高考數(shù)學(xué)試卷中概率與統(tǒng)計內(nèi)容的分析與思考

張玉琴，王文靜

(1.成都理工大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院，四川樂山，614000；2.太原師范學(xué)院，山西太原，030619)

一、研究背景

聯(lián)合國教科文組織頒布的報告《走向終身學(xué)習(xí)——每位兒童應(yīng)該學(xué)什么》反復(fù)強調(diào)加強核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，其涵蓋了一個轉(zhuǎn)變七個維度。[1]其中，一個轉(zhuǎn)變是指，教育應(yīng)由工具性目標(把學(xué)生培養(yǎng)成提高生產(chǎn)率的工具)轉(zhuǎn)變?yōu)槿吮拘阅繕?，學(xué)生情感、智力、身體、心理諸方面的潛質(zhì)與素質(zhì)都能通過學(xué)習(xí)得到發(fā)展；七個維度包括身體健康、社會情緒、文化藝術(shù)、文字溝通、學(xué)習(xí)方法與認知、數(shù)字與數(shù)學(xué)、科學(xué)與技術(shù)核心素養(yǎng)。隨著時代的發(fā)展，大數(shù)據(jù)已經(jīng)深入各個領(lǐng)域，數(shù)據(jù)處理、數(shù)據(jù)挖掘、數(shù)據(jù)分類等對人們的工作、生活及國家發(fā)展都產(chǎn)生了重要影響，且概率與統(tǒng)計是數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)中大數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)理論知識，對認識和了解大數(shù)據(jù)、學(xué)習(xí)方法與認知、數(shù)字與數(shù)學(xué)、科學(xué)與技術(shù)有很大的幫助。要想從充滿隨機性和相關(guān)性的數(shù)據(jù)中獲取有用的信息，就需要有扎實的概率與統(tǒng)計知識基礎(chǔ)。同時，近年來，概率與統(tǒng)計這部分內(nèi)容在教學(xué)中逐漸得到重視，成為高考數(shù)學(xué)試卷考查的重點、難點、熱點。筆者在對《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版)》(以下簡稱課程標準)[2]中概率與統(tǒng)計內(nèi)容的具體要求進行解讀的基礎(chǔ)上，對近幾年新課標數(shù)學(xué)全國卷Ⅰ中的概率與統(tǒng)計內(nèi)容和相關(guān)文獻成果進行研究，以期更好地幫助教師合理分配教學(xué)時間，使用簡單易懂、高效的方法進行教學(xué)，進而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，使學(xué)生不畏懼概率與統(tǒng)計這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)。

二、對課程標準中概率與統(tǒng)計知識的解讀

概率是指對隨機現(xiàn)象規(guī)律進行的研究，其研究手段為在分布已知的情形下對隨機事件發(fā)生的可能性進行度量(一般以0到1之間的實數(shù)表示一個事件發(fā)生的可能性大小)，它為人們認識客觀世界提供了重要的思維模式和解決問題的方法，也為統(tǒng)計的發(fā)展提供了理論基礎(chǔ)。統(tǒng)計到研究如何收集、整理和分析數(shù)據(jù)，旨在通過對從總體中得到的樣本進行分析推導(dǎo)總體的未知參數(shù)或分布，為制訂決策提供合理的依據(jù)。因此，高中階段這兩部分內(nèi)容有著非常重要的意義。高中數(shù)學(xué)涉及這兩部分內(nèi)容的教材為人教版必修3和選修2-3，其內(nèi)容在課程標準中的具體要求如表1所示。

表1 概率與統(tǒng)計各部分內(nèi)容在課程標準中的具體要求

續(xù)表

課程標準中對概率與統(tǒng)計這部分內(nèi)容的要求不僅在于學(xué)生對知識進行理解，而且要求學(xué)生能夠掌握及靈活運用知識。因此，在教學(xué)中，教師不能讓學(xué)生的思維固化，而要讓學(xué)生吃透知識的本質(zhì)，領(lǐng)會具體思維模式，并在此基礎(chǔ)上發(fā)散思維，靈活運用知識點，解決高考中的實際問題。

三、2015—2021年高考數(shù)學(xué)試卷中概率與統(tǒng)計內(nèi)容基本情況的分析——以新課標數(shù)學(xué)全國卷Ⅰ為例

高考數(shù)學(xué)試卷中，概率與統(tǒng)計內(nèi)容的考查是課程標準對概率與統(tǒng)計內(nèi)容具體要求的直接體現(xiàn)。[3]如表2所示，2015—2021年高考數(shù)學(xué)試卷中關(guān)于概率與統(tǒng)計的內(nèi)容考查以選擇題和解答題為主，偶有填空題型，分值比例在11.33%—18.00%。

