畫龍需點(diǎn)睛 度量要尋根

李淑民，姜永春

摘? ?要：度量的本質(zhì)是要計算所要度量的圖形包含多少個度量單位，但度量單位的使用只有長方形和平行四邊形的面積教學(xué)有所涉及，在其他圖形面積教學(xué)中被淡化了。通過對長方形的面積、平行四邊形的面積、圓形的面積、不規(guī)則圖形面積的估算的課例進(jìn)行剖析診斷，從度量本質(zhì)的角度，提出對二維圖形面積教學(xué)的建議。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);二維圖形;度量

中圖分類號：G623.5? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ?文章編號：1009-010X（2022）07-0022-04

關(guān)于度量，史寧中教授在《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的若干問題》一書中指出：要度量就必須確定度量單位，而度量就是計算所要度量的圖形包含多少個度量單位。張奠宙先生在《小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的大道理》一書中也指出：數(shù)學(xué)意義上的面積測量，其實(shí)質(zhì)是要對某些平面圖形指定一個合適的數(shù)，并使之滿足“有限可加性”“運(yùn)動不變性”“正則性”的特性。

一、教學(xué)現(xiàn)狀分析

回顧小學(xué)階段對二維圖形大小的測量，在教學(xué)伊始，用不同數(shù)量的面積單位拼成不同圖形來數(shù)出面積，滲透了面積的大小與面積單位的個數(shù)有關(guān)。

在長方形面積教學(xué)時，學(xué)生用1平方厘米的面積單位去密鋪，通過觀察與思考，學(xué)生已經(jīng)知道長方形的長=長邊擺面積單位的個數(shù)，長方形的寬=寬邊擺面積單位的個數(shù)，長方形的面積=一共擺面積單位的總個數(shù)，并推導(dǎo)出了長方形的面積公式。但后來圖形的求面積，又變成了用一把尺子去量長和寬，量面積又變成了量長度，造成了學(xué)生在做題時，周長和面積經(jīng)常搞混。在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師如何讓學(xué)生深切體會度量的本質(zhì)，培養(yǎng)他們的度量意識呢？下面嘗試把二維圖形面積的種子課“長方形的面積”“平行四邊形的面積”“圓形的面積”“不規(guī)則圖形的面積”教學(xué)進(jìn)行串聯(lián)，來闡述應(yīng)該如何讓學(xué)生體會二維圖形度量之本質(zhì)。

二、教學(xué)實(shí)踐探索

案例一：“長方形的面積”教學(xué)片段

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》（以下簡稱《課標(biāo)》）在第一學(xué)段要求結(jié)合生活實(shí)際，經(jīng)歷用不同方式測量物體長度的過程，體會建立統(tǒng)一度量單位的重要性。這種要求對面積單位和體積單位也同樣適用。數(shù)學(xué)意義上的測量是要計算所要度量的圖形包含多少個度量單位，是要對圖形指定一個合適的數(shù)。為了更好地讓學(xué)生體會度量的本質(zhì)，體會度量單位的重要性，我們不妨對長方形各元素與面積單位的聯(lián)系進(jìn)行深一步的挖掘。

師：我們知道了長×寬=長方形的面積，回顧今天所學(xué)，誰能再說說這里的長、寬和面積分別表示什么呢？

生1：長表示長邊能擺多少個小方塊，寬表示寬邊能擺多少個小方塊，相乘就是總塊數(shù)，也就是長方形的面積。

生1：也可以說長是一行擺多少個小方塊，寬表示一共多少行，然后用一行多少個方塊乘一共多少行，就等于一共多少個小方塊，就是長方形的面積。

師：說的真清楚！大家看，這里有個長方形，它的面積怎么求呢？

生2：6×4=24平方厘米

師：看到6和4，你想到了什么？

生2：我想到了長這里一行擺了6個小方塊，寬這里擺了4個，也就是一共擺了4行，相乘就求出了小方塊的總個數(shù)，也就是長方形的面積。

師：說得真好，雖然長方形的面積是用長度相乘，但它們表示的是“一行多少個小正方形×一共多少行”，也就是想辦法求出長方形一共有多少個小面積單位。

在以往課堂教學(xué)中，學(xué)生根據(jù)長方形長、寬與面積單位個數(shù)的關(guān)系推理得出長方形的面積公式進(jìn)行間接測量即為完結(jié)。本教學(xué)片段在此基礎(chǔ)上通過學(xué)生思考和討論，讓他們進(jìn)一步體會到雖然長方形的面積計算用的是長度相乘，但它們的本質(zhì)是“一行多少個面積單位×一共多少行”，也就是想辦法求出長方形一共有多少個面積單位。這樣對二維圖形中最基礎(chǔ)圖形長方形面積的“畫龍點(diǎn)睛”，讓學(xué)生從“根”部體會了度量單位的重要性，又加深了對“面積單位的累加”度量本質(zhì)的感知，同時為今后學(xué)習(xí)其他平面圖形的面積奠定了扎實(shí)的基礎(chǔ)。

