帶電粒子在圓形邊界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律探究

摘要：帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)一直是高考考查的熱點(diǎn)，考查的題型既有選擇題，又有計(jì)算題.其中圓形邊界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)題型給學(xué)生造成較大的困難.本文歸納總結(jié)了帶電粒子在圓形邊界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的幾種運(yùn)動(dòng)情況及對(duì)應(yīng)的解決方法.

關(guān)鍵詞：勻強(qiáng)磁場(chǎng);圓形邊界;旋轉(zhuǎn)圓;發(fā)散和匯聚;臨界圓

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）07-0113-03

收稿日期：2021-12-05

作者簡(jiǎn)介：劉東新（1978-），男，江蘇省溧陽(yáng)人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中物理教學(xué)研究.[FQ）]

帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)是比較常見(jiàn)的，勻強(qiáng)磁場(chǎng)分有邊界和無(wú)邊界，有邊界的則又能分為直線邊界、圓形邊界等.由于邊界的不確定導(dǎo)致看似簡(jiǎn)單的勻速圓周運(yùn)動(dòng)也變化多端.

1 作好“對(duì)稱”圖，解決單粒子問(wèn)題

帶電粒子以某一初速度進(jìn)入圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，再以同樣大小的速度離開(kāi)，具有對(duì)稱性，入射方向與出射方向與徑向的夾角相等，如圖1.如果帶電粒子沿徑向入射，那么也一定沿徑向射出，如圖2.

題1如圖3所示，在半徑為R=mv0Bq的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，從圓弧頂點(diǎn)P以速率v0的帶正電粒子平行于紙面進(jìn)入磁場(chǎng)，已知粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q，粒子重力不計(jì).若粒子對(duì)準(zhǔn)圓心射入，求它在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間.

解析由牛頓第二定律得Bqv0=mv20r，求得：r=R，作出帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖4，由于帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡為14圓弧，故運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t=

π2Rv0=πm2Bq.

2 巧作“旋轉(zhuǎn)圓”，解決共源多粒子問(wèn)題

如果粒子源在圓形磁場(chǎng)邊界不斷發(fā)射速度大小一定、方向不同的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，將一半徑為R=mv0qB的圓以入射點(diǎn)為圓心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，從而探索粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，這種方法稱為“旋轉(zhuǎn)圓”法.

題2如圖5所示，圓形區(qū)域有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里，邊界跟y軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O.O點(diǎn)處有一放射源，沿紙面向各方向射出速率均為v的某種帶電粒子，帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑是圓形磁場(chǎng)區(qū)域半徑的兩倍.已知該帶電粒子的質(zhì)量為m、電荷量為q，不考慮帶電粒子的重力，求帶電粒子通過(guò)磁場(chǎng)空間的最大偏轉(zhuǎn)角.

簡(jiǎn)析如圖6所示，通過(guò)“動(dòng)態(tài)圓”可以觀察到粒子運(yùn)動(dòng)軌跡均為劣弧，對(duì)于劣弧而言，弦越長(zhǎng)，弧就越長(zhǎng)，弧所對(duì)應(yīng)的圓心角就越大，偏轉(zhuǎn)角也越大，運(yùn)動(dòng)時(shí)間就越長(zhǎng)，如圖7所示，sin

φmax2=Rr=12，即φmax=60°.

如果帶電粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圓半徑小于磁場(chǎng)圓半徑，又能產(chǎn)生新的問(wèn)題.

題3如圖8，虛線所示的圓形區(qū)域內(nèi)存在一垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，半徑為r，P為磁場(chǎng)邊界上的一點(diǎn)，大量相同的帶電粒子以相同的速率經(jīng)過(guò)P點(diǎn)，在紙面內(nèi)沿不同方向射入磁場(chǎng).若粒子射入速率為v，相應(yīng)的出射點(diǎn)分布在三分之一圓周上.不計(jì)重力及帶電粒子之間的相互作用，求帶電粒子的比荷.

簡(jiǎn)析如圖9所示，通過(guò)旋轉(zhuǎn)圓可知，當(dāng)粒子在磁場(chǎng)邊界的出射點(diǎn)A離P點(diǎn)最遠(yuǎn)時(shí)，則AP=2R，如圖10所示.

由幾何關(guān)系知：2R=2rcos30°

可求得：qm=23v3Br.

3 發(fā)散和匯聚，突破圓形邊界勻強(qiáng)磁場(chǎng)的難點(diǎn)問(wèn)題

在圓形邊界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，若帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑恰好等于磁場(chǎng)區(qū)域的半徑，那么就有以下規(guī)律：當(dāng)粒子從磁場(chǎng)邊界上同一點(diǎn)沿不同方向進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，粒子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的速度方向一定平行，而且與入射點(diǎn)的切線方向平行，此種情境稱為“磁發(fā)散”，如圖11甲所示.當(dāng)粒子以相互平行的速度從磁場(chǎng)邊界上任意位置進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，粒子一定會(huì)從同一點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)區(qū)域，而且該點(diǎn)切線與入射方向平行，此種情境稱為“磁匯聚”，如圖11乙所示.

題4如圖12所示， 在xoy平面內(nèi)， 有一線狀電子源沿x正方向發(fā)射速度均為v的電子，形成寬為2R、在y軸方向均勻分布且關(guān)于x軸對(duì)稱的電子流.電子流沿+x方向射入一個(gè)半徑為R、中心位于原點(diǎn)O的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域， 磁場(chǎng)方向垂直xoy平面向里.在磁場(chǎng)區(qū)域的正下方d處，有一長(zhǎng)為2d的金屬板MN關(guān)于y軸對(duì)稱放置，用于接收電子，電子質(zhì)量為m，電量為e，不計(jì)電子重力及它們間的相互作用.

（1）若正對(duì)0點(diǎn)射入的電子恰好從P點(diǎn)射出磁場(chǎng)，求磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B;

（2）若所有電子都能從P點(diǎn)射出磁場(chǎng)，MN板能接收到的電子數(shù)占發(fā)射電子總數(shù)的比例是多大？

簡(jiǎn)析MN板能接收到的電子從P點(diǎn)射出時(shí)，速度偏轉(zhuǎn)角為θ（即與x正方向的夾角θ）滿足45°≤θ≤135°.

到達(dá)N、M點(diǎn)的電子軌跡如圖13、14所示，其入射點(diǎn)為E、F，EF豎直長(zhǎng)度占射入總長(zhǎng)度2R的比例是MN板能接收的電子數(shù)占發(fā)射電子總數(shù)的比例22.

4 作好臨界圓，解決圓環(huán)形磁場(chǎng)問(wèn)題

當(dāng)勻強(qiáng)磁場(chǎng)存在于一個(gè)圓環(huán)形區(qū)域時(shí)，帶電粒子無(wú)論是從外部射入磁場(chǎng)，還是從內(nèi)部射入磁場(chǎng)，與磁場(chǎng)邊界相切的臨界圓，往往就是解決問(wèn)題的突破口.帶電粒子在圓形邊界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，其本質(zhì)是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，題目可能千變?nèi)f化，但解決題目的的方法卻是有限的.先確定粒子軌跡的圓心，進(jìn)而作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，是解決這類問(wèn)題的前提.在這個(gè)前提下，尋找題目的特征，弄清題目考查的內(nèi)容，運(yùn)用合適的方法，總能解決問(wèn)題.

參考文獻(xiàn)：

[1] 于潔，馬純奎.帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題賞析[J].高中數(shù)理化，2021（10）：34-35.

[責(zé)任編輯：李璟]