張 俊 (山東省淄博市周村區(qū)城北中學(xué) 255300)
時(shí)翠萍 (山東省淄博市周村區(qū)第二中學(xué) 255300)
筆者近來(lái)研究2021年南通市中考試題第25題時(shí),發(fā)現(xiàn)該題以最基本的圖形變換“軸對(duì)稱”為背景,漸次生長(zhǎng),思路開(kāi)闊,是一道值得回味的題目,特撰文與大家交流.
ABCD
中,點(diǎn)E
在邊AD
上(不與端點(diǎn)A
,D
重合),點(diǎn)A
關(guān)于直線BE
的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F
,連結(jié)CF
,設(shè)∠ABE
=α
.圖1
(1)求∠BCF
的大小(用含α
的式子表示);(2)過(guò)點(diǎn)C
作CG
⊥AF
,垂足為G
,連結(jié)DG
.判斷DG
與CF
的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;(3)將△ABE
繞點(diǎn)B
順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBH
,點(diǎn)E
的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H
,連結(jié)BF
,HF
.當(dāng)△BFH
為等腰三角形時(shí),求sinα
的值.A
、點(diǎn)F
關(guān)于直線BE
對(duì)稱,基于軸對(duì)稱變換,我們不妨連結(jié)BF
,從而構(gòu)造出對(duì)稱圖形,可得AB
=BF
=BC
,∠ABE
=∠FBE
=α
,此時(shí)∠FBC
=90°-2α
.在等腰三角形BCF
中,易得DG
與CF
的位置關(guān)系,但如果要說(shuō)明理由,對(duì)大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定的難度,此時(shí)題目已經(jīng)進(jìn)入寬進(jìn)難出的環(huán)節(jié).那么突破的方向在哪里呢?在此問(wèn)中,有一個(gè)“知識(shí)坎”很多學(xué)生未能逾越,導(dǎo)致問(wèn)題探究無(wú)法進(jìn)行到下一步.
在這里我們有必要細(xì)細(xì)品味一下:在圖2中,很多學(xué)生憑直觀猜測(cè)出了△CGF
是等腰直角三角形,但一直無(wú)法說(shuō)明∠AFC
=135°(這里考查了學(xué)生利用帶有字母的角的導(dǎo)角能力).如圖3,基于前面的分析我們可以得到∠AFB
=90°-α
,∠BFC
=∠BCF
=45°+α
,所以可得∠AFC
=∠AFB
+∠BFC
=90°-α
+45°+α
=135°.從而可以看到,盡管點(diǎn)F
的位置是變化的,但∠AFC
始終是一個(gè)定角.那該問(wèn)題的本質(zhì)在哪里?因?yàn)?p>BA=BF
=BC
,所以點(diǎn)F
在以點(diǎn)B
為圓心、BA
為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),根據(jù)定弦對(duì)定角,可知∠AFC
始終為135°.解決了這一問(wèn)題,就為后面的探究做好了鋪墊.圖3
思路1 如圖4,從構(gòu)造旋轉(zhuǎn)相似三角形的角度,連結(jié)對(duì)角線AC.
在△CGD
與△CFA
中,因?yàn)椤?p>ACD=∠FCG
=45°,所以∠ACF
=∠DCG.
又有可得△CGD
∽△CFA
,即∠CGD
=∠CFA
=135°,故∠DGA
=45°,∠CFG
=∠DGA
=45°,從而DG
∥CF
.圖4 圖5
思路2 如圖5,從“8”字相似三角形的角度,連結(jié)對(duì)角線AC.
因?yàn)椤?p>AMD=∠CMG
,∠ADM
=∠CGM
=90°,所以△AMD
∽△CMG
,可得即又因?yàn)椤?p>AMC=∠DMG
,所以△DMG
∽△AMC
,即∠DGA
=∠ACM
=45°,故∠CFG
=∠DGA
=45°,從而DG
∥CF
.思路3 如圖6,從點(diǎn)共圓的角度,連結(jié)對(duì)角線AC.
因?yàn)椤?p>ADC=∠AGC
=90°,所以點(diǎn)A
,D
,G
,C
在以AC
中點(diǎn)O
為圓心、OA
為半徑的圓上.在同圓中,可得∠DGA
=∠ACD
=45°,即∠CFG
=∠DGA
=45°,故DG
∥CF
.圖6 圖7
思路4 如圖7,從構(gòu)造全等三角形角度來(lái)思考,在AG
上截取AH
=CG.