案例二：“平行四邊形的面積”教學(xué)片段

關(guān)于對規(guī)則圖形的度量，《課標(biāo)》在第二學(xué)段指出：探索并掌握三角形、平行四邊形和梯形的面積公式，并能解決簡單的實(shí)際問題。如何探索呢？聯(lián)系在三年級教學(xué)長方形的面積時，把重點(diǎn)放在對度量單位的擺放和尋找規(guī)律數(shù)出度量單位的個數(shù)上，而平行四邊形作為對二維圖形面積的第二次探索，筆者認(rèn)為，度量單位的使用是不可或缺的。

（教師發(fā)放給學(xué)生畫有平行四邊形的邊長為1厘米的方格紙）

師：請同學(xué)們看平行四邊形的面積能否數(shù)方格得到呢？

生1：沒辦法數(shù)，因?yàn)閮蛇叢皇钦瘛?/p>

生2：可以把左右兩邊的小格拼成整格來數(shù)。

生3：也可以把平行四邊形左邊剪掉一部分補(bǔ)到另一邊，變成能數(shù)的長方形。

師：你們真棒！請同學(xué)們想辦法把平行四邊形變成能數(shù)的圖形，并想辦法得到它的面積吧

生4：我們通過圖很清晰地看出，長方形的長和平行四邊形的底同樣是6厘米，長方形的寬和平行四邊形的高都是4厘米。又因?yàn)殚L方形的面積=長×寬，所以平行四邊形的面積=底×高，也就是6×4=24平方厘米。

生5：我們還從轉(zhuǎn)化的過程中體會到平行四邊形只是把剪下的一部分挪個位置，面積大小沒變，同樣能得到平行四邊形的面積=底×高。

師：現(xiàn)在同學(xué)們推導(dǎo)出了平行四邊形的面積，誰能說說公式中的底、高和面積在方格中分別表示什么嗎？

生6：底表示一行多少個小方格，高表示一共多少行，面積就是用一行多少個小方格乘一共多少行，求出多少個小方格，平行四邊形的面積就是多少平方厘米。

師：看來平行四邊形的面積也是計算它一共包含多少個面積單位。

本教學(xué)片段，把小方格也就是面積的度量單位貫穿教學(xué)始終。首先讓學(xué)生在方格紙上數(shù)平行四邊形的面積，數(shù)不出來就要想辦法轉(zhuǎn)化成能數(shù)的圖形，這也是解決面積測量的基本方法。在方格紙上，學(xué)生把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形，位置不管怎么變化，但是面積單位的總和是不變的，運(yùn)用了面積的運(yùn)動不變性;一個單位方格的面積是1，它就是一個標(biāo)準(zhǔn)，即正則性;數(shù)方格的過程就蘊(yùn)含了面積的有限可加性，最后得出平行四邊形的面積公式，即求面積單位總個數(shù)的簡便方法，同時也設(shè)法給了面積一個確定的數(shù)與之相對應(yīng)。之后，又通過對平行四邊形的底、高、面積本質(zhì)的梳理，體會到平行四邊形的面積同樣是計算它一共包含多少個面積單位的度量本質(zhì)。

案例三：“圓形的面積”教學(xué)片段

圓形的面積作為小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”版塊中最后教學(xué)的一種平面圖形面積，如何讓學(xué)生能把學(xué)到的知識進(jìn)行串聯(lián)，體會面積的度量就是面積單位個數(shù)累加結(jié)果的度量本質(zhì)，從而把面積測量的數(shù)學(xué)意義進(jìn)行知識和方法的遷移成為本課的教學(xué)重點(diǎn)。

師：同學(xué)們，今天我們學(xué)習(xí)了最后一個平面圖形圓形的面積，請同學(xué)們看屏幕，想想我們明明求的是這些圖形的面積，但公式為什么卻都是長度的乘積呢？這些長度各表示什么呢？

生： 長方形的長表示一行多少個小單位，寬表示一共多少行，乘積就表示一共多少個面積單位，也就是長方形的面積。

師：說的真好，想一想別的圖形呢？

生：平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形來計算面積的，它的底等于長方形的長，所以底也表示一行多少個小方格，高表示一共多少行，乘積就表示平行四邊形的面積。

生：三角形是用兩個完全一樣的三角形轉(zhuǎn)化成平行四邊形或長方形來計算的，三角形的底也表示一行多少個小正方形，高表示一共多少行，乘積就表示三角形面積的2倍，然后除以2，就得到三角形的面積了。

生：梯形是轉(zhuǎn)化成平行四邊形或長方形來求面積的，（上底+下底）表示一行多少個小單位，高表示一共多少行，乘積就表示梯形面積的2倍，然后除以2，就得到梯形的面積了。

