任意橋梁截面自由扭轉(zhuǎn)常數(shù)計算的快速方法

張 恒

(中鐵十九局集團(tuán)有限公司 北京 100176)

1 引言

目前橋梁設(shè)計、施工計算中已經(jīng)普遍采用空間結(jié)構(gòu)分析方法。在空間分析時，首要是把截面特性計算準(zhǔn)確，不僅要計算截面和各主軸的慣性矩，還要包括自由扭轉(zhuǎn)常數(shù)和約束扭轉(zhuǎn)分析的各種參數(shù)。自由扭轉(zhuǎn)常數(shù)的計算是約束扭轉(zhuǎn)參數(shù)計算的基礎(chǔ)，對空間計算結(jié)果的影響也非常大。

當(dāng)前計算截面自由扭轉(zhuǎn)常數(shù)的方法，一是針對簡單截面如矩形、圓形截面，使用理論公式計算。如果可以分割為多個矩形截面，可對每個小塊單獨(dú)計算再累加，這種簡化方法可用于對精度要求不高的情況。對于薄壁截面，可把截面簡化為多個帶厚度的線段，采用薄壁桿件扭轉(zhuǎn)理論進(jìn)行計算[1－3]，這種方法結(jié)果精度較高但簡化截面工作量較大，且只對薄壁桿件有效。對于薄壁箱型截面，還可以采用空間有限元方法，按細(xì)長懸臂梁端部受純扭矩來建模，采用塊體單元計算[4－6]。由于細(xì)長桿件箱型截面約束扭轉(zhuǎn)效應(yīng)較弱，此時計算出來的剛度就是自由扭轉(zhuǎn)常數(shù)，這種方法計算量很大。另外一種方法是直接采用國外大型通用有限元軟件進(jìn)行位移法平面有限元分析[7]，這種方法能計算任意截面形式，但代價較高[8－10]。

從這些研究成果可見，計算任意截面的自由扭轉(zhuǎn)常數(shù)，采用有限元方法，結(jié)果精度較高而且只要在CAD軟件畫出截面，不用大量的人工處理數(shù)據(jù)。但這種方法存在兩個問題:一個是位移法有限元計算的是自由扭轉(zhuǎn)常數(shù)的上限，結(jié)果比理論值偏大；另一個是要計算滿足精度的結(jié)果，網(wǎng)格劃分要很密，實(shí)際計算中要從疏到密反復(fù)計算，計算量很大，如果一開始設(shè)置的網(wǎng)格太密，計算時間很長甚至可能超出軟件計算能力。

采用位移法有限元，其基本原理是從彈性三維問題入手引入假設(shè)，建立微分方程[11]，用翹曲函數(shù)作為未知量，按最小勢能原理建立有限元方程。還有一個思路是用應(yīng)力函數(shù)作為未知量，按最小余能原理建立有限元方程，此種方法計算的結(jié)果是自由扭轉(zhuǎn)常數(shù)的下限。綜合最小勢能原理和最小余能原理這兩種方法，采用二者結(jié)果平均值作為自由扭轉(zhuǎn)常數(shù)，就有可能解決單一方法剛度較大和自動選擇網(wǎng)格劃分尺寸的問題。

本文模型采用如圖1所示的等截面懸臂梁，坐標(biāo)系沿桿件軸向?yàn)閦軸，截面上為x、y軸，與z軸成右手坐標(biāo)系。柱體一端固定，一端自由，自由端受外力扭矩。

圖1 等截面懸臂梁模型

2 最小勢能原理

3 最小余能原理

4 算例對比分析

4.1 矩形截面

如圖2所示，對于寬為1 m、高為2 m的矩形，其自由扭轉(zhuǎn)常數(shù)理論值為0.457，用兩種方法分別計算，取其平均值作為最終結(jié)果。把三個計算結(jié)果與理論值對比，結(jié)果見表1，三種方法計算值隨網(wǎng)格尺寸變化曲線見圖3。

圖2 矩形截面(單位:m)

表1 矩形截面計算

圖3 三種方法計算值隨網(wǎng)格尺寸變化曲線

4.2 薄壁開口截面一

如圖4所示，針對寬為1 m、高1 m、壁厚0.04 m的薄壁開口截面，用兩種方法分別計算，取其平均值作為最終結(jié)果，該截面扭轉(zhuǎn)常數(shù)理論值約為5.48×10－5。 把三個計算結(jié)果與理論值對比，結(jié)果見表2，計算結(jié)果對比見圖5。

圖4 薄壁開口截面一(單位:m)

表2 薄壁開口截面一計算結(jié)果

圖5 計算結(jié)果對比(截面一)

4.3 薄壁開口截面二

對于圖6的薄壁開口截面，用兩種方法分別計算，取其平均值作為最終結(jié)果，該截面扭轉(zhuǎn)常數(shù)理論值約為0.000 128。把三個計算結(jié)果與理論值對比，結(jié)果見表3，計算結(jié)果對比見圖7。

圖6 薄壁開口截面二(單位:m)

表3 薄壁開口截面二計算結(jié)果

圖7 計算結(jié)果對比(截面二)

5 結(jié)論與展望

(1)通過計算值與理論值對比可以看出，在網(wǎng)格劃分規(guī)模相同、計算量基本相同的情況下，用本文的計算方法比只用位移法求解結(jié)果精度大大提高。

(2)采用相同誤差控制結(jié)果精度的情況下，無論求解時間和絕對精度本文所述方法更好，而且在網(wǎng)格劃分較疏、單元個數(shù)較少的情況下，就表現(xiàn)出較高精度。

(3)用新方法雖然要求解兩次，但二者可以共用同一個網(wǎng)格，而且單元剛度矩陣相同，所以計算量與位移法相比略大。

(4)對于薄壁開口截面，使用新方法對提高精度的效果尤其明顯。

(5)本文采用了三節(jié)點(diǎn)三角形單元，為了能提高計算精度，更好地適應(yīng)鋼梁截面的計算，有必要對本文方法采用高次單元，如八節(jié)點(diǎn)四邊形等參元，展開進(jìn)一步的研究。

(6)對于閉口截面，最小勢能原理的方法依然可以計算，但最小余能原理中邊界條件，即公式(5)，只對非閉口截面有效，因此閉口截面的最小余能原理計算方法需要進(jìn)一步研究。