拱橋懸臂施工過程中面內(nèi)特征值的傳遞矩陣法

康厚軍， 朱國敬， 蘇瀟陽

(1.湖南大學 土木工程學院，長沙 410082； 2.廣西大學 土木建筑工程學院，南寧 530004)

1 引 言

拱橋是一種古老的橋梁結(jié)構(gòu)，其兩端除了產(chǎn)生豎向反力之外，還產(chǎn)生可以大大降低拱截面彎矩的水平反力。大多數(shù)拱橋施工采用斜拉懸臂澆筑法，考慮到斜拉索和拱橋主體結(jié)構(gòu)的耦合振動，合攏過程中的振動狀態(tài)尤其復雜。因此，圍繞拱橋施工中的動力學行為，國內(nèi)外學者在拱橋建模方面做了大量研究。

丁毅[1]考慮了豎轉(zhuǎn)加平轉(zhuǎn)施工的鋼箱拱橋，通過將其豎轉(zhuǎn)動態(tài)過程分解成不同角度的靜力模型，借助正裝迭代法求得索力，進一步分析了拱橋豎轉(zhuǎn)施工過程的靜動力和穩(wěn)定性性能。孟繁義[2]建立臺風區(qū)的東莞水道特大橋有限元三維模型，對其主拱吊裝階段的動力特性進行了計算分析，為該橋的順利建成提供了科學數(shù)據(jù)。向中富等[3]實際研究了拱橋拱架施工過程中的結(jié)構(gòu)行為分析方法與模型，并通過實橋分析、模型試驗和實橋測試結(jié)果比較證明了其分析方法的可行性。訾銀輝等[4]在斜拉懸臂澆筑施工拱橋正裝計算中引入優(yōu)化理論，采用一階分析法進行迭代優(yōu)化，有效改善了施工階段拱圈截面的受力?？岛褴姷萚5-7]基于索拱結(jié)構(gòu)的力學模型，考慮拱結(jié)構(gòu)的幾何方程和物理方程，并根據(jù)索拱自由振動的動力學方程，利用半解析方法-傳遞矩陣法對索拱結(jié)構(gòu)面內(nèi)及面外自由振動特征值問題進行了求解。文獻[8,9]均采用有限元程序 Midas 計算并探討了鋼管混凝土拱橋的靜力特性、動力特性和施工過程以及成橋后的穩(wěn)定性能，為鋼管混凝土拱橋的設(shè)計和施工提供了參考。易壯鵬等[10]提出了多索支撐拱的全局分析模型，將整體分為多個部分，再將各個部分組裝為整體，以模擬拱橋的斜拉索架設(shè)施工，并對平面內(nèi)自由振動特性進行了結(jié)構(gòu)參數(shù)研究。

多體系統(tǒng)傳遞矩陣法是一種采用矩陣來描述多輸入多輸出的系統(tǒng)內(nèi)部輸入與輸出之間關(guān)系的手段和方法，近年廣泛應(yīng)用在橋梁體系動力學特性研究中。芮筱亭等[11,12]發(fā)展了多體系統(tǒng)傳遞矩陣法，研究了多體系統(tǒng)發(fā)射動力學理論與技術(shù)，并將其應(yīng)用在火箭和火炮武器射擊精度和安全性設(shè)計與試驗研究中。謝維東[13]提出了上中下承式三種拱橋整橋面內(nèi)自由振動特性的通用簡化動力學模型(拱-彈簧-梁組合體系)，并利用哈密頓原理推導出其面內(nèi)自由振動的控制微分方程，結(jié)合傳遞矩陣法求解其特征值。蘇瀟陽等[14]建立了斜拉橋的多索梁模型，并考慮索和梁的軸向和橫向振動的微分方程，基于傳遞矩陣法的基本原理對模型自由振動特征值進行求解，并與ANSYS得出的精確解進行對比，相對誤差很小。康厚軍等[15]建立了漂浮式獨塔斜拉橋新的三梁離散彈簧整體動力學模型，并利用傳遞矩陣法結(jié)合相應(yīng)的動力學理論關(guān)于其進行求解。文獻[16,17]基于漂浮式獨塔斜拉橋三梁離散彈簧動力學模型，采用傳遞矩陣法關(guān)于拉索對斜拉橋豎向振動頻率的影響進行了研究，并介紹了采用傳遞矩陣法對不同體系斜拉橋的處理方法。吉伯海等[18]充分考慮了斜拉橋的延伸、塔的彎矩和軸力引起的位移及轉(zhuǎn)角等因素，利用傳遞矩陣法并結(jié)合斜拉橋自身的特點確定了聯(lián)立方程組所需的若干邊界條件和兼容條件，從而實現(xiàn)斜拉橋內(nèi)力和位移的求解，為大型橋梁結(jié)構(gòu)初步設(shè)計提供了新型便捷的計算方法。劉利等[19]應(yīng)用傳遞矩陣法對徑向均布荷載作用下的圓拱面內(nèi)屈曲微分方程進行解答，利用邊界條件導出其特征方程，從而求得其屈曲荷載。

