關(guān)注問題本質(zhì) 提升評講質(zhì)量

陳靜

[摘? 要] 學(xué)生考試時常出現(xiàn)“一錯再錯”的現(xiàn)象，學(xué)生對錯題的認(rèn)識還停留在“知其然不知其所以然”的狀態(tài)，從而解題時即使知曉解題思路也不能順利求解. 為此，在試卷評講時要引導(dǎo)學(xué)生回歸教材、回歸通法，從問題的本質(zhì)出發(fā)，通過“多解”“多變”實現(xiàn)解題思路的拓展和延伸，進而不斷提升轉(zhuǎn)化能力和思維能力，促進解題效率的提升.

[關(guān)鍵詞] 回歸教材;回歸通法;解題效率

試卷評講課是高三數(shù)學(xué)教學(xué)的重要課型之一，是學(xué)生查缺補漏的主戰(zhàn)場，然從試卷反饋來看，試卷評講的效率較低，很多題目學(xué)生常“一錯再錯”，究其原因主要是受傳統(tǒng)教學(xué)模式的影響，試卷評講依然延續(xù)著“師講生聽”的模式，學(xué)生的主體性沒有得到發(fā)揮，學(xué)生的學(xué)習(xí)依然是被動的，學(xué)生只重視練而不重視總結(jié)和反思，進而影響了學(xué)習(xí)能力的提升. 那么試卷評講該如何進行呢？尤其是對一些難度較大的應(yīng)用題，應(yīng)采用什么評講模式才會更加高效呢？筆者以一道高考模擬題為例，說一說對試卷評講的一些淺見，供參考.

[?] 研究背景

下面的例1是高三模擬考試中的一道綜合應(yīng)用題，筆者借助于本題求解中暴露的問題，如基礎(chǔ)知識不扎實、解題思路單一、運算能力不足等問題，淺談試卷評講的方向、試卷評講的策略及意義.

例1 如圖1所示，某商業(yè)中心O有兩條街道，一條位于正東方向，一條在北偏東30°方向，某公園P位于商業(yè)中心O北偏東θ角（0<θ<，tanθ=3），且公園P與商業(yè)中心O的距離為 km. 現(xiàn)過公園P修一條直路，使其可以連通商業(yè)中心O的兩條街道，其交點分別為A，B.

（1）若AB正好沿正北方向，試求O到A，B兩處的距離和;

（2）若要使商業(yè)中心O到A，B兩處的距離最短，請確定A，B的最佳位置.

本題是一道高考模擬備考題，雖然之前求解過類似的題目，然學(xué)生的解題效果并不理想. 問題（1）中因為AB剛好是正北方向，學(xué)生根據(jù)已知建立了平面直角坐標(biāo)系，并根據(jù)已知得到OA=OP·sinθ=，OB=2OA，于是得到O到A，B兩處的距離和為13.5 km. 該位置是一特殊位置，其角度也是一特殊值，因此求解較容易，絕大多數(shù)學(xué)生都可以準(zhǔn)確求解. 對于問題（2），幾乎所有學(xué)生都可以通過建立平面直角坐標(biāo)系，借助于直線AB的方程來刻畫O到A，B兩處的距離和，解題思路清晰，然在求解過程中卻暴露了很多問題，如未討論直線AB的斜率，利用函數(shù)卻不考慮其定義域，求導(dǎo)運算也是漏洞百出. 為此，對于這道應(yīng)用題學(xué)生雖然形成了正確的解題思路，然大多數(shù)學(xué)生卻未能正確求解. 那么對于這樣的問題，教師該如何評講呢？顯然，若“就題論題”直接給出答案，則很難加深學(xué)生的理解，那么學(xué)生日后解題時出現(xiàn)錯解的概率依然很大. 為此，評講此類問題時教師必須改變傳統(tǒng)的“灌輸式”和“一刀切”評講模式，要依據(jù)學(xué)生的學(xué)情，借助于學(xué)生熟悉的問題帶領(lǐng)學(xué)生回歸問題的本質(zhì)，進而提升評講品質(zhì)，提高評講效率.

[?] 試卷評講策略

1. 關(guān)注回歸，化陌生為熟悉

（1）回歸教材. 高考題目大多數(shù)源于教材，在教材中往往可以發(fā)現(xiàn)高考題目的影子. 因此，在試卷評講時可以回歸教材，從學(xué)生熟悉的內(nèi)容出發(fā)，有效化解學(xué)生對題目的陌生感，增強解題信心;同時，通過回歸可以引起學(xué)生對教材的重視，使學(xué)生更加關(guān)注對教材例習(xí)題的開發(fā)和拓展，這樣既有利于拓展學(xué)生的思維能力也有助于學(xué)生跳出“題?！?

