改進(jìn)的G-布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程的穩(wěn)定性

高亞楠,呂 文

(煙臺(tái)大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，山東 煙臺(tái) 264005)

隨機(jī)穩(wěn)定性一直是隨機(jī)微分方程理論和應(yīng)用研究中的核心議題[1-2]。自從PENG[3]建立了G-期望、G-布朗運(yùn)動(dòng)理論和相應(yīng)的隨機(jī)計(jì)算以來(lái)，學(xué)者們對(duì)G-布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程(簡(jiǎn)稱G-SDEs)解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性進(jìn)行了大量的研究[4-11]，其中文獻(xiàn)[6]研究了由G- 布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程的可解性和穩(wěn)定性；文獻(xiàn)[10]考慮一類由G-布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的脈沖隨機(jī)微分方程，利用Lyapunov函數(shù)方法，建立了此類微分方程平凡解的p階矩穩(wěn)定性和p階矩漸近穩(wěn)定性的若干判據(jù)；文獻(xiàn)[11]證明了一類由G-布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的多值隨機(jī)微分方程解的存在唯一性。就我們所知，多數(shù)關(guān)于G-SDE的解的穩(wěn)定性結(jié)果都是基于G-Lyapunov函數(shù)的無(wú)窮小算子為負(fù)定的約束條件得到的。為了研究線性時(shí)變系統(tǒng)和時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性，文獻(xiàn)[12] 和[13] 引入了一致漸近穩(wěn)定函數(shù)(UASF)，文獻(xiàn)[14]基于這種一致漸近穩(wěn)定函數(shù)構(gòu)造了一些新的穩(wěn)定性定理，取消了對(duì)引入的不定函數(shù)的一些約束。關(guān)于隨機(jī)非線性系統(tǒng)，文獻(xiàn)[15]利用一致漸近穩(wěn)定函數(shù)，提出了一系列新的穩(wěn)定性(不穩(wěn)定性)判據(jù)。

在上述工作的啟發(fā)下，本文旨在減弱對(duì)G-Lyapunov函數(shù)的約束，利用UASF對(duì)由G-布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程給出新的穩(wěn)定性(不穩(wěn)定性)判據(jù)。本文第1部分將介紹一些基本概念；第2部分中，討論了關(guān)于G-SDE的新型穩(wěn)定性定理；第3部分研究了G-SDE的失穩(wěn)判據(jù)；最后對(duì)本文結(jié)果進(jìn)行了總結(jié)。

1 預(yù)備知識(shí)和基本假設(shè)

下面介紹有關(guān)G-期望、G-布朗運(yùn)動(dòng)及相關(guān)隨機(jī)微積分的一些基本概念。

令Ω為取值n上的初值為0的連續(xù)函數(shù)ωt的全體，定義其中任意兩過(guò)程之間的距離為

ρ(ω1,ω2)=

對(duì)于t∈[0,∞)，

·Bt(ω):=ωt,ω∈Ω。

·B(Ω):Ω的Borelσ-代數(shù),Ωt={ω·Λt:ω∈Ω}, Ft:=B(Ωt)。

·Lip(Ω):={φ(Bt1, …,Btn):n≥1,t1, …,tn∈[0,∞),φ∈Cb,Lip(d ×n)},其中Cb, Lip(d ×n)為d ×n上有界的Lipschitz函數(shù)全體。

·L0(Ω)為B(Ω)-可測(cè)實(shí)值函數(shù)全體,L0(Ωt)為B(Ωt)-可測(cè)實(shí)值函數(shù)全體。

·B(Ω)中連續(xù)元素全體記為Cb(Ω) ,Cb(Ωt):=Cb(Ω)∩L0(Ωt)。

·Lip(Ωt):=Lip(Ω)∩L0(Ωt)。

定義1 記u(t,x)是下列PDE的粘性解：

[φ(B(t)+x)]:=u(t,x),

則B(t)是G-期望空間(Ω,Lip(Ω),(·))中的G-布朗運(yùn)動(dòng)，而且B(t)服從G-正態(tài)分布

其中EP是關(guān)于P的線性期望。對(duì)于P，相關(guān)的容度定義為

C(A):=supP∈PP(A),A∈B(Ω)。

定義2 如果C(A)=0，則稱集合A∈B(Ω)為極集。如果一個(gè)性質(zhì)在一個(gè)極集之外成立，那么它就被稱為擬必然成立(簡(jiǎn)稱q.s.)。

j=1,2, …,N-1。

記〈B〉(t)是B(t)的二階變差過(guò)程，即

引理1 對(duì)于M0∈,和過(guò)程

是一個(gè)G-鞅。

(ηtdB(t))=0,

本文考慮如下形式的由G-布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的n維隨機(jī)微分方程(G-SDE)。

(1)