綜上所述，現(xiàn)有的對索拱結(jié)構(gòu)動力學的研究多為有限元方法，但是這種方法的精度依賴于建模方法以及單元劃分規(guī)則，并且在模型參數(shù)發(fā)生變化時，有限元方法會因為重新建模而變得非常復雜[20]，因此對于模型的參數(shù)分析效果稍顯不足。傳遞矩陣法在機械、軍工、航空航天和土木工程等領(lǐng)域雖有廣泛應(yīng)用，但用于拱橋施工過程中動力學分析的研究尚未見到。與此同時，拱橋在施工過程中，合攏前的最大懸臂狀態(tài)和剛合攏的索-拱階段為最危險的施工工況。鑒于此，本文基于拱橋的力學模型，考慮索拱結(jié)構(gòu)的面內(nèi)自由振動的動力學方程，并結(jié)合索拱耦合處的位移協(xié)調(diào)條件，將傳遞矩陣法應(yīng)用在拱橋合攏過程的動力學分析中，對其面內(nèi)特征值問題進行求解。同時，采用有限元軟件建立了拱橋施工合攏時全跨和合攏前半跨的有限元模型，并將頻率和振型與本文方法得到的結(jié)果進行對比，驗證了本文方法的正確性，同時也建立了該類橋型施工過程中面內(nèi)豎彎剛度的評估方法。

2 索拱模型

2.1 基本構(gòu)型及假設(shè)

圖1 拱橋合攏狀態(tài)模型

(1) 為便于求解拱結(jié)構(gòu)的微分方程，將拱局部坐標系設(shè)為極坐標系，坐標原點為圓心，拱的兩個線位移分別為徑向位移和切向位移。

(2) 不考慮拱剪切變形的影響，即按照歐拉-伯努利梁的振動方程求解。

(3) 索的垂度和初始靜態(tài)構(gòu)型忽略不計。

(4) 僅考慮索和拱的小幅振動，且拱軸線不伸縮。

2.2 傳遞矩陣求解

首先，考慮拱的平面內(nèi)振動微分方程[5],

(1)

?2v/?t2=-ω2v

(2)

(3)

方程(3)對應(yīng)的特征方程為

r5+2r3+(1-x2)r=0

(4)

解得特征方程(4)的根有

因此，方程(1)的解可以寫成級數(shù)形式為

(5)

(6)

式中Cj(j=1,2,…,6)為實常數(shù)系數(shù)。

對x的大小分類討論。

此時，根據(jù)力的平衡條件、內(nèi)力與變形的物理關(guān)系，可得到切向位移u、徑向位移v、相應(yīng)于拱軸方向上的轉(zhuǎn)角θ、彎矩M、剪力Q和軸向力N的表達式分別為

T15C5+T16C6

(7)

(8)

T35C5+T36C6

(9)

(10)

(11)

(12)

元素T11～T65見附錄1。

同樣得到式(7～12)，只是元素Ti j不同，見附錄2。

其次考慮索的縱橫向振動微分方程為

(13)

(14)

Uc(xc,t)=uc(xc)Gc u(t)

(15)

Vc(xc,t)=vc(xc)Gc v(t)

(16)

式中uc(xc)和vc(xc)分別為索的縱向和橫向振動振型函數(shù)，通過求解偏微分方程(13，14)可以得到uc(xc)和vc(xc)通解形式為

uc(xc)=C7sin(βcxc)+C8cos(βcxc)

(17)

vc(xc)=C9sin(δcxc)+C10cos(δcxc)

(18)

式中Ci(i=7,…,10)為實常數(shù)系數(shù)，且

根據(jù)力-位移關(guān)系，由式(17，18)可以推導出軸力N和剪力Q的表達式為

Nc(xc)=C7EcAcβccos(βcxc)-C8EcAcβcsin(βcxc)

(19)

Qc(xc)=C9N0δccos(δcxc)-C10N0δcsin(δcxc)

(20)

2.3 傳遞矩陣法理論

將式(7～12)寫成如下矩陣形式，

Za=TaCa

(21)

式中Za=[uavaθaMaQaNa]T,且

Ca=[C1C2C3C4C5C6]T

x<1或x>1時，Ta的元素T11～T65分別見附錄1和附錄2。

將式(17～20)寫成矩陣形式為

Zc=TcCc

(22)

