巧用幾何畫板 探究存在問題*
——以“二次函數(shù)背景下直角三角形存在性問題”為例

廣東省中山市東區(qū)松苑中學(528400) 張青

存在性問題是命題的結(jié)論不確定的一類問題,常以“是否有”、“是否存在”、“是否變化”等詞語出現(xiàn),是中考數(shù)學的常見題型,直角三角形的存在性問題常與二次函數(shù)、一次函數(shù)有機結(jié)合起來考察,對知識的遷移能力、分析問題和靈活運用問題的能力要求較高,發(fā)現(xiàn)和總結(jié)二次函數(shù)背景下直角三角形存在性問題的解題方法,對于夯實“四基”,發(fā)展“四能”,培養(yǎng)學生的理性思維意義重大,在問題解決的過程中,通過“學會”走向“會學”.

1 內(nèi)容分析

1.1 地位和作用

函數(shù)是初中數(shù)學的核心內(nèi)容,以二次函數(shù)為載體的直角三角形存在性問題,是中考的重點也是難點,綜合考察了學生的運算能力、邏輯推理能力、數(shù)學抽象能力等,借助幾何畫板的動態(tài)直觀演示,通過本節(jié)課的教學設計,幫助學生整體復習二次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理、直角坐標系等相關知識,幫助學生建立二次函數(shù)、一次函數(shù)、三角形、直角坐標系之間的聯(lián)系,構(gòu)建更廣闊、更簡約的知識體系,促進學生思維發(fā)展.

1.2 思想方法

數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化

1.3 能力發(fā)展

基于二次函數(shù)背景下的直角三角形存在性問題,建立二次函數(shù)與三角形、一次函數(shù)的聯(lián)系,在尋找問題解決的過程中,發(fā)展了學生的數(shù)學抽象能力,培養(yǎng)了學生的邏輯推理能力和直觀想象能力.

1.4 教學重點

學會從代數(shù)和幾何兩方面尋找基于二次函數(shù)背景下直角三角形存在性問題的解決方法,并且解決新的問題.

2 教學目標

(1)回顧二次函數(shù)和直角三角形的相關性質(zhì),會用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式.

(2)掌握“以二次函數(shù)為載體的直角三角形存在性問題”的代數(shù)方法和幾何方法,領悟分類討論的數(shù)學思想方法.

(3)結(jié)合圖像理解二次函數(shù)、一次函數(shù)、三角形之間的關系,感受數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想.

(4)能根據(jù)具體問題選擇合適的數(shù)學方法,發(fā)展邏輯推理和直觀想象能力.

3 教學問題診斷分析

3.1 學生已有的基礎

學生已經(jīng)復習了二次函數(shù)、一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)、勾股定理等相關知識,初步理解了數(shù)學知識的相關聯(lián)系,知道了分類討論、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想.

3.2 存在的困難

學生面對分類討論的問題有“畏難心理”,很難建立函數(shù)與直角三角形之間的聯(lián)系,難以合適構(gòu)建“數(shù)學模型”,從而解決數(shù)學問題.

3.3 教學難點

學生難以借助“數(shù)形結(jié)合”研究數(shù)學問題,尤其是當動點在二次函數(shù)圖像上時,在解決綜合問題上有困難.

4 教學過程

4.1 知識回顧,方法滲透

例1 如圖1,已知拋物線y=-x2+bx+c與直線AB相交于A(-3,0),B(0,3)兩點.

圖1

(1)求拋物線的解析式;

(2)設C是拋物線對稱軸上的一動點,求使∠CBA=90°的點C的坐標.

解析:(1)把點A(-3,0),B(0,3)代入y=-x2+bx+c易得y=-x2-2x+3.

(2) 法一(如 圖2) :過點B作CB⊥AB,交拋物線的對稱軸于點C,過點C作CE⊥y軸,垂足為點E,∵y=-x2-2x+3,∴拋物線對稱軸為直線x=-1,∴CE=1,∵AO=BO=3,∴∠ABO=45°,∠CBE=45°,∴BE=CE=1,∴OE=OB+BE=4,∴點C的坐標為(-1,4).

圖2

法二(如圖3) :設C(-1,m),∵∠CBA=90°,根據(jù)勾股定理得AB2+BC2=AC2,即32+32+12+(3-m)2=22+m2,解得m=4.∴點C的坐標為(-1,4).

圖3

法三:設C(-1,m),∵∠CBA=90°,∴kBC ·kAB=-1,即=-1,解得m=4.∴點C的坐標為(-1,4).

【設計意圖】通過本題的學習回顧用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式,初步體會直角三角形的性質(zhì),運用勾股定理相關知識表示直角三角形的三邊關系,體會“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學思想方法,初步體會方法的多樣性,感受“數(shù)形結(jié)合”方法的“簡潔性”.

【信息技術(shù)運用】通過幾何畫板現(xiàn)場直觀展示動點所在位置,以幾何畫板為載體,通過“圖文并茂和標注顏色”直觀感受,搭建“數(shù)”與“形”的橋梁,當∠CBA=90°時,求得點C的坐標.

4.2 知識運用,分類討論

例2 (2020 年內(nèi)蒙古通遼市中考試卷改編)如圖4,在平面直角坐標系中,拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點A、B,與y軸交于點C.且直線y=x-6 過點B,與y軸交于點D,點C與點D關于x軸對稱,過點P(2,0)作x軸的垂線交拋物線于點M,交直線BD于點N.

