對“直線與平面所成角”復習的教學思考

浙江省臺州市第一中學(318000) 曹賢鳴 陳亞菲

求直線與平面所成角大小問題,是立體幾何中的重點問題之一.課堂觀察和作業(yè)批改中發(fā)現:求解直線與平面所成角大小問題時,絕大部分學生習慣于運用向量建系法或等體積法求解此類問題.他們認為:用向量建系法,思路簡單,可以程序化求解;用等體積法,利用幾何體的體積相等進行距離之間的轉換,無須考慮垂線的垂足的具體位置,可簡化求解思路.由于習慣了這兩種求法,大部分學生解題時往往忽略了幾何法的存在.但有些題,在求解過程中不易找出兩兩垂直的三條直線,如果強行建系,會增加運算量,甚至因運算繁瑣導致半途而廢;而一些不易求出點與面之間距離的題,等體積法也無用武之地.這就要求教師在復習直線與平面所成角求法時,在鞏固向量建系法和等體積法之后,還要回歸到綜合幾何法的復習.通過對幾何法的訓練,完善學生求解直線與平面所成角的方法,幫助學生完善立體幾何中點、線、面之間的知識體系和方法體系.

1 對“線面角”復習的思考

用代數的運算解決幾何問題是現代數學的重要研究手段,所以運用向量法求解立體幾何中的相關問題是課堂教學的主流.課標解讀指出,“學生除了掌握用代數方法解決幾何問題外,還要學會在幾何中為代數問題尋找直觀背景的方法”.所以“空間幾何與代數的教學中,在培養(yǎng)學生直觀想象素養(yǎng)的同時,也要重視邏輯推理的教學.代數為幾何提供研究方法,幾何為代數提供直觀背景,兩者相互滲透,有助于提高學生的邏輯推理能力”.

因此,高三復習時,在完成了用坐標法和等體積法求解直線與平面所成角的復習之后,還要適當補充綜合幾何法的求解方法.通過綜合應用知識的訓練,溝通知識之間的聯系和規(guī)律;幫助學生理清知識的來龍去脈,理解問題的幾何背景.通過多種解法后的反思,讓同學們弄清綜合幾何法、向量坐標法和等體積法的聯系與區(qū)別,確保具體操作時能迅速而準確地選用合適的求解方法.

2 綜合幾何法求解“線面角”的教學實踐

利用幾何法求解直線與平面所成角問題的本質是利用已知條件、定理、性質實現立體幾何問題平面化.其中最為關鍵的是找出目標平面的一條合適的垂線,有了垂線就有了垂足,垂足與斜足之間的連線就是直線在平面內的射影.這樣構造出的斜線與射影所成的平面角就是這條直線與平面所成角.垂面法是求解直線與平面所成角問題的常用方法之一,根據教學實踐,垂面法是尋找目標平面的垂線時的一種有效的方法,先尋找出直線與平面所成角的目標平面的一個垂面,然后在尋找到的垂面內作出它與目標平面的交線的一條垂線,那么這條直線就垂直于目標平面.下面以近幾年浙江高考題為例,說明利用這一數學模型求解直線與平面所成角問題的具體方法.

題1 (2018 年浙江高考題)如圖,已知多面體ABC -A1B1C1,AA1、BB1、CC1均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,AA1=4,CC1=1,AB=BC=BB1=2.

(Ⅰ)證明:AB1⊥平面A1B1C1;

(Ⅱ)求直線AC1與平面ABB1所成角的正弦值.

分析與求解:(Ⅰ)略;

(Ⅱ) 已知AA1、BB1、CC1均垂直于平面ABC,所以AA1與BB1共面,因此平面ABB1就是平面ABB1A1.

(1)尋找目標平面ABB1也就是平面ABB1A1一個垂面,就是要找到與平面ABB1內一條直線垂直的平面,由(Ⅰ)結論:平面ABB1內的直線AB1⊥平面A1B1C1,那么平面ABB1⊥平面A1B1C1.

題2 (2019 年浙江高考題)如圖,已知三棱柱ABC -A1B1C1,平面A1AC1C⊥平面ABC,∠ABC=90°,∠BAC=30°,AA1=A1C=AC,E,F分別為AC,A1B1的中點.

(Ⅰ)證明:EF⊥BC;

(Ⅱ)求直線EF與平面A1BC所成角的余弦值.

分析與求解:(Ⅰ)題目中垂直信息:

(1)等邊ΔAA1C中,AE=EC,則A1E⊥AC;結合平面A1AC1C⊥平面ABC,且平面A1AC1C∩平面ABC=AC,那么A1E⊥平面ABC.

