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    反思題目通法 突出變換引領(lǐng)
    ——2021年南通市中考試題第25題賞析*

    2022-04-21 14:20:28山東省淄博市周村區(qū)城北中學(xué)255300
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年4期
    關(guān)鍵詞:等腰三角直角三角形軸對(duì)稱

    張 俊 (山東省淄博市周村區(qū)城北中學(xué) 255300)

    時(shí)翠萍 (山東省淄博市周村區(qū)第二中學(xué) 255300)

    筆者近來(lái)研究2021年南通市中考試題第25題時(shí),發(fā)現(xiàn)該題以最基本的圖形變換“軸對(duì)稱”為背景,漸次生長(zhǎng),思路開(kāi)闊,是一道值得回味的題目,特撰文與大家交流.

    1 原題呈現(xiàn)

    如圖1,正方形

    ABCD

    中,點(diǎn)

    E

    在邊

    AD

    上(不與端點(diǎn)

    A

    D

    重合),點(diǎn)

    A

    關(guān)于直線

    BE

    的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)

    F

    ,連結(jié)

    CF

    ,設(shè)∠

    ABE

    =

    α

    圖1

    (1)求∠

    BCF

    的大小(用含

    α

    的式子表示);(2)過(guò)點(diǎn)

    C

    CG

    AF

    ,垂足為

    G

    ,連結(jié)

    DG

    .判斷

    DG

    CF

    的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;(3)將△

    ABE

    繞點(diǎn)

    B

    順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△

    CBH

    ,點(diǎn)

    E

    的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)

    H

    ,連結(jié)

    BF

    ,

    HF

    .當(dāng)△

    BFH

    為等腰三角形時(shí),求sin

    α

    的值.

    2 思路突破

    2.1 基于對(duì)稱變換,構(gòu)造對(duì)稱圖形

    如圖2,本題第(1)問(wèn)從已知出發(fā),由于點(diǎn)

    A

    、點(diǎn)

    F

    關(guān)于直線

    BE

    對(duì)稱,基于軸對(duì)稱變換,我們不妨連結(jié)

    BF

    ,從而構(gòu)造出對(duì)稱圖形,可得

    AB

    =

    BF

    =

    BC

    ,∠

    ABE

    =∠

    FBE

    =

    α

    ,此時(shí)∠

    FBC

    =90°-2

    α

    .在等腰三角形

    BCF

    中,易得

    2.2 導(dǎo)角突破難點(diǎn),多維角度探尋

    如圖2,對(duì)于第(2)問(wèn),學(xué)生可以直觀判斷出

    DG

    CF

    的位置關(guān)系,但如果要說(shuō)明理由,對(duì)大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定的難度,此時(shí)題目已經(jīng)進(jìn)入寬進(jìn)難出的環(huán)節(jié).那么突破的方向在哪里呢?在此問(wèn)中,有一個(gè)“知識(shí)坎”很多學(xué)生未能逾越,導(dǎo)致問(wèn)題探究無(wú)法進(jìn)行到下一步

    .

    在這里我們有必要細(xì)細(xì)品味一下:在圖2中,很多學(xué)生憑直觀猜測(cè)出了△

    CGF

    是等腰直角三角形,但一直無(wú)法說(shuō)明∠

    AFC

    =135°(這里考查了學(xué)生利用帶有字母的角的導(dǎo)角能力).如圖3,基于前面的分析我們可以得到∠

    AFB

    =90°-

    α

    ,∠

    BFC

    =∠

    BCF

    =45°+

    α

    ,所以可得∠

    AFC

    =∠

    AFB

    +∠

    BFC

    =90°-

    α

    +45°+

    α

    =135°.從而可以看到,盡管點(diǎn)

    F

    的位置是變化的,但∠

    AFC

    始終是一個(gè)定角.那該問(wèn)題的本質(zhì)在哪里?因?yàn)?p>BA

    =

    BF

    =

    BC

    ,所以點(diǎn)

    F

    在以點(diǎn)

    B

    為圓心、

    BA

    為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),根據(jù)定弦對(duì)定角,可知∠

    AFC

    始終為135°.解決了這一問(wèn)題,就為后面的探究做好了鋪墊.

