.

則x1+x2>x3+x4.

易解得x3=a-1e，x4=e+a（1-e）.

所以x3+x4=a（2-e）+e-1e.

于是x1+x2>a（2-e）+e-1e得證.

3.2 切線放縮

變式2已知函數(shù)f（x）=x（1-lnx）.

（1）討論f（x）的單調(diào)性;

（2）存在兩個(gè)不等的正數(shù)x1，x2（x1<x2），使得

f（x1）=f（x2）=a，證明：x2-x1<e+1e-2a.

分析因?yàn)楹瘮?shù)圖象是上凸的，證明關(guān)于f（x）與y=a交點(diǎn)的距離小于某個(gè)值的不等式，可以考慮切線放縮.

由于不等式中含1e，故在點(diǎn)A（1e，2e）處作切線，切線方程為y=x+1e，如圖5;f（x）與x軸的交點(diǎn)E（e，0）處的切線方程為y=-x+e.

直線y=a與兩條切線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x3，x4，易證得x1≥x3，x2<x4.

所以x2-x1<x4-x3.

易解得x3=a-1e，x4=e-a.

則x4-x3=e+1e-2a.

于是x2-x1<e+1e-2a得證.

3.3 割線放縮

變式3已知函數(shù)f（x）=x（1-lnx）.

（1）討論f（x）的單調(diào)性;

（2）存在兩個(gè)不等的正數(shù)x1，x2（x1<x2），使得

f（x1）=f（x2）=a，證明：x2-x1>e（1-a）.

分析因?yàn)楹瘮?shù)圖象是上凸的，證明關(guān)于f（x）與y=a交點(diǎn)的距離大于某個(gè)值的不等式，可以考慮割線放縮.

函數(shù)f（x）的最大值點(diǎn)為P（1，1），與x軸的交點(diǎn)為E（e，0）.如圖6，連接OP，EP，割線OP的方程為y=x，割線EP的方程為y=11-e（x-e）.

兩條割線與直線y=a交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x3，x4，易證得x1<x3，x4<x2.

則x2-x1>x4-x3.

易解得x3=a，x4=a（1-e）+e.

則x4-x3=e（1-a）.

于是x2-x1>e（1-a）得證.

4 切割線放縮應(yīng)用的推廣

推廣1函數(shù)f（x）=xex，若f（x）=a有兩個(gè)根x1，x2，證明：x2-x12>1-ae.

分析要證x2-x12>1-ae成立，需證x2-x1>2-2ae.容易想到割線放縮.函數(shù)f（x）的最大值點(diǎn)為P（1，1e），如圖7，連接OP，割線OP的方程為y=1ex，與直線y=a交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x3，易證得x3>x1，解得x3=ae.

在直線x=1的右側(cè)，顯然過(guò)點(diǎn)P的割線部分在曲線f（x）的上方，部分在曲線f（x）的下方，無(wú)法實(shí)現(xiàn)x2的有效放大，故放棄割線放縮.

因?yàn)閤3>x1，所以x2-x1>x2-x3=x2-ae>2-2ae，得x2>2-ae.

過(guò)點(diǎn)P（1，1e）的直線設(shè)為y-1e=k（x-1），將點(diǎn)（2-ae，a）代入直線方程解得k=-1e.

所以得直線y=-1e（x-2）.

直線y=-1e（x-2）與直線y=a交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x4，易證得x4<x2.

則x2-x1>x4-x3.

解得x4=2-ae.

所以x4-x3=2-2ae.

于是x2-x1>2-2ae得證.

即x2-x12>1-ae成立.

推廣2如圖8，已知函數(shù)f（x）=lnx-ax，若x1，x2（x1<x2）是f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x2-x1>21-eaa.

分析由f（x）=lnx-ax有兩個(gè)零點(diǎn)可得0<a<1e，0<x1<1a<x2.

由21-eaa可聯(lián)想到Δa，

即x3，x4（x3<x4）是g（x）=ax2-2x+e的兩個(gè)零點(diǎn).

顯然x3<1a<x4.

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）與g（x）的極值點(diǎn)相同，所以只需要滿足g（x1）>0，g（x2）>0.

即ax21-2x1+e>0，ax22-2x2+e>0.

因?yàn)閘nx1-ax1=0，lnx2-ax2=0，

即a=lnx1x1，a=lnx2x2.

所以x1lnx1-2x1+e>0，x2lnx2-2x2+e>0.

令h（x）=xlnx-2x+e，則h′（x）=lnx-1，所以h（x）在（0，e）上單調(diào)遞減，在（e，+

SymboleB@

）上單調(diào)遞增.

因?yàn)閒（e）=1-ae≠0，

所以h（x）的定義域?yàn)椋?，e）∪（e，+

SymboleB@

），

可得h（x）>h（e）=0.

故h（x1）>0，h（x2）>0.所以g（x1）>0，g（x2）>0.

因?yàn)間（x3）=g（x4）=0，

所以x1<x3<x4<x2.

則x2-x1>x4-x3.

因?yàn)閤4-x3=（x3+x4）2-4x3x4

=4a2-4aea2

=21-aea，

于是x2-x1>21-eaa得證.

總結(jié)深刻理解切割線放縮的思想，在此基礎(chǔ)上，可以推廣到一般直線放縮（推廣1）與曲線放縮（推廣2），進(jìn)一步豐富高中數(shù)學(xué)放縮方法.

筆者認(rèn)為，在利用切線放縮的題目出現(xiàn)后，衍生了題目2的割線放縮，而題目3正是深入汲取了兩個(gè)題目的營(yíng)養(yǎng)成份，綜合應(yīng)用了切線放縮與割線放縮，題目的設(shè)計(jì)形式常見，設(shè)計(jì)思維含量高，解題方法水到渠成，挖掘了學(xué)生潛能，真正起到了選拔人才的作用.筆者在三道題目的基礎(chǔ)上，給出了相應(yīng)的變式，同時(shí)加以推廣，使題目的應(yīng)用視野更加開闊.

參考文獻(xiàn)：

[1]?李鑫.巧借曲線切線放縮證明函數(shù)不等式[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2020（11）：6-9.

[責(zé)任編輯：李璟]