表2 2015—2021年高考數(shù)學(xué)試卷中概率與統(tǒng)計內(nèi)容的基本情況

(一)考查題目的位置后移，類別及其分值比例增加

2015—2017年的高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅰ均有一道概率與統(tǒng)計內(nèi)容的選擇題和一道解答題，分值比例均為11.33%，且位置相對穩(wěn)定，沒有大的變動，僅2017年選擇題稍微前置。2018年和2019年均增加了一道填空題，分值比例也上升至14.67%，同時選擇題及解答題的位置均發(fā)生后移。2020年和2021年分值比例上升至18%。其中，2020年改為兩道選擇題、一道多項選擇題、一道解答題；選擇題位置稍微前移，解答題又移回第19題。2021年，繼續(xù)改進一道選擇題、一道多項選擇題、一道填空題、一道解答題；選擇題稍微后移，解答題又向前移動，移動到第18題。綜上所述，概率與統(tǒng)計內(nèi)容在高考中的考查力度越來越大，也越來越受到命題人重視。

(二)考查的知識點相對穩(wěn)定，創(chuàng)新度和綜合性增強

由表2可知，2015—2017年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅰ中考查的概率與統(tǒng)計知識點相對穩(wěn)定，主要涉及排列組合、古典概型、幾何概型中概率的求解、分布列的求解、數(shù)學(xué)期望的求解、統(tǒng)計決策、回歸分析、假設(shè)檢驗等內(nèi)容。但是，此類考題的創(chuàng)新度和綜合性不斷提高，與其他高中數(shù)學(xué)內(nèi)容橫向貫通。 例如，2017年中的第2題和2018年中的第10題與平面幾何知識交會；2018年中的第20題與導(dǎo)數(shù)知識交會；2019年中的第21題與等比數(shù)列知識交會；2020年的第12題與對數(shù)函數(shù)交會。

(三)圖表考查情況減少

2015年和2016年中的概率與統(tǒng)計內(nèi)容大題分別涉及散點圖和柱狀圖，之后的年份均未出現(xiàn)圖表。2020年給出的表格主要是為了展示數(shù)據(jù)。

(四)試題背景素材越來越豐富

近幾年的試題均具有新穎的情景，不僅貼近生活、應(yīng)用性強，而且以數(shù)學(xué)文化為背景。以生活和數(shù)學(xué)應(yīng)用為背景進行的考查在近幾年高考試題中均有出現(xiàn)，而以數(shù)學(xué)文化為背景進行考查則是從2017年開始出現(xiàn)的，且均為選擇題。如2017年中的第2題、2018年中的第10題、2019年中的第6題。試題的背景素材在不斷創(chuàng)新，且向數(shù)學(xué)文化方向延伸。試題內(nèi)容注重生活、貼近時事，且每題中都有體現(xiàn)。如2020年中的第19題、2021年中的第18題。綜上所述，近年來的試題背景開始更貼近實際生活、應(yīng)用性更強，側(cè)重反映國家的時事，讓學(xué)生從不同的角度關(guān)注國家時事，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用。

(五)核心素養(yǎng)的考查從單一化轉(zhuǎn)變?yōu)槎鄻踊?/h3>

2015年和2016年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅰ中關(guān)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查還僅局限于對數(shù)學(xué)運算能力的考查，但自2017年新課程標準頒布以來，高考越來越重視對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查，具體包括對邏輯推理素養(yǎng)、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)、自學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的考查，且2018年中第20題還涉及數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的考查。概率與統(tǒng)計這部分內(nèi)容在高考中越來越受重視，分值比例和試題數(shù)目均提高，題型更豐富、知識更貫通、綜合性更強、試題素材創(chuàng)新度更高、對核心素養(yǎng)的考查更多樣化。因此，在日常概率與統(tǒng)計內(nèi)容的教學(xué)工作中，教師應(yīng)加強教研工作，集中備課，發(fā)揮自身積極主動性和發(fā)散性思維，把課程思政、時事引入數(shù)學(xué)教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)方法解決實際問題，讓學(xué)生充分理解并學(xué)會靈活運用這部分知識。

四、對高中概率與統(tǒng)計內(nèi)容教學(xué)的啟示

教師應(yīng)提高對概率與統(tǒng)計這部分內(nèi)容的重視，更新教學(xué)觀念、轉(zhuǎn)換教學(xué)模式、豐富教學(xué)手段，并注重對學(xué)生的多方面培養(yǎng)，在提高教師教學(xué)效率的同時，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

(一)更新教學(xué)觀念

教學(xué)觀念是人們對教學(xué)和學(xué)習(xí)活動內(nèi)在規(guī)律認識的集中體現(xiàn)，是人們對教學(xué)活動的看法和持有的基本態(tài)度及觀念，也是人們從事教學(xué)活動的指導(dǎo)思想。課程標準要求學(xué)生能掌握并運用知識解決實際問題，因此，教師必須更新教學(xué)觀念，讓學(xué)生透過概念的表面理解知識的本質(zhì)，學(xué)會融會貫通。對此，教師要有探索精神，敢于打破傳統(tǒng)教育模式，以提高學(xué)生知識運用能力為導(dǎo)向，不斷探索、創(chuàng)新，走出一條適應(yīng)學(xué)生提升自我的新路徑；要有勇于借鑒學(xué)習(xí)的心態(tài)，積極去經(jīng)驗豐富的學(xué)校調(diào)研，學(xué)習(xí)、積累經(jīng)驗，取長補短，并結(jié)合自身實際走出一條有特色的新路徑；要敢于亮劍，提出自己的新想法，進行大膽實踐。