    圖3

    思路1 如圖4,從構(gòu)造旋轉(zhuǎn)相似三角形的角度,連結(jié)對(duì)角線

    AC.

    在△

    CGD

    與△

    CFA

    中,因?yàn)椤?p>ACD

    =∠

    FCG

    =45°,所以∠

    ACF

    =∠

    DCG.

    又有可得△

    CGD

    ∽△

    CFA

    ,即∠

    CGD

    =∠

    CFA

    =135°,故∠

    DGA

    =45°,∠

    CFG

    =∠

    DGA

    =45°,從而

    DG

    CF

    圖4 圖5

    思路2 如圖5,從“8”字相似三角形的角度,連結(jié)對(duì)角線

    AC.

    因?yàn)椤?p>AMD

    =∠

    CMG

    ,∠

    ADM

    =∠

    CGM

    =90°,所以△

    AMD

    ∽△

    CMG

    ,可得即又因?yàn)椤?p>AMC

    =∠

    DMG

    ,所以△

    DMG

    ∽△

    AMC

    ,即∠

    DGA

    =∠

    ACM

    =45°,故∠

    CFG

    =∠

    DGA

    =45°,從而

    DG

    CF

    .思路3 如圖6,從點(diǎn)共圓的角度,連結(jié)對(duì)角線

    AC.

    因?yàn)椤?p>ADC

    =∠

    AGC

    =90°,所以點(diǎn)

    A

    ,

    D

    G

    ,

    C

    在以

    AC

    中點(diǎn)

    O

    為圓心、

    OA

    為半徑的圓上.在同圓中,可得∠

    DGA

    =∠

    ACD

    =45°,即∠

    CFG

    =∠

    DGA

    =45°,故

    DG

    CF

    圖6 圖7

    思路4 如圖7,從構(gòu)造全等三角形角度來(lái)思考,在

    AG

    上截取

    AH

    =

    CG.

    因?yàn)椤?p>AMD

    =∠

    CMG

    ,∠

    ADM

    =∠

    CGM

    =90°,所以∠

    DAH

    =∠

    DCG

    .又有

    AD

    =

    CD

    ,所以△

    DAH

    ≌△

    DCG

    ,可得∠

    ADH

    =∠

    CDG

    HD

    =

    GD

    .因?yàn)椤?p>ADH

    +∠

    HDM

    =90°,所以∠

    HDG

    =90°,此時(shí)△

    HDG

    是等腰直角三角形,故∠

    DGH

    =45°,即∠

    CFG

    =∠

    DGH

    =45°,從而

    DG

    CF

    2.3 始于分類(lèi)討論,終于轉(zhuǎn)化分析

    第(3)問(wèn)以旋轉(zhuǎn)為背景,重點(diǎn)考查了分類(lèi)討論的思想.本題的難度還是在分類(lèi)后的驗(yàn)證上,對(duì)學(xué)生的說(shuō)理能力要求較高.如圖8,對(duì)于△

    BFH

    為等腰三角形,我們考慮:①當(dāng)

    BF

    =

    BH

    時(shí),由于△

    BAE

    ≌△

    BCH

    ,所以

    BH

    =

    BE

    ,又因?yàn)?p>BA

    =

    BF

    ,這時(shí)出現(xiàn)了

    BE

    =

    BA

    ,在Rt△

    BAE

    中是不可能的,顯然這種情況不存在.②當(dāng)

    BF

    =

    HF

    時(shí),∠

    FBH

    =∠

    FHB

    =90°-

    α

    ,可得∠

    BFH

    =2

    α

    ,由于∠

    ABF

    =2

    α

    ,所以此時(shí)

    AB

    FH

    ,即點(diǎn)

    F

    與點(diǎn)

    C

    要重合,則需要點(diǎn)

    E

    運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)

    D

    ,與題意不相符,因此這種情況也不存在.相比第①種情況的驗(yàn)證,第②種情況的驗(yàn)證要求學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐评碚f(shuō)明,綜合性較強(qiáng).結(jié)合上述分析,只有一種可能是

    BH

    =

    FH

    ,此時(shí)解決問(wèn)題的方向又在哪里?

