問題驅(qū)動式教學(xué)在微課設(shè)計中的應(yīng)用探究
——以“拋物線的光學(xué)性質(zhì)”為例

王禹桐 孔德宏 (云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 650500)

微課作為“互聯(lián)網(wǎng)+”時代的新產(chǎn)物，在信息技術(shù)與教育教學(xué)融合的應(yīng)用中起到了一定的推進(jìn)作用，近年來受到了教育界的廣泛關(guān)注

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值得注意的是，微課不單純是課堂教學(xué)的片段，也不僅僅是錄制教師講解知識點的視頻，由于缺乏實際課堂的互動環(huán)節(jié)，微課設(shè)計更需要注重啟發(fā)性和趣味性

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2021年5月，由中國教育技術(shù)協(xié)會微格教學(xué)專業(yè)委員會主辦、廣西師范大學(xué)承辦的第十屆“華文”全國師范生數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)能力線上測試與展示交流活動采取“線下微課設(shè)計+線上直播教學(xué)”的方式進(jìn)行

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筆者有幸參與了此次活動，在微課設(shè)計中采用“問題驅(qū)動”教學(xué)模式，借助物理情境創(chuàng)設(shè)問題，利用問題串幫助分析問題，將物理情境抽象為數(shù)學(xué)問題，再將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，層層遞進(jìn)，最后以解決問題為終點

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1 教學(xué)內(nèi)容及目標(biāo)分析

1.1 內(nèi)容分析

本次微課內(nèi)容為“拋物線的光學(xué)性質(zhì)”，選自人教A版普通高中數(shù)學(xué)教科書(選擇性必修)第一冊第三章《圓錐曲線的方程》的閱讀與思考部分，屬于數(shù)學(xué)拓展課程

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學(xué)生在本節(jié)課之前已經(jīng)掌握了圓錐曲線、導(dǎo)數(shù)等相關(guān)知識，并且結(jié)合實例學(xué)習(xí)了橢圓和雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，熟悉“問題導(dǎo)入—分析問題—解決問題—總結(jié)”這一教學(xué)流程，為本節(jié)課學(xué)習(xí)拋物線的光學(xué)性質(zhì)奠定了基礎(chǔ)

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1.2 教學(xué)目標(biāo)

(1)掌握并證明拋物線的光學(xué)性質(zhì)

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(2)通過觀察、分析、探究等學(xué)習(xí)方式，經(jīng)歷將手電筒射出平行光線這一物理情境抽象為數(shù)學(xué)命題的過程，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象能力

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(3)從問題抽象再到實際應(yīng)用，感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系

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2 教學(xué)過程設(shè)計

2.1 問題導(dǎo)入

一個小電珠的光線是向四周發(fā)散的，將小電珠放入到手電筒后，發(fā)散的光線變成了一段明亮的平行光束

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問題1 為什么會出現(xiàn)如此神奇的現(xiàn)象？

經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)，手電筒前端是一個旋轉(zhuǎn)拋物面，即由拋物線繞對稱軸旋轉(zhuǎn)一周得到的曲面

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追問 同學(xué)們能否結(jié)合我們之前所學(xué)的拋物線的知識解釋該現(xiàn)象？

設(shè)計意圖

結(jié)合生活實際，通過實驗演示提出問題，激發(fā)學(xué)生探索未知的欲望，啟發(fā)學(xué)生思考

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2.2 分析問題

問題1 要研究這一物理情境，能否類比橢圓、雙曲線的學(xué)習(xí)過程將它抽象為一個數(shù)學(xué)問題呢？

討論 忽略物體的大小、質(zhì)地、薄厚，近似認(rèn)為手電筒前端是一個旋轉(zhuǎn)拋物鏡面，小電珠也近似為一個點光源，光線的傳播路徑用直線代替

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問題2 要研究這一空間問題，能否將它轉(zhuǎn)化為一個平面問題？

討論 作一個經(jīng)過小電珠及旋轉(zhuǎn)拋物鏡面頂點的軸截面，與旋轉(zhuǎn)拋物面相交的曲線即為拋物線，這樣我們就只需研究在該平面內(nèi)的拋物線的性質(zhì)即可

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問題3 初中物理里，光線被光滑的平直鏡面反射的實驗中反射角等于入射角

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光線如何被這里的“曲線”鏡面所反射？

問題4 如何證明這個命題？

設(shè)計意圖

通過實物轉(zhuǎn)圖形、空間轉(zhuǎn)平面，再到“翻譯”反射這一過程，層層遞進(jìn)，讓學(xué)生直觀感受數(shù)學(xué)抽象的過程，能用數(shù)學(xué)語言描述出命題

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抽象過程中運(yùn)用了“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想

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2.3 解決問題

證明“拋物線的光學(xué)性質(zhì)”是本節(jié)課的重點和難點，因此我們既要有通性通法的教學(xué)，也要有能發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的教學(xué)

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本次教學(xué)中的解析法和幾何法從不同方向出發(fā)，對命題進(jìn)行了完備的證明

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作出拋物線上任一點

P

處的切線

l

，證明：

PM

平行于

x

軸(圖1)

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圖1

問題1 已知∠1=∠2，如何證明射線

PM

平行于

x

軸？

問題2 我們還能用什么方法來證明這一命題？

追問 不借助坐標(biāo)系，又該如何證明拋物線的光學(xué)性質(zhì)？

設(shè)計意圖

學(xué)生對坐標(biāo)法的過程較為熟悉，因此用坐標(biāo)的方法，即設(shè)點設(shè)線，列方程，算線段長度或算向量夾角等較為常規(guī)的方法來證明“拋物線的光學(xué)性質(zhì)”是更容易接受的

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講解證明思路后(結(jié)合思維導(dǎo)圖)，再呈現(xiàn)具體步驟即可

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微課中也呈現(xiàn)了另外幾種坐標(biāo)解法的思路，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行課后思考

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材料 數(shù)學(xué)家希爾伯特曾用“漂亮的幾何法”證明了“拋物線的光學(xué)性質(zhì)”，其證明首先承認(rèn)

PM

平行于

x

軸，目的在于證明

l

確為切線

.

