小題壓軸、例析數(shù)列計數(shù)問題的幾個思路

王永軍

（重慶市廣益中學(xué)校，重慶 400065）

填空題在高考數(shù)學(xué)試題中具有承前啟后的作用，一般前承選擇題、后啟解答題，個別填空題還具有“壓軸大題”的功能，想要“解答”清楚并非易事。數(shù)列中的計數(shù)問題是數(shù)列的基本的、核心的問題，數(shù)列的項數(shù)問題是數(shù)列求和的前期問題。本文主要結(jié)合近幾年的高考數(shù)學(xué)試題中數(shù)列填空題中的計數(shù)問題，給出三個求解思路。

一、常規(guī)方法，直接感知

列舉、寫出數(shù)列的前幾項，直接感知數(shù)列的通項公式，是計數(shù)問題的最基本、最常規(guī)的方法。

例題1（2020年高考新高考卷） 將數(shù)列{2n-1}與{3n-2}的公共項從小到大排列，得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項和為_______。

解析 分別寫出數(shù)列{2n-1}與{3n-2}的前幾項，發(fā)現(xiàn)公共項為1、7、13、19，……，于是可以猜測數(shù)列{an}是以1為首項、6為公差的等差數(shù)列。

an=1+(n-1)·6=6n-5，

綜上所述，A=B，猜測正確。這樣的推理過程在考試中是不允許的（主要是時間不允許、沒時間），也是沒有必要的。但是在平時的訓(xùn)練中應(yīng)加強(qiáng)練習(xí)，增加對數(shù)列推理的一些感性認(rèn)識，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣[1-2]。

二、估算逼近，合情推理

一些看似簡單的數(shù)列，要想精確的求解，需要對數(shù)列的項數(shù)不斷進(jìn)行“逼近”，要對項數(shù)進(jìn)行合理、充分地估算，以合情推理達(dá)到求解的目的。

例題2（2018年高考江蘇卷） 已知集合A={x|x=2n-1，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}，AB中的所有元素按從小到大的順序依次排列構(gòu)成一個數(shù)列{an}。記數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則使Sn＞12an+1成立的n的最小值為______。

解析 數(shù)列{an}的前幾項是容易列舉的，但本題是一個非常復(fù)雜的數(shù)列計數(shù)問題。

答案：27。

我們可以很容易寫出數(shù)列{an}的前10項、前20項，而且數(shù)列中自然數(shù)排列的規(guī)律也很明顯?，F(xiàn)在采用估值逼近的辦法對本題進(jìn)行精致的求解[3-4]。

第一步，易見數(shù)列{an}是嚴(yán)格單調(diào)遞增數(shù)列。

又a12=24=16，a13=17，欲使Sn＞12an+1成立，則n≥13。

而12a14-S13=117，a17=25，4a17＜117，故n≥17。

第二步，現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明：若存在n（n≥17），使Sn＞12an+1成立，則Sn+1＞12an+2，即n+1也使不等式成立。

事實上，易見an+1＞24≥(an+2-an+1)，

于是Sn+1=Sn+an+1＞13an+1＞12an+2。

這表明，若Sn＞12an+1，則使其成立的n的最小值是存在的。

第三步，估算、逼近區(qū)間。

注意到a21=25=32，

而12a12=12·33=396＞318，故n＞21。

類似地，a38=26=64，S36=1023＞756＞12a37。

下面考慮21＜n≤36。

第四步，精準(zhǔn)求解。

Sn=(1+3+…+2(n-5)-1)+(21+22+…+25)

=(n-5)2+(26-2)

＞12an+1=12(2(n-4)-1)

整理得，n2-34n+195＞0，

本題為了求和，對數(shù)列進(jìn)行了細(xì)致地研讀，合理分段、合情推理、步步逼近，以期達(dá)到精準(zhǔn)計數(shù)的目的。

三、回歸過程，生成有據(jù)

生活中很多有趣的手工活動為數(shù)列的應(yīng)用提供了廣闊的舞臺，它們有的是我國古老的民間藝術(shù)、是我國傳統(tǒng)文化的瑰寶、是非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，有著豐富的歷史文化信息。

解析 本題折紙過程是清晰的，第一空用列舉法，不難。第二空需要找到“數(shù)列的通項”，很難，體現(xiàn)了高考“壓軸大題”的本色。

答案：5；720-15(n+3)·24-n

在求解第一空時用列舉法會發(fā)現(xiàn)圖形的“重復(fù)”，比如對折2次，會出現(xiàn)2次10dm×6dm規(guī)格的圖形，但最后種數(shù)只算1次。隨著對折次數(shù)的增加“重復(fù)”次數(shù)也會增加。這個計數(shù)必須搞清楚，否則Sn無法計算，求和就更無從談起[5]。

無序的列舉是繁雜的、徒勞的。要搞清楚計數(shù)問題，必須回歸折紙的過程，看看“新”的矩形到底是如何產(chǎn)生的。

這樣，對折后的小矩形好像有k+1種。問題是這k+1種小矩形有沒有“重復(fù)”的？下面證明恰好有這么多。

顯然，

重視數(shù)列的生成和發(fā)展，抽象、化歸為常見的數(shù)列模型是處理數(shù)列問題的重要思想方法。注重在知識點的“交匯”處處理問題。補例4是數(shù)列與三角函數(shù)的交匯與融合，很好地考查了數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識，是值得關(guān)注與研究的考試試題題型。

四、備考反思

常規(guī)的列舉法是考查數(shù)列中計數(shù)問題的最重要、最基本的方法。由列舉而猜測數(shù)列的“通項”，僅此猜測對于考試中的填空題解答來說好像已經(jīng)足夠了。作為平時的練習(xí)作業(yè)，“先猜后證”是重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法（學(xué)習(xí)態(tài)度），也是科學(xué)研究的重要方法?！白C”得多了，“猜”才有感覺、才有頓悟，可以減少盲目性、多一份自信。畢竟學(xué)習(xí)要知其然，更知其所以然。