    圖8

    如圖8,基于△

    BHF

    是等腰三角形,我們最基本的想法就是作等腰三角形底邊

    BF

    上的高

    HM

    ,可得因?yàn)椤?p>MBH

    =∠

    AEB

    =90°-

    α

    ,∠

    BMH

    =∠

    EAB

    =90°,

    BE

    =

    BH

    ,所以△

    BAE

    ≌△

    HMB

    ,從而

    MB

    =

    AE

    ,即在Rt△

    BAE

    中,設(shè)

    AE

    =

    m

    ,則

    AB

    =2

    m

    ,由勾股定理可得所以以上分析是基于對(duì)△

    BFH

    的思考,也是最基本、最容易想到的,但難度在于容易想到卻難深入下去,特別是面對(duì)變化的等腰三角形

    BFH

    ,很多學(xué)生會(huì)感到束手無(wú)策.那么我們能否把△

    BFH

    轉(zhuǎn)化到和它全等的一個(gè)三角形中去研究呢?如圖8,基于已有條件

    BE

    =

    BH

    ,

    BF

    =

    BC

    ,∠

    EBC

    =∠

    FBH

    =90°-

    α

    ,我們可以連結(jié)

    EC

    ,易得△

    BFH

    ≌△

    BCE

    ,這樣我們就可以對(duì)△

    BCE

    進(jìn)行討論:很明顯

    BE

    =

    BC

    CE

    =

    BC

    這兩種情況都不成立,只有

    EB

    =

    EC

    ,而此時(shí)點(diǎn)

    E

    AD

    的中點(diǎn),易得這種思路也是本題的精彩之處,利用全等改變研究對(duì)象,是轉(zhuǎn)化思想的一種集中體現(xiàn).

    3 深入思考

    對(duì)于上述問(wèn)題的解答,思維的起點(diǎn)又在哪里?第(2)問(wèn)的思路1是構(gòu)造相似三角形,如圖4,由于等腰Rt△

    FGC

    繞點(diǎn)

    C

    按一定比例放縮旋轉(zhuǎn)得到等腰Rt△

    ADC

    ,在這一過(guò)程中,這一關(guān)系式保持不變,必然存在另一對(duì)相似的三角形.我們?cè)侔褕D形拓展到一般情況,如果△

    ADE

    ∽△

    ABC

    ,連結(jié)

    BD

    CE

    ,則會(huì)得到△

    ADB

    ∽△

    AEC

    (圖9),這也是旋轉(zhuǎn)相似的成對(duì)存在性.

    圖9

    第(2)問(wèn)的思路2是基于“8”字相似的成對(duì)存在性,如圖5,若△

    ADM

    ∽△

    CGM

    ,則必有△

    DMG

    ∽△

    AMC

    ,本身構(gòu)成這樣相似的點(diǎn)

    D

    ,

    G

    A

    ,

    C

    與思路3的四點(diǎn)共圓是一致的.第(3)問(wèn)的第二種思路如同神來(lái)之筆,連結(jié)

    EC

    ,構(gòu)造的其實(shí)是一對(duì)具有對(duì)稱性的全等三角形,△

    BFH

    ≌△

    BCE

    ,并且關(guān)于直線

    BN

    成軸對(duì)稱(圖10).基于圖形的對(duì)稱,聯(lián)想到全等,這其實(shí)就是一種發(fā)現(xiàn)對(duì)稱美的過(guò)程.

    圖10 圖11

    基于本題圖形的變化,我們考慮再進(jìn)行一下變式的生長(zhǎng):原題點(diǎn)

    E

    在線段

    AD

    上運(yùn)動(dòng),我們讓點(diǎn)

    E

    在射線

    AD

    上運(yùn)動(dòng),其他條件保持不變,此時(shí)仍然可以得到

    DG

    CF

    (圖11).