因?yàn)椤?p>AMD=∠CMG
,∠ADM
=∠CGM
=90°,所以∠DAH
=∠DCG
.又有AD
=CD
,所以△DAH
≌△DCG
,可得∠ADH
=∠CDG
,HD
=GD
.因?yàn)椤?p>ADH+∠HDM
=90°,所以∠HDG
=90°,此時(shí)△HDG
是等腰直角三角形,故∠DGH
=45°,即∠CFG
=∠DGH
=45°,從而DG
∥CF
.BFH
為等腰三角形,我們考慮:①當(dāng)BF
=BH
時(shí),由于△BAE
≌△BCH
,所以BH
=BE
,又因?yàn)?p>BA=BF
,這時(shí)出現(xiàn)了BE
=BA
,在Rt△BAE
中是不可能的,顯然這種情況不存在.②當(dāng)BF
=HF
時(shí),∠FBH
=∠FHB
=90°-α
,可得∠BFH
=2α
,由于∠ABF
=2α
,所以此時(shí)AB
∥FH
,即點(diǎn)F
與點(diǎn)C
要重合,則需要點(diǎn)E
運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D
,與題意不相符,因此這種情況也不存在.相比第①種情況的驗(yàn)證,第②種情況的驗(yàn)證要求學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐评碚f(shuō)明,綜合性較強(qiáng).結(jié)合上述分析,只有一種可能是BH
=FH
,此時(shí)解決問(wèn)題的方向又在哪里?圖8
如圖8,基于△BHF
是等腰三角形,我們最基本的想法就是作等腰三角形底邊BF
上的高HM
,可得因?yàn)椤?p>MBH=∠AEB
=90°-α
,∠BMH
=∠EAB
=90°,BE
=BH
,所以△BAE
≌△HMB
,從而MB
=AE
,即在Rt△BAE
中,設(shè)AE
=m
,則AB
=2m
,由勾股定理可得所以以上分析是基于對(duì)△BFH
的思考,也是最基本、最容易想到的,但難度在于容易想到卻難深入下去,特別是面對(duì)變化的等腰三角形BFH
,很多學(xué)生會(huì)感到束手無(wú)策.那么我們能否把△BFH
轉(zhuǎn)化到和它全等的一個(gè)三角形中去研究呢?如圖8,基于已有條件BE
=BH
,BF
=BC
,∠EBC
=∠FBH
=90°-α
,我們可以連結(jié)EC
,易得△BFH
≌△BCE
,這樣我們就可以對(duì)△BCE
進(jìn)行討論:很明顯BE
=BC
和CE
=BC
這兩種情況都不成立,只有EB
=EC
,而此時(shí)點(diǎn)E
為AD
的中點(diǎn),易得這種思路也是本題的精彩之處,利用全等改變研究對(duì)象,是轉(zhuǎn)化思想的一種集中體現(xiàn).FGC
繞點(diǎn)C
按一定比例放縮旋轉(zhuǎn)得到等腰Rt△ADC
,在這一過(guò)程中,這一關(guān)系式保持不變,必然存在另一對(duì)相似的三角形.我們?cè)侔褕D形拓展到一般情況,如果△ADE
∽△ABC
,連結(jié)BD
,CE
,則會(huì)得到△ADB
∽△AEC
(圖9),這也是旋轉(zhuǎn)相似的成對(duì)存在性.圖9
第(2)問(wèn)的思路2是基于“8”字相似的成對(duì)存在性,如圖5,若△ADM
∽△CGM
,則必有△DMG
∽△AMC
,本身構(gòu)成這樣相似的點(diǎn)D
,G
,A
,C
與思路3的四點(diǎn)共圓是一致的.第(3)問(wèn)的第二種思路如同神來(lái)之筆,連結(jié)EC
,構(gòu)造的其實(shí)是一對(duì)具有對(duì)稱性的全等三角形,△BFH
≌△BCE
,并且關(guān)于直線BN
成軸對(duì)稱(圖10).基于圖形的對(duì)稱,聯(lián)想到全等,這其實(shí)就是一種發(fā)現(xiàn)對(duì)稱美的過(guò)程.圖10 圖11
基于本題圖形的變化,我們考慮再進(jìn)行一下變式的生長(zhǎng):原題點(diǎn)E
在線段AD
上運(yùn)動(dòng),我們讓點(diǎn)E
在射線AD
上運(yùn)動(dòng),其他條件保持不變,此時(shí)仍然可以得到DG
∥CF
(圖11).簡(jiǎn)析
盡管圖形改變了,但是我們探究的思路仍然可以延續(xù),這也是數(shù)學(xué)變化中的不變.此時(shí)∠ABE
=α
,基于點(diǎn)A
、點(diǎn)F
關(guān)于BE
對(duì)稱,連結(jié)BF
,可得AB
=BF
,BC
=BF
,△ABF
與△BCF
是等腰三角形,此時(shí)∠CFG
=∠BFC
-∠BFA
=135°-α
-(90°-α
)=45°,因此△CFG
是等腰直角三角形.連結(jié)AC
,因?yàn)椤?p>CFG∽△CAD
,由旋轉(zhuǎn)相似的成對(duì)性,可得出△DCG
∽△ACF
,所以∠DGC
=∠AFC
=∠FCG
=45°,即DG
∥CF
.圖12
當(dāng)然本題還有其他方法,這里不再贅述.現(xiàn)在我們改變對(duì)稱點(diǎn),繼續(xù)思考一下.如圖12,作點(diǎn)C
關(guān)于BE