式中Zc=[ucvcNcQc]T,Cc=[C7C8C9C10]T,Tc元素T11～T44見附錄3。

(23)

將式(23)代入式(21)可得

(24)

(25)

圖2 拱段與索段傳遞

(26)

將式(26)代入式(22)可得

(27)

令式(27)的xc=lm,則有

(28)

(29)

對拱左半部分m個索拱節(jié)點進行受力分析，如圖3(a)所示，由受力分析和位移關(guān)系可得

(30)

將式(30)寫成矩陣的形式,

(31)

對拱右半部分n-m個索拱節(jié)點進行受力分析，如圖3(b)所示，由受力分析和位移關(guān)系可得

(32)

將式(32)寫成矩陣的形式，

(33)

在拱節(jié)點i右側(cè)，有傳遞方程

(34)

將式(25,28,29,31,33)代入式(34)，可以得到整個體系的傳遞方程

(35)

圖3 節(jié)點受力分析

此外，考慮到索拱節(jié)點的位移協(xié)調(diào)條件，得到左側(cè)m個節(jié)點的位移協(xié)調(diào)方程為

(36)

將式(36)寫成矩陣形式，即

(37)

將式(25，28，29，31)代入式(37)，得到在索拱結(jié)構(gòu)左半部分m(m

(i=2,3,4,…,m)(38)

右側(cè)n-m個節(jié)點的位移協(xié)調(diào)方程為

(39)

將式(39)寫成矩陣形式，即

(40)

將式(26，28，29，31，33)代入式(39)，右半部分n-m(m

(i=m+1,m+2,…,n)(41)

最后，聯(lián)立式(35,38,41)，可以得到整個系統(tǒng)的特征值方程

UallZall=0

(42)

式中Uall是整個系統(tǒng)的傳遞矩陣，Zall是索拱所有邊界的總狀態(tài)向量，含有4n+12個元素，即

(43)

若系統(tǒng)有非零解，必然有

(44)

式(44)即為系統(tǒng)的特征方程，利用數(shù)值分析軟件MATLAB可以很容易得到其數(shù)值解。

3 算例分析

3.1 模態(tài)分析

以某拱橋合攏(圖4)為例，對其面內(nèi)特征值問題進行求解。拱橋和斜拉索參數(shù)如下，拱的半徑為100 m，開角為100°，截面尺寸為0.3 m×0.8 m，單位長度質(zhì)量為1872 kg/m，彈性模量Eb=3.45e10 Pa；斜拉索共8根，對稱分布在拱的兩側(cè)，彈性模量Ec=2.1e11 Pa，面積均為A=0.005 m2，初始索力均為N=656250 N，索的作用位置為10°,20°,30°和40°，而索與作用點切線方向的夾角分別為60°,50°,40°和30°，索的錨固點與拱端點水平距離5 m。

圖4 某拱橋合攏狀態(tài)模型

為了驗證本文理論的正確性，采用有限元軟件ANSYS15.0 建立相應(yīng)的索拱模型，拱采用Beam3單元模擬，索采用Link1單元模擬，共劃分為510個單元。表1列出了本文理論和有限元模擬得到的結(jié)構(gòu)前十階頻率?？梢钥闯?，本文理論計算得到的頻率和有限元模擬得到的頻率相對誤差均未超過4%，最大誤差僅第十階的3.99%。圖5給出上述兩種方法計算得出的系統(tǒng)前六階模態(tài)?？梢钥闯?，本文理論的前四階模態(tài)和有限元模擬的結(jié)果一致，而第五階和第六階模態(tài)與有限元的結(jié)果剛好相反，原因可能是第五階和第六階頻率比較接近，從而出現(xiàn)了振型互換的現(xiàn)象，但對模態(tài)影響不大。從圖5和表1可以看出，兩種方法得出的頻率和振型相互吻合，說明本文的理論方法和建立模型的正確性，可以用在同類型拱橋合攏過程的基本動力學特性分析中。

表1 大跨拱橋合攏狀態(tài)模型的前10階頻率Tab.1 The first 10 frequencies of the long -span arch bridge closed state model

圖5 大跨拱橋合攏狀態(tài)模型前六階振型

為了進一步說明傳遞矩陣法解決此類橋梁合攏過程中動力學問題的適用性，本文采用上述理論和方法對拱橋合攏前的半跨模型進行了面內(nèi)特征值求解。表2給出了拱橋合攏前半跨模型的本文理論和有限元模型的前十階頻率，可以看出，半跨模型自振頻率的計算結(jié)果與有限元模型的結(jié)果相對誤差較小，涉及拱的全局模態(tài)誤差稍大，但總體吻合良好。圖6給出了上述兩種方法計算得出的前五階模態(tài)，可以看出本文理論的前五階模態(tài)和有限元模擬的前五階模態(tài)也相互吻合，進一步說明了本文理論和方法的正確性。

