基于綜合難度模型的中考數(shù)學(xué)試題背景分析

宋霜霜 陳建強(qiáng)

[摘? ?要]基于核心素養(yǎng)的新課改在如火如荼地進(jìn)行中，中考數(shù)學(xué)試題背景具有多樣化的特點(diǎn)，但是這在教學(xué)中容易被師生忽視。其實(shí)，研究中考數(shù)學(xué)試題的背景很有價(jià)值。文章基于綜合難度模型，以2015—2020年大慶市中考數(shù)學(xué)試題為例，分析中考數(shù)學(xué)試題背景的變化及其趨勢(shì)，并根據(jù)其變化規(guī)律給正在備考的學(xué)生提出復(fù)習(xí)建議。

[關(guān)鍵詞]綜合難度模型;中考數(shù)學(xué)試題;背景分析

[中圖分類(lèi)號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2022）06-0034-03

一、引言

分析中考數(shù)學(xué)試題背景有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，如數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。在日常的學(xué)習(xí)過(guò)程中，部分學(xué)生認(rèn)為能做出教師布置的練習(xí)就達(dá)到學(xué)習(xí)目的了，導(dǎo)致其在正式考試時(shí)遇到較難的題目就感覺(jué)無(wú)從下手，這是其平時(shí)知識(shí)掌握不牢固的后果。下面圍繞例1進(jìn)行分析。

[例1]某工廠現(xiàn)在平均每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)50臺(tái)機(jī)器，現(xiàn)在生產(chǎn)600臺(tái)機(jī)器所需時(shí)間與原計(jì)劃生產(chǎn)450臺(tái)機(jī)器所需時(shí)間相同，該工廠原來(lái)平均每天生產(chǎn)多少臺(tái)機(jī)器？

從例1涉及的知識(shí)內(nèi)容和運(yùn)算技巧來(lái)看，難度都不大，主要是加上背景之后，需要學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象和建立模型。很多學(xué)生的第一感覺(jué)是題目字?jǐn)?shù)過(guò)多，題干貼近生活，看起來(lái)簡(jiǎn)單，但又無(wú)從下手，不知怎樣思考和解答。部分學(xué)生遇見(jiàn)類(lèi)似文字多的應(yīng)用題時(shí)會(huì)直接放棄。

在學(xué)習(xí)一元一次方程時(shí)，列方程對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)難度較大，部分學(xué)生不能從題目中找到等量關(guān)系，不能將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)成數(shù)學(xué)符號(hào)。例如，一張桌子有一個(gè)桌面和四條桌腿，學(xué)生能掌握這一生活常識(shí)，但是要找到其中的等量關(guān)系就比較困難。學(xué)生沒(méi)有發(fā)現(xiàn)桌腿的數(shù)量是桌面的四倍，則難以列出方程。由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)題的背景因素實(shí)際考查的是學(xué)生將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)符號(hào)的能力和數(shù)學(xué)建模的能力，這在以后的素質(zhì)教育中是重中之重。

通過(guò)對(duì)例1的分析，我們知道數(shù)學(xué)試題背景對(duì)試題難度有較大的影響，因此對(duì)中考數(shù)學(xué)試題背景因素的變化趨勢(shì)進(jìn)行分析很有必要。義務(wù)教育階段的教學(xué)是為高中做準(zhǔn)備的，所以中考也會(huì)有相應(yīng)的改變，教師應(yīng)及時(shí)分析中考數(shù)學(xué)試卷中試題背景因素的變化。

本文主要借用綜合難度模型對(duì)中考數(shù)學(xué)試題背景進(jìn)行分析。綜合難度模型是由華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系教授鮑建生根據(jù)實(shí)際情況總結(jié)得出的試題難度量化模型。該模型客觀并且可量化，已經(jīng)經(jīng)過(guò)信度和效度的檢驗(yàn)，被廣泛應(yīng)用于試題難度量化中。筆者在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，對(duì)該模型中單個(gè)因素的利用較少，所以本文不對(duì)試卷整體進(jìn)行難度量化，只借助這個(gè)模型對(duì)試卷中試題的背景因素進(jìn)行難度研究。筆者借助該模型，對(duì)2015—2020年大慶市中考數(shù)學(xué)試題進(jìn)行背景分析，，研究大慶中考數(shù)學(xué)試題的背景變化趨勢(shì)，并為學(xué)生提出有效的復(fù)習(xí)建議。