圖4

(1)求拋物線的函數(shù)解析式;

(2)在y軸上是否存在點Q,使得以Q,M,N三點為頂點的三角形是直角三角形? 若存在,直接寫出點Q的坐標;若不存在,說明理由.

解析:(1)拋物線的解析式為:y=-x2+5x+6(略).

(2)把x=2 代入y=-x2+5x+6得M(2,12),把x=2 代入y=x-6得N(2,-4).

當∠QMN=90°時(如圖5),QM//x軸,則Q1(0,12);

圖5

當∠MNQ=90°時(如圖6),NQ//x軸,則Q2(0,-4);

圖6

當∠MQN=90°時,設Q(0,n).

圖7

圖8

【設計意圖】當動點P在一條直線上時,探索不同解決問題的辦法,感受代數(shù)和幾何方法的異同,掌握函數(shù)背景下直角三角形存在性問題的解決方法,領悟“轉(zhuǎn)化”、“分類討論”和“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學思想方法,建立二次函數(shù)、一次函數(shù)、三角形之間的聯(lián)系,構(gòu)建知識體系.

【信息技術(shù)運用】通過幾何畫板,搭建“數(shù)”與“形”的橋梁,通過圖形直觀,感受數(shù)學思想,將復雜的數(shù)學問題清晰可視化,從而達到解決問題的目的.

4.3 知識升華,拓展運用

變式練習:如圖9,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點,與y軸交于點C.

圖9

(1) 求拋物線的解析式和直線AC的解析式;

(2)試探究:在拋物線上是否存在點P,使以點A,P,C為頂點,AC為直角邊的三角形是直角三角形? 若存在,請求出符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由.

解析:(1)二次函數(shù)的解析式為y=-x2+2x+3,直線AC的解析式為y=3x+3.(略)

(2)解:設P(m,-m2+2m+3),當PC⊥AC時(如圖10),過C點作直線l垂直于y軸,過點A、P分別作直線垂直于直線l,并且與直線l分別交于點D、E,垂足分別為點D、E.

圖10

圖11

【設計意圖】當動點P在拋物線上時,通過分析問題,發(fā)現(xiàn)利用勾股定理表示三邊關系會出現(xiàn)四次方,計算比較繁瑣,尋找其他方法,巧用“數(shù)形結(jié)合”,利用三角形相似或者三角函數(shù)可以解決問題,感受“數(shù)形結(jié)合”方法的“間接性”,通過“學會”轉(zhuǎn)向“會學”,進一步領悟“分類討論”、“轉(zhuǎn)化”、“數(shù)形結(jié)合”等思想方法.

【信息技術(shù)運用】借助幾何畫板,感受“數(shù)形結(jié)合”思想方法的優(yōu)越性,培養(yǎng)學生的直觀想象能力,發(fā)展學生的邏輯推理能力,促進深度教學.

4.4 歸納小結(jié),構(gòu)建體系

5 教學思考

5.1 以幾何畫板為催化劑,助推一題多解

《義務教育數(shù)學課程標準(2011 年版)》指出:“經(jīng)歷從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法的過程,體驗解決問題方法的多樣性,掌握分析問題和解決問題的一些基本方法[1].”讓學生通過小組合作學習,借助幾何畫板的動態(tài)演示,讓學生直觀感受二次函數(shù)背景下直角三角形存在性問題的過程,假設直角三角形存在,根據(jù)已知條件建立等量關系,得出正確結(jié)論,如果得出的結(jié)論與題意矛盾,則不存在,在解決問題的過程中發(fā)展了學生邏輯推理能力,在運用“數(shù)形結(jié)合”思想建立數(shù)學模型的過程中,發(fā)展了學生直觀想象能力,在運用勾股定理等數(shù)學知識解決問題的過程中發(fā)展學生的數(shù)學運算能力,教師在教學過程中鼓勵學生根據(jù)題意選擇適合的數(shù)學方法,讓“核心素養(yǎng)”在課堂的主陣地上落地生根.

5.2 以幾何畫板為載體,滲透數(shù)學思想

“存在性問題”綜合考察了學生的運算能力、邏輯推理能力、數(shù)學抽象能力、直觀想象能力等,對學生的思維要求較高,直觀想象是抽象思維的基礎,教師在教學過程中以幾何畫板為載體,通過圖形直觀,將點線之間的關系顯性化,將復雜的數(shù)學問題進行分解,通過“數(shù)”與“形”的結(jié)合,把抽象的數(shù)學問題、不好理解的數(shù)學知識變得直觀、可理解,使問題解決的思路有序化、可視化、清晰化,體現(xiàn)數(shù)學“簡約美”,滲透轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想方法,引領學生深度思考.

5.3 以幾何畫板為橋梁,通過“學會”走向“會學”

鄭毓信教授在“數(shù)學深度教學”十講中提到數(shù)學教育的目標由“幫助學生學會數(shù)學地思維”轉(zhuǎn)向“通過數(shù)學學會思維[2].”“深度教學”是從思維激發(fā)角度達到“深度”,利用幾何畫板輔助初中課堂教學,搭建“數(shù)”與“形”的橋梁,激發(fā)學生的“思維”,通過“二次函數(shù)背景下直角三角形存在性問題”專題復習的數(shù)學思想方法拓展到等腰三角形、等邊三角形、平行四邊形存在性問題,從“學會”轉(zhuǎn)向“會學”,引領學生深度思考,讓學生真正成為學習的“主人”.