其中x0∈n是初值，B(·)是一維G-布朗運(yùn)動(dòng)?！碆〉(·)是G-布朗運(yùn)動(dòng)B(·)的平方變差過(guò)程。系數(shù)且f(t,0)=h(t,0)=g(t,0)≡0。由于本文主要研究穩(wěn)定性結(jié)果，因此假設(shè)對(duì)任意初值x0,方程的解總是存在的，記為x(t)。

定義G-Lyapunov算子為

LV(t,x)=Vt(t,x)+Vx(t,x)f(t,x)+

G(〈Vx(t,x),2h(t,x)〉+

〈Vxx(t,x)g(t,x),g(t,x)〉)。

定義5 記初值為x(0)=x0,x0∈n的G-SDE的解為x(t)，其平凡解稱為

(1)指數(shù)p-穩(wěn)定，如果存在常數(shù)C,λ>0，有

[|x(t)|p]≤C|x0|pe-λt;

(2)指數(shù)p-不穩(wěn)定，如果存在常數(shù)C,λ>0，有

[|x(t)|p]≥C|x0|peλt。

為了研究線性時(shí)變系統(tǒng)的穩(wěn)定性，推廣時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的Razumikhin和Krasovskii穩(wěn)定性定理，文獻(xiàn)[12]和[13]引入了一致漸近穩(wěn)定函數(shù)。

2 穩(wěn)定性定理

本節(jié)將討論G-SDE (1)的新的穩(wěn)定性條件。

定理1 對(duì)于方程(1)，如果存在V(t,x(t))∈C1,2([0,∞)×n;+)，常數(shù)α1,α2,p>0和UASFμ(t)使得對(duì)所有的t∈[0,∞)：

(2)

則G-SDE (1)的平凡解是指數(shù)p-穩(wěn)定的。

(Vt(t,x(t))+Vx(t,x(t))f(t,x(t)))dt+

Vx(t,x(t))h(t,x(t))d〈B〉t+

Vx(t,x(t))g(t,x(t))dB(t)]=

(Vt(t,x(t))+Vx(t,x(t))f(t,x(t)))dt+

Vx(t,x(t))h(t,x(t))d〈B〉t+

g(t,x(t))〉d〈B〉t+

Vx(t,x(t))g(t,x(t))dB(t)]+

〈Vxx(t,x(t))g(t,x(t)),g(t,x(t))〉))dt-

〈Vxx(t,x(t))g(t,x(t)),g(t,x(t))〉))dt=

Vx(t,x(t))g(t,x(t))dB(t)]+dMt，

其中

g(s,x(s))〉]d〈B〉s-

〈Vxx(s,x(s))g(s,x(s)),g(s,x(s))〉))ds。

由上式可得

Vx(s,x(s))g(s,x(s))dB(s)]+Mt。

V(0,x0)≤

由式(2)，

V(0,x0)≤0,

故

由式(2)，可得

α1|x(t)|p≤α2|x0|peσe-λt,

因此

即G-SDE (1)的平凡解是指數(shù)p-穩(wěn)定的。

3 不穩(wěn)定性定理

定理2 對(duì)于G-SDE (1)，如果存在V(t,x(t))∈C1,2([0,∞)×n;+)，常數(shù)α1,α2,p>0和UASFμ(t)使得對(duì)所有的t∈[0,∞)：

(3)

則G-SDE (1)的平凡解是指數(shù)p-不穩(wěn)定的。

(Vt(t,x(t))+Vx(t,x(t))f(t,x(t)))dt+

Vx(t,x(t))h(t,x(t))d〈B〉t+

g(t,x(t))〉d〈B〉t+

Vx(t,x(t))g(t,x(t))dB(t)]=

(Vt(t,x(t))+Vx(t,x(t))f(t,x(t)))dt+

Vx(t,x(t))g(t,x(t))dB(t)+

Vx(t,x(t))h(t,x(t))d〈B〉t+

g(t,x(t))〉d〈B〉t]+

〈Vxx(t,x(t))g(t,x(t)),g(t,x(t))〉))dt-

〈Vxx(t,x(t))g(t,x(t)),g(t,x(t))〉))dt=

Vx(t,x(t))g(t,x(t))dB(t)]+dMt,

其中

g(s,x(s))〉]d〈B〉s-

〈Vxx(s,x(s))g(s,x(s)),g(s,x(s))〉))ds。

由上式可得

Vx(s,x(s))g(s,x(s))dB(s)]+Mt。

兩邊取G-期望可得

V(0,x0)≤

LV(s,x(s))ds]≤0,

故

eλt-σV(0,x0)。

由式(3)可得

即G-SDE (1)的平凡解是指數(shù)p-不穩(wěn)定的。

4 總 結(jié)

對(duì)于由G-布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程，本文給出了新的穩(wěn)定性和不穩(wěn)定性定理。特別地，當(dāng)μ(t)=-λ時(shí)即得文獻(xiàn)[6]中的結(jié)果，故本文的結(jié)果減弱了對(duì)G-Lyapunov函數(shù)的約束。