函數(shù)凹凸性視角下的雙變量壓軸題的探究

廣東省佛山市樂(lè)從中學(xué)(528315) 林國(guó)紅

函數(shù)凹凸性是函數(shù)的一種特殊特征,近年來(lái),以函數(shù)凹凸性為背景的題目屢見(jiàn)不鮮,這些試題情景新穎,能考查學(xué)生的創(chuàng)新能力和潛在的數(shù)學(xué)素質(zhì),常作為壓軸題出現(xiàn).雖然在高中課本中沒(méi)有這方面的內(nèi)容,但高中教師若能多了解一些函數(shù)凹凸性的相關(guān)理論知識(shí),可以“登高望遠(yuǎn)”,便于找到問(wèn)題的本質(zhì)內(nèi)涵,確定解題方向,尋找簡(jiǎn)捷的解題途徑.

本文從函數(shù)凹凸性的視角,對(duì)一些雙變量的函數(shù)壓軸題進(jìn)行探究,揭示試題的命題背景與內(nèi)涵.

一、函數(shù)的凹凸性及常用性質(zhì)

1.函數(shù)凹凸性的定義

2.凹凸函數(shù)的常用性質(zhì)

(1)函數(shù)凹凸性的判定定理設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù),那么:若f(x)在(a,b)內(nèi)有f′′(x)>0,則f(x)在[a,b]上是下凸函數(shù);若f(x)在(a,b)內(nèi)有f′′(x)<0,則f(x)在[a,b]上是上凸函數(shù).

證明如圖1,設(shè)點(diǎn)A,B,M的坐標(biāo)為(x1,0),(x2,0),則點(diǎn)D,C的坐標(biāo)為(x1,f(x1)),(x2,f(x2)).直線與函數(shù)y=f(x)的圖象交于點(diǎn)N,過(guò)N作y=f(x)的切線l,由于f(x)是[a,b] 上連續(xù)的下凸函數(shù),故切線l在曲線y=f(x)的下方,設(shè)切線l分別交AD,BC于F,E兩點(diǎn),則MN為梯形ABEF的中位線.

評(píng)注若f(x)是[a,b]上連續(xù)的上凸函數(shù),則上述不等式的不等號(hào)反向.

(3) 切線不等式若f(x) 在區(qū)間I為下凸函數(shù),則對(duì) 于?x0∈ I,有f(x) ≥f′(x0)(x ?x0) +f(x0);若f(x) 在區(qū)間I為上凸函數(shù),則對(duì)于?x0∈I,有f(x) ≤f′(x0)(x ?x0)+f(x0).

高中階段兩個(gè)常見(jiàn)的切線不等式:ex≥x+1(x≥0)與lnx≤x ?1(x>0).

二、函數(shù)凹凸性在極值點(diǎn)偏移中的應(yīng)用

1.極值點(diǎn)偏移的判定定理

定理1 已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上連續(xù),且有(a,b) 內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)x0.若對(duì)于a 0.則:

2.典型例題

例2 (2016 年高考全國(guó)Ⅰ卷理科第21 題) 已知函數(shù)f(x)=(x ?2)ex+a(x ?1)2有兩個(gè)零點(diǎn).

(1)求a的取值范圍;

(2)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),證明:x1+x2<2.

解析(1)a的取值范圍為(0,+∞),過(guò)程略.

評(píng)注極值點(diǎn)偏移作為函數(shù)變化過(guò)程中的一種重要現(xiàn)象,一直頗受命題人的喜愛(ài).極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的解法一般是構(gòu)造偏移函數(shù)法或比值代換法,雖然這些方法可以解決極值點(diǎn)偏移問(wèn)題,但是較難從本質(zhì)上判定任意一個(gè)函數(shù)是否具有偏移現(xiàn)象,左偏還是右偏.哈達(dá)瑪不等式是命制極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的一個(gè)常用理論背景,試題通過(guò)構(gòu)造具有凹凸性的函數(shù),這樣就可以從理論上保證極值點(diǎn)偏移的出現(xiàn).

三、函數(shù)凹凸性中切線不等式的應(yīng)用

例4 同例1.

解析由例1 可知,問(wèn)題(2)等價(jià)于:已知f(x1)=f(x2),證明:2

設(shè)0

圖2

由于f(x)在點(diǎn)(e,0)處的切線方程為y=?x+e,設(shè)切線與y=m交于點(diǎn)C(xc,m),則xc=?m+e.由圖可知,0

例5 (2020 年合肥三診理科第21 題)已知函數(shù)f(x)=(e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)x0,以及曲線y=f(x)在x=x0處的切線方程;

(2)設(shè)方程f(x)=m(m >0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,x2,求證:|x1?x2|<2?

圖3

評(píng)注顯然,例4,例5 中問(wèn)題(2)的命題背景是立足于函數(shù)凹凸性中的切線放縮,解題思路是通過(guò)切線與直線y=m的交點(diǎn)橫坐標(biāo)來(lái)估計(jì)出兩個(gè)零點(diǎn)和(或差)的范圍.需要注意的是,在例5 中如果選擇曲線y=f(x)在x=1 處的切線方程為y=(x ?1)來(lái)放縮,則得不到想要的結(jié)果,因?yàn)楫?dāng)x ∈(0,1)時(shí),切線y=(x ?1)并不在曲線y=f(x)的上方(如圖4).

圖4

四、哈達(dá)瑪不等式的應(yīng)用

例6 (2020 年高考天津卷第20 題) 已知函數(shù)f(x)=x3+klnx(k ∈R),f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).

例7 (2013 年高考陜西卷理科第21 題) 已知函數(shù)f(x)=ex,x ∈R.

(1)若直線y=kx+1 與y=f(x)的反函數(shù)的圖象相切,求實(shí)數(shù)k的值;

(2)設(shè)x >0,討論曲線y=f(x)與曲線y=mx2(m >0)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù);

五、結(jié)束語(yǔ)

以函數(shù)凹凸性為命題背景的試題還有很多,通過(guò)以上幾道例題,不難體會(huì)函數(shù)凹凸性等相關(guān)知識(shí)的豐富性,這也表明:高等數(shù)學(xué)的相關(guān)理論是命制一些具有創(chuàng)新力與區(qū)分度的高考試題的重要來(lái)源.雖然函數(shù)凹凸性不屬于高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容,但是掌握相關(guān)知識(shí),能幫助教師與學(xué)生找開思維視角,養(yǎng)成對(duì)試題背后的內(nèi)在關(guān)系分析與思考習(xí)慣.

近年來(lái),高考的命題者通過(guò)挖掘高等數(shù)學(xué)中的一些素材來(lái)命制高考試題,此類試題也逐漸引起老師們的關(guān)注.但這并不意味著要將過(guò)多的高等數(shù)學(xué)知識(shí)下放到中學(xué)里來(lái),加重中學(xué)的負(fù)擔(dān).應(yīng)該是教師能站在高觀點(diǎn)的角度看待問(wèn)題,將研究的問(wèn)題引向深入,探索隱藏在題目背后的奧秘,挖掘題目的真正內(nèi)涵,能夠找到解決這個(gè)問(wèn)題與解決其它問(wèn)題在思維上的共性.這樣我們才能領(lǐng)會(huì)到試題命制的深刻背景,才能引領(lǐng)學(xué)生跳出題海,真正做到觸類旁通,舉一反三,更好地指導(dǎo)中學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué).