基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角下賞析一道高考真題

胡 娜

(河北省石家莊市第一中學(xué))

母題(2021年新高考Ⅱ卷)一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來,設(shè)一個這種微生物為第0代,經(jīng)過一次繁殖后為第1代,再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……,該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列,設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù),P(X＝i)＝pi(i＝0,1,2,3).

(1)已知p0＝0.4,p1＝0.3,p2＝0.2,p3＝0.1,求E(X);

(2)設(shè)P表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率,p是關(guān)于x的方程:p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一個最小正實根,求證:當(dāng)E(X)≤1時,p＝1,當(dāng)E(X)＞1時,p＜1;

(3)請根據(jù)你的理解,說明第(2)問結(jié)論的實際含義.

(1)利用公式計算可得E(X).

由題意P(X＝0)＝0.4,P(X＝1)＝0.3,P(X＝2)＝0.2,P(X＝3)＝0.1,則

(2)利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合f(1)＝0及極值點的范圍可得f(x)的最小正零點.

設(shè)f(x)＝p3x3＋p2x2＋(p1-1)x＋p0,因為p3＋p2＋p1＋p0＝1,故

若E(X)≤1,則p1＋2p2＋3p3≤1,故p2＋2p3≤p0.因為f′(x)＝3p3x2＋2p2x-(p2＋p0＋p3),所以

故f′(x)有兩個不同的零點,設(shè)其為x1,x2,x1＜0＜1≤x2,當(dāng)x∈(-∞,x1)∪(x2,＋∞)時,f′(x)＞0.當(dāng)x∈(x1,x2)時,f′(x)＜0,故f(x)在(-∞,x1),(x2,＋∞)上單調(diào)遞增,在(x1,x2)上單調(diào)遞減.若x2＝1,因為f(x)在(x2,＋∞)上單調(diào)遞增且f(1)＝0,而當(dāng)x∈(0,x2)時,因為f(x)在(x1,x2)上單調(diào)遞減,故f(x)＞f(x2)＝f(1)＝0,故1為p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一個最小正實根,若x2＞1,因為f(1)＝0且在(0,x2)上單調(diào)遞減,故1為p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一個最小正實根.

綜上,若E(X)≤1,則p＝1.

若E(X)＞1,則p1＋2p2＋3p3＞1,故p2＋2p3＞p0,此時

故f′(x)有兩個不同的零點,設(shè)其為x3,x4,且x3＜0＜x4＜1,當(dāng)x∈(-∞,x3)∪(x4,＋∞)時,f′(x)＞0;當(dāng)x∈(x3,x4)時,f′(x)＜0,故f(x)在(-∞,x3),(x4,＋∞)上單調(diào)遞增,在(x3,x4)上單調(diào)遞減,而f(1)＝0,故f(x4)＜0.

又f(0)＝p0＞0,故f(x)在(0,x4)存在一個零點p,且p＜1,所以p為p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一個最小正實根,此時p＜1,故當(dāng)E(X)＞1 時,p＜1.

(3)利用期望的意義及根的范圍可得相應(yīng)的實際含義.

意義:每一個該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過1,則若干代臨近滅絕,若繁殖后代的平均數(shù)超過1,則若干代后被滅絕的概率小于1.

【數(shù)學(xué)建?！勘绢}所設(shè)計的模型有兩個,一是涉及期望的計算,這里是概率統(tǒng)計問題中的常見數(shù)學(xué)模型;二是函數(shù)的零點問題,這通過概率與導(dǎo)數(shù)的有機結(jié)合,較好地呈現(xiàn)出了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題.

【數(shù)學(xué)運算】對于一道復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題,要想正確解答,要能夠正確運算每一步,這里要能夠正確根據(jù)期望公式進行計算,要能夠正確利用導(dǎo)數(shù)公式進行求導(dǎo),同時明確概率的和為1,只有在正確計算的基礎(chǔ)上才能夠完整解答所給問題.

【數(shù)據(jù)分析】根據(jù)第(2)問的實際含義,聯(lián)系實際,能夠用數(shù)據(jù)說話,較好地對學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力進行考查.

【邏輯推理】根據(jù)概率和為1進行變量代換,較好地檢測學(xué)生的思維能力,根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和零點能夠較好地檢測學(xué)生的邏輯推理能力.

第(2)問除上述解法外,還可以這樣解答.

由題意知

當(dāng)E(X)≤1時,f(1)≤0,f(x)的正實根x0≥1,原方程的最小正實根為p＝1;當(dāng)E(X)＞1,f(1)＞0,f(x)的正實根x0＜1,原方程的最小正實根p＝x0＜1.

追蹤練習(xí)

貝諾酯為對乙酰氨基酚與阿司匹林的酯化產(chǎn)物,是一種新型的抗炎、抗風(fēng)濕、解熱鎮(zhèn)痛藥,主要用于類風(fēng)濕關(guān)節(jié)炎、急慢性風(fēng)濕性關(guān)節(jié)炎、神經(jīng)痛及術(shù)后疼痛.藥監(jiān)部門要利用小白鼠扭體實驗,對某廠生產(chǎn)的該藥品的鎮(zhèn)痛效果進行檢測,若用藥后的小白鼠扭體次數(shù)沒有減少,扭體時間間隔沒有變長,則認定鎮(zhèn)痛效果不明顯.

(2)若該藥品對每只雌性小白鼠鎮(zhèn)痛效果明顯的概率均為p,現(xiàn)對6只雌性小白鼠逐一進行檢測,當(dāng)檢測到鎮(zhèn)痛效果不明顯的小白鼠時,停止檢測.設(shè)至少檢測5只雌性小白鼠才能發(fā)現(xiàn)鎮(zhèn)痛效果不明顯的概率為f(p),求f(p)最大時p的值.

(1)由題意,隨機變量X的可能取值為-4,-2,0,2,4.因此

X的分布列如表1所示.

表1

(完)