基于信息加工理論的直觀想象素養(yǎng)再認(rèn)識

廣東省廣州市白云區(qū)教育研究院(510050) 雷珮瑛

1 課程標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于直觀想象素養(yǎng)的闡述

教育部頒發(fā)的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版)》明確指出:“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn),是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn),是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的.”“直觀想象素養(yǎng)是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化,利用空間形式特別是圖形,理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).”直觀想象素養(yǎng)中的關(guān)鍵能力,包含數(shù)形結(jié)合能力、幾何直觀能力和空間想象能力.直觀想象素養(yǎng)中的情感、態(tài)度與價值觀,體現(xiàn)在樂于構(gòu)圖、有用圖自信的心理傾向.因此,全面認(rèn)識和理解直觀想象素養(yǎng)的內(nèi)涵是發(fā)展學(xué)生直觀想象素養(yǎng)水平的基礎(chǔ).

2 認(rèn)識直觀想象素養(yǎng)思維品質(zhì)

本研究認(rèn)為直觀想象素養(yǎng)中的思維品質(zhì)是與空間形式有關(guān)的數(shù)學(xué)形象思維品質(zhì).著名的心理學(xué)家紐厄爾(A.Newell)和西蒙(H.A.Simon)認(rèn)為一個信息加工系統(tǒng)主要是由記憶裝置、加工裝置、接受裝置和效應(yīng)器4 個部分組成,各部分之間的關(guān)系如圖1.

圖1

感知是感覺和知覺的統(tǒng)稱.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,數(shù)學(xué)表象包括圖形表象和圖式表象.數(shù)學(xué)圖形和數(shù)學(xué)模式的刺激通過接受器過濾處理進(jìn)入加工器,加工器啟動與記憶之間的信息對流.一方面激活記憶里相關(guān)的數(shù)學(xué)表象,在加工器里進(jìn)行提取、整合、分解、比較、選擇等一系列的加工,形成新的數(shù)學(xué)表象;另一方面加工器里形成的部分新數(shù)學(xué)表象輸送到記憶里儲存.完成加工的信息通過效應(yīng)器輸出,在環(huán)境中表達(dá)、反饋.如果在此過程中出現(xiàn)圖形表象,那么這個思維過程就是直觀想象素養(yǎng)過程,即直觀想象素養(yǎng)思維品質(zhì)是涉及圖形表象的數(shù)學(xué)形象思維.如圖1,環(huán)境刺激經(jīng)過接受器的處理,形成圖形表象編碼的過程稱為直觀想象素養(yǎng)思維品質(zhì)的“直觀”階段(簡稱直觀階段);在加工器中進(jìn)行數(shù)學(xué)表象整合形成新數(shù)學(xué)表象的過程,稱為直觀想象素養(yǎng)思維品質(zhì)的“想象”階段(簡稱想象階段);想象階段借助幾何直觀理解問題.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,感覺主要是指人的視覺對刺激物的反映.知覺是指人對感覺信息選擇、加工和解釋的過程.在長時記憶中存在語言系統(tǒng)和表象系統(tǒng).這兩個子系統(tǒng)既獨立又緊密相連,能因另一個系統(tǒng)的活動而激活.這種關(guān)聯(lián)通常表現(xiàn)為稱呼事物的名稱和形象、描述事物的形象.如果被稱呼的事物和形象與空間形式有關(guān),那么它就是直觀想象素養(yǎng),稱為直觀想象素養(yǎng)的“翻譯”階段(簡稱為翻譯階段).語言系統(tǒng)處理數(shù)學(xué)言語編碼,表象系統(tǒng)處理數(shù)學(xué)表象編碼.新數(shù)學(xué)表象通過效應(yīng)器形成信息編碼解釋、表達(dá)數(shù)學(xué)問題,稱為直觀想象素養(yǎng)思維品質(zhì)的“外化”階段(簡稱外化階段).