巧妙之處在于他發(fā)現(xiàn)有一條直線可以近似代替入射點附近的曲線，其反射角都等于入射角，此直線即為外角平分線，因此用外角平分線來作為已知條件，突破難點(圖2)

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圖2

問題1 要證

l

為切線，等價于證明什么？預(yù)設(shè)回答：即證明直線

l

與拋物線

E

有且僅有一個公共點

.

問題2 再取

l

上除

P

以外的任意點

Q

，它能不能在

E

上呢？問題3 點

Q

不能在

E

上，也即點

Q

到焦點的距離不等于點

Q

到準(zhǔn)線的距離

.

此時，已知的是角的條件，我們要解決的是距離的問題，能否將距離的問題轉(zhuǎn)化為角的問題？

設(shè)計意圖

結(jié)合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，利用坐標(biāo)的方法證明命題具有普遍性

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通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家的證明思路，開拓學(xué)生思維，使學(xué)生在了解數(shù)學(xué)文化的同時，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，樹立善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實的科學(xué)精神

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幾何法證明“拋物線的光學(xué)性質(zhì)”是一個難點，在微課演示中結(jié)合“問題串”“思維導(dǎo)圖”等方式，將難點逐一突破，證明過程自然呈現(xiàn)，學(xué)生容易接受，并能提高其數(shù)學(xué)思維

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2.4 性質(zhì)應(yīng)用

例題

已知拋物線

E

：

y

=2

px

內(nèi)有一點

A

(

a

,

b

)，一光線從點

A

平行于

x

軸射出，經(jīng)過拋物線鏡面反射兩次，設(shè)兩次的反射點分別為

B

,

C

，當(dāng)

BC

最短時，求

b

的值

.

問題1

b

是什么？預(yù)設(shè)回答：它是

A

的縱坐標(biāo)，也是

B

的縱坐標(biāo)

.

問題2 移動點

A

，直線

BC

在運(yùn)動過程中有什么不變性？預(yù)設(shè)回答：

BC

恒過定點

.

問題3 該定點是哪個點？

問題4 為什么是焦點？

問題5 什么時候焦點弦最短？

展示阿基米德燒敵船、“天眼”雷達(dá)、太陽灶等例子，說明拋物線的光學(xué)性質(zhì)在我們的生活中有著廣泛的應(yīng)用

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設(shè)計意圖

借助幾何畫板動態(tài)分析例題，利于學(xué)生理解、分析問題，通過例題的講解能更深刻地理解“拋物線的光學(xué)性質(zhì)”以及如何運(yùn)用它解決數(shù)學(xué)問題

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再結(jié)合小故事和生活實例使學(xué)生更加強(qiáng)烈地感受到數(shù)學(xué)源于生活、用于生活，要用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維分析世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界

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2.5 總結(jié)

對本節(jié)課的總結(jié)如圖3

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圖3

說明

本節(jié)課將生活實際情境轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學(xué)問題，研究了拋物線的光學(xué)性質(zhì)及其證明，并運(yùn)用這一性質(zhì)解決數(shù)學(xué)問題

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今后再遇到類似問題，也可以類比此次分析過程來完成

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整個過程體現(xiàn)了“以直代曲”“數(shù)形結(jié)合”等思想，進(jìn)而提升了學(xué)生的“數(shù)學(xué)抽象”“數(shù)學(xué)建模”“邏輯推理”等學(xué)科核心素養(yǎng)，也讓學(xué)生更加熟悉數(shù)學(xué)探究的一般步驟

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3 教學(xué)反思

情境和問題構(gòu)成了教學(xué)過程的驅(qū)動系統(tǒng)

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對于情境設(shè)計，本節(jié)微課通過探究手電筒發(fā)出平行光這一實驗作為情境引入，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并且清楚明確地指向了所要研究的數(shù)學(xué)對象本質(zhì)，基本達(dá)到情境設(shè)計的要求

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但仍然存在不足，在分析問題、解決問題等教學(xué)過程中，沒有再用到這一情境，由此可見該情境設(shè)計并未貫穿教學(xué)始終，值得再思考和改進(jìn)

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問題驅(qū)動式教學(xué)以學(xué)生為中心，以問題為核心，圍繞問題的設(shè)置逐步探索，最終達(dá)成教學(xué)目標(biāo)

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問題驅(qū)動式教學(xué)需要教師有強(qiáng)烈的問題意識，問題串的設(shè)計要滿足在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)、指向明確、銜接性強(qiáng)三個原則

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微課由于其自身短小精悍的特點，能在短時間內(nèi)呈現(xiàn)大量問題，如果在微課教學(xué)中仍然采用“滿堂灌”“一言堂”等教學(xué)模式，其效果將會大打折扣

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因此，若能科學(xué)有效地使用“問題驅(qū)動”教學(xué)模式，定能達(dá)到事半功倍的效果

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