師：說的真好，圓形的面積能用面積單位來說明嗎？

生：圓形是轉(zhuǎn)化成長方形來計算的，πr就是長方形的長，也就是表示一行多少個面積單位，r表示一共多少行，乘積πr2就表示圓形的面積了。

師：同學(xué)們說的真好，現(xiàn)在可以看出，所有圖形面積的相同點(diǎn)是想辦法計算出它一共包含多少個面積單位就可以了，這些圖形都可以用每行有多少個面積單位乘行數(shù)來算出總數(shù)。

此教學(xué)片段，讓學(xué)生理解了對于圖形面積的度量，最基礎(chǔ)的圖形長方形是用面積單位“小正方形”直接累加，后推導(dǎo)出“長×寬”公式對面積進(jìn)行間接測量的，平行四邊形的面積無法直接測量，是通過剪拼、拼擺等方式，轉(zhuǎn)化為成長方形的面積后用“底×高”間接測量得到的（三角形、梯形也由此解決），圓形的面積是把曲線圖形化曲為直后歸結(jié)于長方形的面積“πr×r=πr2”得到的。但無論是長×寬、底×高、底×高÷2、（上底+下底）×高÷2，還是πr×r，它們本質(zhì)都指向：一行多少個面積單位×一共多少行=面積，也就是面積單位個數(shù)累加的數(shù)值就是圖形面積的大小。整個梳理的過程，把面積測量的基本思想和方法貫通起來，使學(xué)生體會到不管測量什么圖形的面積，其本質(zhì)皆為“度量單位個數(shù)的累加的結(jié)果”，度量單位是一切圖形測量的本源，而這種思想和方法將為今后學(xué)習(xí)三維圖形體積的測量奠定研究的基礎(chǔ)。

案例四：“不規(guī)則圖形面積的估算”教學(xué)片段

《課標(biāo)》在第二學(xué)段課程內(nèi)容中指出：會用方格紙估計不規(guī)則圖形的面積。在以往教學(xué)中，解決這個問題做法是數(shù)方格。先數(shù)一數(shù)有多少個整格，再數(shù)一數(shù)有幾個半格，把不滿整格的進(jìn)行整合，最后累加起來，用此方法估計不規(guī)則圖形的面積。但這種估算方法并沒有體現(xiàn)估算的意義，只是把估算當(dāng)成了一個操作技能數(shù)方格去教了。

（出示畫有樹葉的方格紙）

師：同學(xué)們仔細(xì)觀察這里的不規(guī)則的圖形，你認(rèn)為這個圖形的面積結(jié)果可能會在哪個范圍之間呢？你能用已有的經(jīng)驗(yàn)來解決這個問題嗎？試一試。

生1：我先數(shù)出葉子包含18個整格，然后數(shù)出葉子邊緣接觸到的所有的小方格數(shù)是36個，說明這片葉子的面積在18～36個格子之間。

師：很好，我們用葉子包含多少個整格來估計出葉子面積的最小值，又用葉子所接觸到的所有整格估計出面積的最大值，就可以確定葉子面積的范圍。大家再想一想，還有沒有什么方法能使估計的結(jié)果更接近實(shí)際面積的大小嗎？

生2：能不能把方格變得更小些呢？

（師多媒體出示把一個方格等分為4份的方格樹葉圖）

師：同學(xué)們現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)了什么？

生2：現(xiàn)在樹葉的不規(guī)則的邊緣部分整格的多了，樹葉的面積范圍的數(shù)值更精確了。

師：如果我把方格再接著變小，這時數(shù)出的小方格面積會怎么樣？（并出示相應(yīng)的圖）

生2：越來越接近樹葉的面積了。

師：對了，有時面積單位不合適了，可以把方格等分成更小的方格，使估算的值更逼近準(zhǔn)確的值，這種方法在同學(xué)們今后學(xué)習(xí)更深奧的數(shù)學(xué)知識時將會用到的。

此教學(xué)片段，“尋找范圍”的設(shè)計注重了對學(xué)生估算意識和方法的培養(yǎng)，特別是選擇合適的面積單位是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效估算的關(guān)鍵，同時滲透了逐步逼近的極限思想。通過最大和最小范圍的確定，幫助學(xué)生找到合適的區(qū)間，而這個最大和最小的范圍才是真正意義上的估算價值的體現(xiàn)。同時，用面積單位去覆蓋所要測量的圖形，如果找的單位太大了，就要找更小的單位，這樣的安排，就把整個測量的基本思想和方法貫通了，也讓學(xué)生領(lǐng)會到了測量的本質(zhì)。

總之，在教學(xué)中我們要緊緊圍繞度量核心，借助方格紙并通過對不同圖形面積本質(zhì)的溝通聯(lián)系，讓學(xué)生深刻體會到度量的本質(zhì)，即求面積就是求面積單位的總個數(shù)，總個數(shù)可以用每行面積單位個數(shù)乘行數(shù)算出。在教學(xué)過程中教師要適時進(jìn)行點(diǎn)撥提升，加強(qiáng)溝通聯(lián)系，總之度量尋根的過程猶如畫龍點(diǎn)睛之筆，不可或缺。

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