(1)直觀階段——實物(或問題)向空間形式轉(zhuǎn)化

直觀階段主要表現(xiàn)在運用空間想象認(rèn)識事物的位置關(guān)系和形態(tài),創(chuàng)造性地用圖形直觀表達(dá)實際問題,創(chuàng)造性地用圖形表達(dá)數(shù)與式.如圖2,一個瓶子,不能用一個標(biāo)準(zhǔn)的幾何體概括它的形狀.但是可以把它劃分為多個標(biāo)準(zhǔn)的幾何體完成逼近.第一部分是圓柱,第二部分接近一個圓臺,第三部分又是一個圓柱,這就是直觀階段.瓶子是一個整體,能夠在腦子里把它切割成多個規(guī)則的幾何圖形.把復(fù)雜的幾何物體,抽象為標(biāo)準(zhǔn)的簡單幾何體.只有切割為標(biāo)準(zhǔn)的簡單幾何體,才能展開下一步的邏輯推理和數(shù)學(xué)運算.不難發(fā)現(xiàn),直觀想象素養(yǎng)與數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)以及數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)關(guān)聯(lián).

圖2

例1 (握手問題)6 個人見面,每兩人互相握手1 次,共握手多少次?

這是簡單的組合問題,初中學(xué)生還沒學(xué)習(xí)相關(guān)的內(nèi)容.可以把這6 個人用不共線的6 個點表示,每握手一次,就畫出對應(yīng)兩點間的線段,如圖3,握手總次數(shù)就是線段數(shù),剛好是六邊形的對角線與邊數(shù)目的總和.巧用圖形解決實際問題有賴于巧妙地把實際問題中的元素用圖形直觀化.

圖3

例2 解二元一次方程組

學(xué)生在初學(xué)二元一次方程組的解法時,對字母不熟悉且有一定的恐懼感.可把符號表征轉(zhuǎn)換為圖式表征,如圖5,分別用邊長相等的等腰直角直角三角形和正方形表示方程中的未知數(shù)x和y,用兩個等腰直角三角形可以拼成一個正方形表示方程y=2x.

學(xué)生能很輕易地在圖4 獲知一個正方形可由兩個等腰直角三角形拼成.二元一次方程組轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的拼圖游戲,不但能增加新知識的親和力,而且能讓學(xué)生在直觀的拼圖游戲中,動手操作,自主探索出解法.直觀階段是用圖形表達(dá)生活中的實際問題和數(shù)學(xué)問題,該階段中的圖形是從無到有的,是具有創(chuàng)造性的.把方程組轉(zhuǎn)化為拼圖,就是直觀階段.而翻譯階段是三種數(shù)學(xué)語言之間的直接轉(zhuǎn)換,把“□”用x表示,把“△”用y表示,則是翻譯階段.

圖4

(2)想象階段——空間形式之間的轉(zhuǎn)化

想象階段借助幾何直觀理解問題.空間形式之間的轉(zhuǎn)化廣泛存在于圖形與幾何的教學(xué)當(dāng)中,在問題的解決過程中,分解表象、組合表象、聯(lián)想和想象.在復(fù)雜的圖形當(dāng)中提取基本圖形,這是分解表象.把多個簡單的基本圖形通過平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱等手段組合起來,構(gòu)成復(fù)雜的圖形這是組合表象.在證明過圓上一點的直線與圓相切時,想到連接以這個點為端點的半徑,這是聯(lián)想.在腦海里模擬正方體的平面展開圖折疊成正方體的過程,分析各個面的位置變化情況,這是想象.直觀想象素養(yǎng)是對表象極具個性化的重構(gòu),同一數(shù)學(xué)問題,不同的學(xué)生會生成不同的表象,經(jīng)過邏輯推理后形成不同的解法.

例3 (2020 年廣州中考第24 題) 如圖5,⊙O為等邊ΔABC的外接圓,半徑為2,點D在劣弧AB上運動(不與點A,B重合),連接DA,DB,DC.(1)求證:DC是∠ADB的平分線;(2)四邊形ADBC的面積S是線段DC的長x的函數(shù)嗎? 如果是,求出函數(shù)解析式;如果不是,請說明理由.

圖5

第(2) 小題的通解通法是割補(bǔ)法,沿CD把四邊形ADBC“割”開后,“補(bǔ)”的方法有“旋轉(zhuǎn)”、“截長補(bǔ)短”和“等積変換”等.