(二)轉(zhuǎn)換教學(xué)模式

好的教學(xué)模式能夠起到事半功倍的效果，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中化被動為主動。為此，教師要多進行研討式教學(xué)，在教學(xué)中要以學(xué)生為主，教師為輔：引入與實際生活密切相關(guān)的案例，讓學(xué)生主動融入學(xué)習(xí)，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣和求知欲，讓學(xué)生體會到學(xué)習(xí)的快樂，體會知識的力量，并用所學(xué)知識解決實際問題；設(shè)置相應(yīng)的課題，讓學(xué)生以小組形式進行討論，根據(jù)學(xué)生的討論情況進行評價，并提出學(xué)生在討論過程中存在的問題和不足；采用課上課后相結(jié)合的教學(xué)模式，課堂上提出實際問題讓學(xué)生思考并試著解決問題，鼓勵學(xué)生舉一反三，提高他們自主創(chuàng)新的能力；課后不能進行題海戰(zhàn)術(shù)，而是要讓學(xué)生自行搜集課堂知識在實踐中解決具體問題，以此提升學(xué)生運用知識的能力，加深學(xué)生對知識的理解。

(三)豐富教學(xué)手段

概率與統(tǒng)計內(nèi)容具有一定的抽象性，學(xué)生往往難以理解教學(xué)內(nèi)容，導(dǎo)致部分學(xué)生學(xué)習(xí)興趣不高。因此，教師要豐富教學(xué)手段，注意對信息技術(shù)的應(yīng)用。教師借助信息技術(shù)，能夠為學(xué)生創(chuàng)造更加生動、直觀的教學(xué)情境，使抽象的知識具體化，使學(xué)生更容易理解，充分發(fā)揮學(xué)生的積極主動性，從根本上提高概率與統(tǒng)計的教學(xué)效率。

(四)拓展教學(xué)內(nèi)容

1.重視核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，著重創(chuàng)新意識的培養(yǎng)

從近幾年的高考數(shù)學(xué)試卷中概率與統(tǒng)計內(nèi)容基本情況可以看出，核心素養(yǎng)的考查已從單一化向多樣化轉(zhuǎn)變。因此，在教學(xué)中，教師必須重視學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。其中，對學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)尤為重要，這兩種素養(yǎng)對學(xué)生知識視野的拓寬起著十分重要的作用。教師應(yīng)將理論與實踐結(jié)合起來，利用與日常生活相關(guān)的實際問題作為例題進行訓(xùn)練、講解。而高中數(shù)學(xué)中的創(chuàng)新意識是數(shù)學(xué)所培養(yǎng)的理性思維的高層次表現(xiàn)。[4-5]在高考數(shù)學(xué)試卷中，這部分內(nèi)容的變化不僅體現(xiàn)在考查知識綜合性的增強上，而且體現(xiàn)在試題背景素材的創(chuàng)新上。教師要結(jié)合數(shù)學(xué)的本身特征，及概率與統(tǒng)計的應(yīng)用特征，在教學(xué)中不斷加強對學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。具體來說，教師可在教學(xué)中設(shè)置一些難度適中的創(chuàng)新型問題提高學(xué)生學(xué)習(xí)新知識和解決新問題的能力，并引進一些與時事相關(guān)的問題，激發(fā)學(xué)生的探索和創(chuàng)新精神，如概率在大數(shù)據(jù)、體育、環(huán)保方面的應(yīng)用。

2.注重知識的交會融合

對數(shù)學(xué)知識點之間聯(lián)系的認識非常重要。數(shù)學(xué)知識點之間的抽象關(guān)系本身就蘊涵著思維方法，即“連線集”為一個方法系統(tǒng)。另外，信息加工理論指出，學(xué)生在回憶長時記憶中的有關(guān)知識時，按照其對相關(guān)知識的熟悉程度及知識之間聯(lián)系的緊密程度，可以形成一個被激活知識的“回憶鏈”。概率與統(tǒng)計內(nèi)容在近幾年的高考考查中常與高中數(shù)學(xué)的其他內(nèi)容進行組合式考查。在教學(xué)中，教師要更加注重知識點與知識點間的貫通，加強學(xué)生發(fā)散性思維的培養(yǎng)，防止思維定式，避免學(xué)生在綜合性稍強的試題面前出現(xiàn)畏難情緒。

五、結(jié)語

隨著大數(shù)據(jù)時代的來臨，概率與統(tǒng)計成為社會發(fā)展不可或缺的部分。因此，高考越來越重視對概率與統(tǒng)計內(nèi)容的考查。這一變化對教師的教學(xué)提出了更高的要求，其不僅要從考試題目入手考慮備課，還要從學(xué)生學(xué)習(xí)方面著手考慮，確保學(xué)生學(xué)以致用，提升學(xué)生解決實際問題的能力及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。