表2 拱橋合攏前模型的前10階頻率Tab.2 The first 10 frequencies of the model before the closure of the arch bridge

圖6 拱橋合攏前模型的前五階模態(tài)

3.2 參數(shù)分析

圖7給出了模型前六階頻率隨著拉索彈性模量變化的影響曲線?？紤]到實際施工時不同扣索材料的選取，拉索的彈性模量變化范圍從100 GPa增加到250 GPa，可以看出隨著索彈性模量的增加，系統(tǒng)前六階頻率呈現(xiàn)增長的趨勢，原因在于提高拉索的彈性模量會增大索對拱的支撐，提高了對拱的約束，從而增加了系統(tǒng)的自振頻率。此外，圖中相鄰兩階頻率之間出現(xiàn)了相互靠近又相互分離的現(xiàn)象，即結(jié)構(gòu)中普遍存在Veering現(xiàn)象。此時兩階模態(tài)的頻率十分接近，可能在一些情況產(chǎn)生1∶1 內(nèi)共振并發(fā)生振型的互換。

圖7 索的彈性模量對模型前六階頻率的影響

圖9給出了模型前六階頻率隨著拉索的初始索力變化的影響曲線。拉索的初始索力變化范圍從0.65 MN增加到1 MN，可以看出模型的前六階頻率隨著初始索力的增大而增大，這是因為增加索力會造成系統(tǒng)的幾何剛度增大，從而系統(tǒng)的自振頻率也會增大。此外，與圖7類似，圖9也出現(xiàn)了Veering現(xiàn)象，說明索拱結(jié)構(gòu)很容易出現(xiàn)相鄰兩階頻率產(chǎn)生 1∶1 內(nèi)共振并發(fā)生振型互換的現(xiàn)象，工程中應(yīng)注意初始索力的選取，以避免Veering現(xiàn)象的發(fā)生。

圖8 拱橋半徑對模型前六階頻率的影響

圖9 初始索力對模型前六階頻率的影響

4 結(jié) 論

本文基于拱橋的力學模型，考慮索拱結(jié)構(gòu)的面內(nèi)自由振動的動力學方程，并結(jié)合索拱耦合處的位移協(xié)調(diào)條件，將傳遞矩陣法應(yīng)用在拱橋合攏過程的動力學分析中，并對其合攏狀態(tài)前后的自振頻率進行特征值求解，建立了該類橋型施工過程中面內(nèi)豎彎剛度的評估方法。以某拱橋合攏模型為例，對其面內(nèi)特征值問題進行了求解，并采用有限元模擬對本文理論得到的頻率和模態(tài)進行驗證，結(jié)果吻合較好。同時，針對前六階頻率進行了詳細的參數(shù)分析，得到以下結(jié)論：

(1) 本文理論和方法計算得出的拱橋合攏時全跨模型和合攏前半跨模型的頻率和振型都與ANSYS有限元模型的計算結(jié)果一致，說明了本文理論和方法的正確性，可以應(yīng)用在同類型結(jié)構(gòu)的動力學分析。

(2) 增加拉索的彈性模量，增大了拉索對拱的支撐，提高了對拱的約束，因此會增大結(jié)構(gòu)的前六階頻率。此外，各相鄰階頻率之間出現(xiàn)了Veering現(xiàn)象，工程中應(yīng)選取合適的拉索材料以避免內(nèi)共振現(xiàn)象的發(fā)生。

(3) 增大拉索的初始索力，會增大系統(tǒng)的幾何剛度，從而增大系統(tǒng)的自振頻率。隨著初始索力的增加，相鄰各階頻率之間也會發(fā)生Veering現(xiàn)象，工程中應(yīng)選取合適的拉索初始索力進行施工。

(4) 增加拱橋的半徑，會減小結(jié)構(gòu)的前六階頻率。當拱橋的半徑增加時，使得結(jié)構(gòu)的等效長度增加，減小了結(jié)構(gòu)的等效剛度，從而對結(jié)構(gòu)的自振頻率起到了減小的作用。

附錄1:

附錄2：

附錄3:

T11=sin(βcxc),T12=cos(βcxc),T23=sin(δcxc)

T44=-N0δcsin(δcxc),T32=-EcAcβcsin(βcxc)

T43=N0δccos(δcxc),T31=EcAcβccos(βcxc)

T24=cos(δcxc)