第一類方法:轉(zhuǎn)化為等邊三角形的面積.(1)旋轉(zhuǎn):如圖6,抓住CA,CB“共端點,等邊長,夾60°角”,把ΔBCD繞點C按時順針方向旋轉(zhuǎn)60°,可把四邊形ADBC的面積轉(zhuǎn)化為等邊ΔCDE的面積.(2)抓住CA=CB,∠CBD=∠CAD的鄰補(bǔ)角,構(gòu)造全等三角形:①截長補(bǔ)短(延長DA至點E,使AE=BD);②等積変換(作∠ACE=∠BCD,CE交DA延長線于點E)……

圖6

第二類方法:轉(zhuǎn)化為兩個關(guān)于CD對稱的直角三角形面積和.(1)旋轉(zhuǎn):如圖7,抓住點C到DA,DB的距離CN,CM相等,把RtΔACN繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn),得到RtΔBCM,可把四邊形ADBC的面積轉(zhuǎn)化為RtΔCDM與RtΔCDN的面積和;(2)構(gòu)造全等三角形的方法與第一類方法的類似.……學(xué)生通過讀圖、識圖、辯圖形成的新表象各異,因此,呈現(xiàn)解法“百花齊放”.

圖7

(3)翻譯階段——語言與空間形式互譯

加拿大著名心理學(xué)家佩維奧(A.Paivio)的雙重代碼假設(shè)認(rèn)為人有兩個相互關(guān)聯(lián)的記憶系統(tǒng),即言語系統(tǒng)和表象系統(tǒng).①人們將這兩個系統(tǒng)中的部分信息進(jìn)行配對,同時儲存在記憶中,當(dāng)其中一個被激活,另一個也立刻被激活.②如果當(dāng)中至少有一個表象剛好是圖形表象,這就是翻譯階段.比如:我們見到文字“圓”就會想到形狀“○”.這是言語編碼的信息“圓”激活了相聯(lián)的圖形表象編碼信息“○”,也可以看作是加工器把數(shù)學(xué)言語“翻譯”成了數(shù)學(xué)圖形.翻譯階段主要表現(xiàn)為用幾何圖形描述數(shù)學(xué)問題.如:按作圖語句作出幾何圖形,用數(shù)學(xué)語言或符號語言表達(dá)空間形式,數(shù)形結(jié)合等.翻譯階段建立形與數(shù)的聯(lián)系.如:數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng)、在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點與有序數(shù)對一一對應(yīng)、函數(shù)的圖象及其性質(zhì)等.

(4)外化階段——空間形式向?qū)嵨镛D(zhuǎn)化

外化階段是用圖形表象信息解釋、解決數(shù)學(xué)實際問題.

例4 (2020 年廣州市中考第2 題) 某校隨機(jī)抽取了100 名學(xué)生,對他們最喜歡的套餐種類進(jìn)行問卷調(diào)查(每人選一種),繪制成了如圖8 的條形統(tǒng)計圖,根據(jù)圖中信息,學(xué)生最喜歡的套餐種類是( ).

圖8

A.套餐一 B.套餐二 C.套餐三 D.套餐四

外化階段的圖形是現(xiàn)成的,用圖形的性質(zhì)解釋、解決問題.利用條形統(tǒng)計圖,通過比較等寬長方形的高,尋找“最喜歡的套餐種類”,解決實際問題,是外化階段.而直觀階段是構(gòu)建幾何模型的過程,是數(shù)學(xué)化的過程,繪制統(tǒng)計圖的過程是直觀階段.

例5 車輪做成圓形的數(shù)學(xué)道理.初三上學(xué)期完成圓的學(xué)習(xí)后,讓學(xué)生思考車輪為什么是圓的? 可以先讓學(xué)生分組制作非圓車輪,讓學(xué)生觀察改裝后汽車模型行駛的情況,再用幾何畫板模擬車輪軸心的運動軌跡.用圓的軌跡定義解釋生活中的實際問題,幫助學(xué)生更深刻地理解圓的概念.

簡言之,有空間形式就有直觀想象素養(yǎng).數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué).通過直觀想象素養(yǎng)描述、理解、分析和解決數(shù)學(xué)問題,積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗,提升直觀想象素養(yǎng)的自信,是形成數(shù)學(xué)直覺的基礎(chǔ).