二、綜合難度模型的應(yīng)用

（一）綜合難度模型概述

筆者利用綜合難度模型對(duì)2015—2020年大慶市中考數(shù)學(xué)試題背景進(jìn)行分析后，得出以下分析結(jié)果（如表1所示）。

（二）綜合難度模型的應(yīng)用

大慶市每年的中考數(shù)學(xué)試題量為28道，筆者利用綜合難度模型中的背景分類(lèi)對(duì)2015—2020年大慶市中考數(shù)學(xué)試題背景進(jìn)行分析得到表2的數(shù)據(jù)。

為了更直觀地看出數(shù)據(jù)的變化，下面以圖1來(lái)呈現(xiàn)數(shù)據(jù)。

（三）數(shù)據(jù)分析與相應(yīng)建議

1.背景因素占比變化及分析

我們通過(guò)表2可以發(fā)現(xiàn)，大慶市中考數(shù)學(xué)以無(wú)實(shí)際背景類(lèi)試題為主，2015—2020年占比均較大，但是從圖1可以看出，這類(lèi)試題的占比又曾有所下降。2019年，無(wú)實(shí)際背景類(lèi)的試題占比降到了60.71%。有背景因素的試題占比逐步增大，這和教育改革方向相一致。實(shí)施素質(zhì)教育要全面貫徹黨的教育方針，以提升國(guó)民素質(zhì)為根本宗旨。教育的目的不是為了讓學(xué)生死記硬背知識(shí)，而是為了促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展，這就會(huì)對(duì)學(xué)生的要求有提高。因此，學(xué)生不僅要注重對(duì)知識(shí)的掌握，而且要提升人文素養(yǎng)，在生活情境中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題。這對(duì)部分學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)挑戰(zhàn)，因?yàn)樗麄兞?xí)慣死記硬背和采用題海戰(zhàn)術(shù)，遇到新的問(wèn)題就會(huì)感到難以解答。

東北師范大學(xué)的史寧中教授提出，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的目標(biāo)可以描述為：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界;會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界;會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。這不僅僅適用于高中，在初中也是適用的。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生多了解時(shí)事熱點(diǎn)，當(dāng)學(xué)生面對(duì)同類(lèi)背景的試題時(shí)就可以減少陌生感，降低解題難度。教師還要指導(dǎo)學(xué)生在處理事情時(shí)從數(shù)學(xué)的角度去看待和思考問(wèn)題，當(dāng)類(lèi)似問(wèn)題出現(xiàn)的時(shí)候，就可以更快地建立起相應(yīng)的綜合難度模型。

2.中考數(shù)學(xué)試題背景考查的重點(diǎn)內(nèi)容及分析

除了發(fā)現(xiàn)無(wú)實(shí)際背景類(lèi)的試題占比曾下降，我們還發(fā)現(xiàn)在有背景內(nèi)容的試題中，占比最大的為公共常識(shí)類(lèi)試題，其次是個(gè)人生活類(lèi)試題，科學(xué)情境類(lèi)試題基本沒(méi)有，只在2019年占了3.57%。個(gè)人生活類(lèi)試題和公共常識(shí)類(lèi)試題，這兩類(lèi)試題的背景因素也是背景類(lèi)試題的主體。

個(gè)人生活類(lèi)試題是最貼近學(xué)生生活的，這類(lèi)題型通過(guò)背景因素既可以考查學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力、數(shù)據(jù)提取的能力，又可以考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的能力，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)來(lái)自生活并且服務(wù)于生活，能夠解決日常生活中的問(wèn)題，從而無(wú)形中激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。