    簡(jiǎn)析

    盡管圖形改變了,但是我們探究的思路仍然可以延續(xù),這也是數(shù)學(xué)變化中的不變.此時(shí)∠

    ABE

    =

    α

    ,基于點(diǎn)

    A

    、點(diǎn)

    F

    關(guān)于

    BE

    對(duì)稱,連結(jié)

    BF

    ,可得

    AB

    =

    BF

    ,

    BC

    =

    BF

    ,△

    ABF

    與△

    BCF

    是等腰三角形,此時(shí)∠

    CFG

    =∠

    BFC

    -∠

    BFA

    =135°-

    α

    -(90°-

    α

    )=45°,因此△

    CFG

    是等腰直角三角形.連結(jié)

    AC

    ,因?yàn)椤?p>CFG

    ∽△

    CAD

    ,由旋轉(zhuǎn)相似的成對(duì)性,可得出△

    DCG

    ∽△

    ACF

    ,所以∠

    DGC

    =∠

    AFC

    =∠

    FCG

    =45°,即

    DG

    CF

    圖12

    當(dāng)然本題還有其他方法,這里不再贅述.現(xiàn)在我們改變對(duì)稱點(diǎn),繼續(xù)思考一下.如圖12,作點(diǎn)

    C

    關(guān)于

    BE

    的對(duì)稱點(diǎn)

    F

    ,連結(jié)

    BF

    ,作

    AG

    FC

    ,垂足為

    G

    ,連結(jié)

    DG

    ,求證:

    DG

    AF

    .這里通過(guò)推導(dǎo)角度仍然可得△

    AGF

    為等腰直角三角形,連結(jié)

    AC

    ,此時(shí)△

    AGF

    與△

    ADC

    是相似的等腰三角形,由旋轉(zhuǎn)相似的成對(duì)性,還可以得出△

    DAG

    ∽△

    CAF

    ,進(jìn)而問(wèn)題可以突破.我們讓該問(wèn)題在此基礎(chǔ)上繼續(xù)生長(zhǎng).如圖13,正方形

    ABCD

    中,點(diǎn)

    E

    在邊

    AD

    上(不與端點(diǎn)

    A

    ,

    D

    重合),點(diǎn)

    C

    關(guān)于直線

    BE

    的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)

    F

    ,連結(jié)

    CF

    ,

    BF

    ,同時(shí)連結(jié)

    FA

    BE

    并分別延長(zhǎng)交于點(diǎn)

    G

    ,連結(jié)

    DG

    ,設(shè)∠

    ABE

    =

    α

    .(1)求∠

    BGF

    的大?。?2)猜想

    DG

    AF

    之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.

    簡(jiǎn)析

    對(duì)于第(1)問(wèn),通過(guò)在等腰三角形△

    BCF

    與△

    ABF

    中進(jìn)行角度的轉(zhuǎn)換,不難得出∠

    BGF

    的大小始終為45°,下面重點(diǎn)談一下第(2)問(wèn).如圖13,基于點(diǎn)

    C

    與點(diǎn)

    F

    關(guān)于

    BE

    成軸對(duì)稱,我們從構(gòu)造對(duì)稱圖形的角度連結(jié)

    CG

    ,可得

    FG

    =

    CG

    ,∠

    BGF

    =∠

    BGC

    =45°,△

    FGC

    為等腰直角三角形.此時(shí)再連結(jié)對(duì)角線

    AC

    ,出現(xiàn)了相似的等腰Rt△

    FGC

    與Rt△

    ADC

    ,易得所以△

    ACF

    ∽△

    DCG

    ,即

    圖13 圖14

    當(dāng)然,該題也可以從全等角度入手.如圖14,基于△

    ABF

    為等腰三角形,作

    BM

    AF

    ,垂足為

    M

    ,再過(guò)點(diǎn)