(2)由∠ABC=90°得AB⊥BC.三棱柱中AB//A1B1,則有BC⊥A1B1.由(1)結論有BC⊥A1E,又A1E∩A1B1=A1得BC⊥平面A1B1E,進而可得EF⊥BC.

(Ⅱ) 先尋找平面A1BC內一條直線垂直的一個平面,(Ⅰ)的(2)中有平面A1BC內一條直線BC⊥平面A1B1E,那么平面A1BC⊥平面A1B1E.只要在平面A1B1E內的直線EF上取一點作平面A1B1E與平面A1BC的交線的垂線,此線就是平面A1BC的垂線.圖中兩平面無交線,將平面延展作出其交線.取BC中點G,連EG、GF,易知四邊形EGFA1是平行四邊形,所以平面A1B1E就是平面EGFA1,此時平面EGFA1∩平面A1BC=A1G.由A1E⊥平面ABC,EG ?平面ABC,則A1E⊥EG,所以四邊形EGFA1是矩形.在平面EGFA1內過E作A1G的垂線,此時EF在平面A1BC上的射影在直線A1G上,所以∠EOG(或其補角)是直線EF與平面A1BC所成角.

題3 (2017 年浙江高考題)如圖,已知四棱錐P -ABCD,ΔPAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形,BC//AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E為PD的中點.

(Ⅰ)證明:CE//平面PAB;

(Ⅱ)求直線CE與平面PBC所成角的正弦值.

分析與求解:(Ⅰ)略;

(Ⅱ)題目中垂直信息:

(1) ΔPAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形PA⊥PD;取AD的中點N,則PN⊥AD;結合BC//AD得PN⊥BC.

(2)底面ABCD中CD⊥AD,且AD=2DC=2CB,四邊形BCND是一個矩形,所以BN⊥AD,BN⊥BC,CD⊥BC.目標:尋找平面PBC內的一條直線垂直的一個垂面.

(i)垂直信息中垂直的條件相對集中于平面PBC內的“直線BC”,垂直于BC的平面就垂直于平面PBC.

(ii)由垂直信息(1)中PN⊥BC和(2)中BN⊥BC.可得BC⊥平面PBN,又BC ?平面PBC,所以平面PBC⊥平面PBN.

因此,只要在平面PBN作這兩平面的交線PB的垂線,那么所作直線就是平面PBC的一條垂線.

本題與題1、題2 不同的是前兩題中的“線面角”的直線中有點在所構造的垂面內,而本題中的直線CE與平面PBC的交點為C,線段CE上除點C外沒有點在平面PBN內,不能直接利用前面的模型求解.

如果將直線CE平移使之與平面PBN產生交點,即在平面PBN內作直線CE的平行線,利用兩條平行線與一個平面所成角相等,就能將問題轉化為前面所提的模型求解了.

取PA中點F,得到平行四邊形BCEF,設EF ∩PN=Q,由于E為PD的中點,PN是AD的中垂線,所以Q為EF的中點;在平行四邊形BCEF中,CE//QM,直線QM與平面PBC所成角就等于直線CE與平面PBC所成角了.在平面PBN內過Q作QH⊥PB,則QH⊥平面PBC,連HM,則∠QHM是直線QM與平面PBC所成角.

求解直線與平面所成角問題的關鍵是尋找目標平面的一條合適的垂線,所以解題時要盡可能挖掘題中垂直的信息,關注垂直信息中與目標平面垂直的直線,找出與目標平面垂直的平面.由以上三個題目的求解可以看到,與目標平面垂直的平面的出現是多樣化的.如題1 中目標平面的垂面的信息來自于第(Ⅰ)題的結論;題2 中目標平面的垂面的信息來自于第(Ⅰ)題的證明過程;雖然在題3 中尋找到的目標平面的垂面中,除直線與平面交點外再無其他交點,但通過適當的平移,仍可將該題轉化為適用于以上模型求解的問題,進而求解.

3 結束語

復習時,如果滿足于等體積法和向量建系法,就會造成學生空間想象能力和邏輯推理能力的缺失,不利于他們領悟蘊含其中的數學思想方法,也不利于他們數學活動經驗的積累.復習求解“線面角”問題時,我們既要重視深受學生喜歡的等體積法和向量建系的教學,也要在他們掌握這兩種方法的基礎上,鼓勵學生回歸幾何法,通過幾何法提高學生的直觀想象能力和邏輯推理能力,通過向量建系法、等體積法的代數法提升學生的數學運算能力,進而培養(yǎng)和發(fā)展學生的數學核心素養(yǎng).