的對(duì)稱點(diǎn)F
,連結(jié)BF
,作AG
⊥FC
,垂足為G
,連結(jié)DG
,求證:DG
∥AF
.這里通過(guò)推導(dǎo)角度仍然可得△AGF
為等腰直角三角形,連結(jié)AC
,此時(shí)△AGF
與△ADC
是相似的等腰三角形,由旋轉(zhuǎn)相似的成對(duì)性,還可以得出△DAG
∽△CAF
,進(jìn)而問(wèn)題可以突破.我們讓該問(wèn)題在此基礎(chǔ)上繼續(xù)生長(zhǎng).如圖13,正方形ABCD
中,點(diǎn)E
在邊AD
上(不與端點(diǎn)A
,D
重合),點(diǎn)C
關(guān)于直線BE
的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F
,連結(jié)CF
,BF
,同時(shí)連結(jié)FA
,BE
并分別延長(zhǎng)交于點(diǎn)G
,連結(jié)DG
,設(shè)∠ABE
=α
.(1)求∠BGF
的大?。?2)猜想DG
與AF
之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.簡(jiǎn)析
對(duì)于第(1)問(wèn),通過(guò)在等腰三角形△BCF
與△ABF
中進(jìn)行角度的轉(zhuǎn)換,不難得出∠BGF
的大小始終為45°,下面重點(diǎn)談一下第(2)問(wèn).如圖13,基于點(diǎn)C
與點(diǎn)F
關(guān)于BE
成軸對(duì)稱,我們從構(gòu)造對(duì)稱圖形的角度連結(jié)CG
,可得FG
=CG
,∠BGF
=∠BGC
=45°,△FGC
為等腰直角三角形.此時(shí)再連結(jié)對(duì)角線AC
,出現(xiàn)了相似的等腰Rt△FGC
與Rt△ADC
,易得所以△ACF
∽△DCG
,即圖13 圖14
當(dāng)然,該題也可以從全等角度入手.如圖14,基于△ABF
為等腰三角形,作BM
⊥AF
,垂足為M
,再過(guò)點(diǎn)D
作DH
⊥AG
,垂足為H
,此時(shí)易得△BMA
≌△AHD
,可得AM
=DH
,BM
=AH
.又MG
=BM
,故可得AM
=GH
=DH
,從而△GHD
為等腰直角三角形,即基本圖形是復(fù)雜圖形組成的基本元素,主要包括教材上的基本事實(shí)和定理及其推論,以及在平時(shí)教學(xué)中獲得的一些典型圖形.學(xué)生之所以解題時(shí)沒(méi)有思路,關(guān)鍵就是沒(méi)有從復(fù)雜的圖形里把基本圖形抽取出來(lái).正如2021南通市中考第25題,其中蘊(yùn)含的基本圖形非常多,例如旋轉(zhuǎn)相似的成對(duì)存在性,以及“8”字型相似的成對(duì)性、四點(diǎn)共圓等,如果學(xué)生沒(méi)有較強(qiáng)的識(shí)圖能力,是很難突破問(wèn)題的.因此,教師在平時(shí)的教學(xué)中要為學(xué)生及時(shí)總結(jié)和提煉一些基本圖形,對(duì)其應(yīng)用條件和基本結(jié)論要熟悉.這里要特別注意一點(diǎn),千萬(wàn)不能讓學(xué)生死記,而要引導(dǎo)學(xué)生從已知條件中挖掘關(guān)鍵條件,找到問(wèn)題的核心,回歸到書(shū)本上最基本的定義和定理,這樣才能真正實(shí)現(xiàn)基本圖形與數(shù)學(xué)概念的有效結(jié)合.只有這樣潛移默化地不斷滲透,學(xué)生才能逐步形成基本圖形分析觀念,在面對(duì)幾何問(wèn)題時(shí),主動(dòng)尋找或構(gòu)造頭腦中的基本圖形,運(yùn)用其來(lái)解決問(wèn)題.
A
與點(diǎn)F
關(guān)于直線BE
對(duì)稱入手,引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造對(duì)稱圖形,然后通過(guò)構(gòu)造旋轉(zhuǎn)相似這一變換作為解決問(wèn)題的主線,繼續(xù)生長(zhǎng),第(3)問(wèn)基于圖形的旋轉(zhuǎn)分類(lèi)思考,最終呈現(xiàn)了一對(duì)對(duì)稱性的全等三角形.可以說(shuō)本題始于軸對(duì)稱,發(fā)展于旋轉(zhuǎn),最終止于軸對(duì)稱,整個(gè)解答的過(guò)程都突出了幾何變換的統(tǒng)領(lǐng).因此,在平時(shí)的教學(xué)中,教師要多引導(dǎo)學(xué)生從幾何變換的視角來(lái)分析幾何圖形,通過(guò)這種運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)構(gòu)造出準(zhǔn)確的圖形,這樣學(xué)生就會(huì)站在更高的高度來(lái)認(rèn)識(shí)幾何圖形.長(zhǎng)此以往,可以讓學(xué)生養(yǎng)成從幾何變換的視角來(lái)審視幾何問(wèn)題的習(xí)慣,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解題能力的提升.