    D

    DH

    AG

    ,垂足為

    H

    ,此時(shí)易得△

    BMA

    ≌△

    AHD

    ,可得

    AM

    =

    DH

    ,

    BM

    =

    AH

    .又

    MG

    =

    BM

    ,故可得

    AM

    =

    GH

    =

    DH

    ,從而△

    GHD

    為等腰直角三角形,即

    4 教學(xué)反思

    4.1 重視基本圖形滲透,強(qiáng)化識(shí)圖能力

    基本圖形是復(fù)雜圖形組成的基本元素,主要包括教材上的基本事實(shí)和定理及其推論,以及在平時(shí)教學(xué)中獲得的一些典型圖形.學(xué)生之所以解題時(shí)沒(méi)有思路,關(guān)鍵就是沒(méi)有從復(fù)雜的圖形里把基本圖形抽取出來(lái).正如2021南通市中考第25題,其中蘊(yùn)含的基本圖形非常多,例如旋轉(zhuǎn)相似的成對(duì)存在性,以及“8”字型相似的成對(duì)性、四點(diǎn)共圓等,如果學(xué)生沒(méi)有較強(qiáng)的識(shí)圖能力,是很難突破問(wèn)題的.因此,教師在平時(shí)的教學(xué)中要為學(xué)生及時(shí)總結(jié)和提煉一些基本圖形,對(duì)其應(yīng)用條件和基本結(jié)論要熟悉.這里要特別注意一點(diǎn),千萬(wàn)不能讓學(xué)生死記,而要引導(dǎo)學(xué)生從已知條件中挖掘關(guān)鍵條件,找到問(wèn)題的核心,回歸到書(shū)本上最基本的定義和定理,這樣才能真正實(shí)現(xiàn)基本圖形與數(shù)學(xué)概念的有效結(jié)合.只有這樣潛移默化地不斷滲透,學(xué)生才能逐步形成基本圖形分析觀念,在面對(duì)幾何問(wèn)題時(shí),主動(dòng)尋找或構(gòu)造頭腦中的基本圖形,運(yùn)用其來(lái)解決問(wèn)題.

    4.2 突出幾何變換引領(lǐng),積累構(gòu)圖經(jīng)驗(yàn)

    初中的圖形變換分為兩種,一種是全等變換,主要包含平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱,另一種是相似變換,指的是相似與位似,新課標(biāo)也特別提倡讓圖形運(yùn)動(dòng)起來(lái),讓學(xué)生在運(yùn)動(dòng)中發(fā)現(xiàn)不變.然而實(shí)際情況是,學(xué)生仍然習(xí)慣于靜態(tài)地去思考問(wèn)題,這導(dǎo)致他們不能深入問(wèn)題的本質(zhì).比如南通這道中考題,以正方形作為背景,正方形本身就是軸對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形,從點(diǎn)

    A

    與點(diǎn)

    F

    關(guān)于直線

    BE

    對(duì)稱入手,引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造對(duì)稱圖形,然后通過(guò)構(gòu)造旋轉(zhuǎn)相似這一變換作為解決問(wèn)題的主線,繼續(xù)生長(zhǎng),第(3)問(wèn)基于圖形的旋轉(zhuǎn)分類(lèi)思考,最終呈現(xiàn)了一對(duì)對(duì)稱性的全等三角形.可以說(shuō)本題始于軸對(duì)稱,發(fā)展于旋轉(zhuǎn),最終止于軸對(duì)稱,整個(gè)解答的過(guò)程都突出了幾何變換的統(tǒng)領(lǐng).因此,在平時(shí)的教學(xué)中,教師要多引導(dǎo)學(xué)生從幾何變換的視角來(lái)分析幾何圖形,通過(guò)這種運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)構(gòu)造出準(zhǔn)確的圖形,這樣學(xué)生就會(huì)站在更高的高度來(lái)認(rèn)識(shí)幾何圖形.長(zhǎng)此以往,可以讓學(xué)生養(yǎng)成從幾何變換的視角來(lái)審視幾何問(wèn)題的習(xí)慣,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解題能力的提升.

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    5.2 圖形的相似與解直角三角形
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