公共常識(shí)類(lèi)試題的背景主要是學(xué)生感覺(jué)熟悉又不太熟悉的內(nèi)容，解答這類(lèi)試題對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)比個(gè)人生活類(lèi)試題難，但對(duì)學(xué)生素養(yǎng)的提升更有幫助。公共常識(shí)類(lèi)試題的背景來(lái)自學(xué)生生活中的話(huà)題，但是其中的許多細(xì)節(jié)學(xué)生并不了解。例如，學(xué)生都知道故宮，但是對(duì)故宮的面積可能沒(méi)有清晰的認(rèn)知，如果以故宮的面積為試題背景，考查科學(xué)記數(shù)法等知識(shí)點(diǎn)，可以加大試題的難度，也可以使試題更有趣味性，從而激發(fā)學(xué)生的好奇心。學(xué)生在解決公共常識(shí)類(lèi)試題的過(guò)程中，提升了人文素養(yǎng)，豐富了生活閱歷。

我們經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，統(tǒng)計(jì)與概率類(lèi)的試題都有背景支撐，這是命題規(guī)律。統(tǒng)計(jì)與概率類(lèi)的試題主要是讓學(xué)生參與到生活中，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活問(wèn)題，提升計(jì)算能力和統(tǒng)籌能力。這對(duì)學(xué)生人文素養(yǎng)的提升作用很大。

在背景因素里，我們可以看到科學(xué)情境類(lèi)試題是賦值最高的，因此這類(lèi)試題是所有背景類(lèi)試題中最難的。對(duì)這一類(lèi)問(wèn)題的考查在將來(lái)的中考中可能會(huì)增多，因此學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中可以加強(qiáng)對(duì)這類(lèi)背景因素試題的訓(xùn)練，為中考做充分的準(zhǔn)備。例2是2019年大慶市中考數(shù)學(xué)試卷第16題，既考查了相應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)，又提升了學(xué)生的相關(guān)素養(yǎng)，這類(lèi)問(wèn)題有較大的研究?jī)r(jià)值。

[例2]我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖2所示），如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b，那么[（a-b）2]的值是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

這種科學(xué)情境類(lèi)試題在中考試卷中出現(xiàn)得比較少，主要是由于中考的性質(zhì)，難題偏題不適用。因此，學(xué)生對(duì)這類(lèi)題目不用進(jìn)行太多練習(xí)，只要能掌握就好。

3.有背景的試題在中考試卷中的位置分析

有背景的試題在2015年中考數(shù)學(xué)試卷中主要以選擇題的形式呈現(xiàn)，在填空題中沒(méi)有出現(xiàn)，2016年后填空題中也有所涉獵，所以有背景的試題不僅僅局限于某一種題型。從中學(xué)生應(yīng)該了解到，復(fù)習(xí)的時(shí)候不能只練習(xí)某種題型，要做全面準(zhǔn)備，以防考試時(shí)亂了手腳。學(xué)生不能認(rèn)為有背景的試題只會(huì)出現(xiàn)在某種題型中，復(fù)習(xí)時(shí)忽略了其他題型的練習(xí)，這樣復(fù)習(xí)會(huì)存在缺漏，不利于考試成績(jī)的提高。

三、總結(jié)

背景對(duì)于試題難度具有一定的影響，但是影響試題難度的因素是多方面的，因此試題的難易最終需要綜合來(lái)看。公共常識(shí)類(lèi)試題要求學(xué)生在復(fù)習(xí)的時(shí)候不能帶有機(jī)械性，要進(jìn)行有意義的復(fù)習(xí)。這樣學(xué)生遇到陌生的題時(shí)不會(huì)慌張，能運(yùn)用已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)以不變應(yīng)萬(wàn)變，能從所給背景中找到數(shù)學(xué)的量與等式關(guān)系。

隨著新課程改革的深入，背景類(lèi)試題增多是趨勢(shì)，在這種情況下，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生重視，以免中考時(shí)措手不及。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 榮彬.新課標(biāo)下數(shù)學(xué)中考命題趨勢(shì)與解題關(guān)系的研 究[D].成都：四川師范大學(xué)，2014.

[2]? 鞏天賜.2010-2019年上海中考數(shù)學(xué)發(fā)展趨勢(shì)研究? ?[D].上海：上海師范大學(xué)，2020.

[3]? 藍(lán)舒婷.基于核心素養(yǎng)的福建省中考數(shù)學(xué)試題研究[D].廈門(mén)：集美大學(xué)，2020.

（責(zé)任編輯? ?李琪琦）