（2）回歸通法. 在解題教學(xué)中，部分學(xué)生常關(guān)注難題、新題，盲目地追求花里胡哨的解題技巧，進而使得基礎(chǔ)題屢屢失分，得不償失. 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要多關(guān)注解題的通性通法，善于從問題的本質(zhì)出發(fā)去思考和解決問題，這樣不僅可以幫助學(xué)生跳出“題?！?，而且可以實現(xiàn)“會一題、會一類”的目的. 為此，在教學(xué)中教師可以帶領(lǐng)學(xué)生從簡單的、熟悉的問題出發(fā)，關(guān)注問題的基本規(guī)律，從普通意義去建構(gòu)，使學(xué)生面臨新題、難題時也能找準(zhǔn)解題方向，順利求解.

例2 如圖2所示，在平面直角坐標(biāo)系中，過點P（2，1）作直線l交x軸、y軸的正半軸于A，B兩點，求OA+OB的最小值.

解法1：由題意可知，直線l的斜率存在，設(shè)為k（k≠0），則l的方程為y-1=k（x-2）. 令x=0，得y=1-2k;令y=0，得x=2-. 由1-2k>0，

2->0得k<0，則OA+OB=1-2k+2-=3+（-2k）+（-）≥3+2，當(dāng)且僅當(dāng)-2k=-，即k=-時取等號.

教師在評講應(yīng)用題前，選取了一個學(xué)生熟悉的、題設(shè)簡單的求距離的問題，進而借助于簡單題提升學(xué)生解題的信心. 在求解過程中引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注直線斜率存在的問題，善于對特殊情況進行分類討論. 本題根據(jù)直線l的斜率存在，故解題時可以結(jié)合圖像借助于不等式組進行求解.

2. 多解拓展，優(yōu)化解題策略

對于例2，教師引導(dǎo)學(xué)生進行多解拓展，其目的是發(fā)散思維，充分調(diào)動學(xué)生已有的經(jīng)驗，進而活學(xué)活用. 在教師的引導(dǎo)下，對于例2學(xué)生又提出了以下兩個不同的解決方法：

解法2：設(shè)A（a，0）（a>0），由題意可知，直線l的斜率存在，且斜率不為0，故l：=，令x=0，得y=+1. 由+1>0得a>2，則OA+OB=a++1，同理利用基本不等式可以順利求解.

解法3：如圖3所示，作PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別為C，D，設(shè)∠BAO=α（0<α<）. 在Rt△PAC中，AC=;在Rt△PBD中，BD=2tanα. 則OA+OB=2++1+2tanα=3+2tanα+. 至此，問題轉(zhuǎn)化后求得最小值為3+2.

解法1為設(shè)方程法，解法2為設(shè)點法，這兩種方法是解析幾何中常用的處理方法. 在利用通法求解問題時要注意引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注問題轉(zhuǎn)化的等價性，如特殊值、定義域等. 解法3利用的是解三角形的相關(guān)知識，在解決此類問題時應(yīng)用此方法也較常見. 以上三種解法都是教材例習(xí)題中較常見的方法，將解法向?qū)W生熟悉的解決模式進行轉(zhuǎn)化，有利于解題思路的形成，有助于解題效率的提升. 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，很多學(xué)生對這些通性通法表示不屑一顧，過多地追求解題技巧，久而久之，學(xué)生就會忘記解題的根本，學(xué)生的解題能力難以得到提升. 為此，在評講應(yīng)用題時，讓問題回歸，讓解法回歸，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注基礎(chǔ)、關(guān)注本質(zhì)，進而為后面的延伸和拓展奠基.

3. 變式拓展，活化思維

經(jīng)過對例2的評講，學(xué)生掌握了解決此類問題的方法，那么其與例1又有什么聯(lián)系呢？如何引導(dǎo)學(xué)生進行知識的遷移呢？基于此，教師在例2的基礎(chǔ)上進行了變式拓展，將圖2進行旋轉(zhuǎn)和傾斜后得到了圖4和圖5. 雖然變換后與原題不同，然其本質(zhì)并沒有變化，依然可以借助于例2的解題經(jīng)驗進行求解. “新題”給出后，學(xué)生迫不及待地想去驗證，學(xué)生的探究欲被激發(fā)了，解題效率獲得了大幅度提升.

學(xué)生通過類比，順利地完成了這兩道變式題，這時引導(dǎo)學(xué)生回歸例1，將解題經(jīng)驗進一步遷移. 通過前面由淺入深的逐層滲透，借助于“多解”和“變式”的不斷激發(fā)，大多數(shù)學(xué)生可以自主地應(yīng)用不同方法完成例1中問題（2）的求解.

解法1：設(shè)方程法. 學(xué)生之前在求解時幾乎都應(yīng)用了該方法，此方法是解決此類問題的通法，然因?qū)W生對通法的掌握不夠細(xì)致，使得解題時漏洞百出. 為此，教師帶領(lǐng)學(xué)生通過自查和互糾的方式完成錯題訂正，進而實現(xiàn)鞏固基礎(chǔ)、強化通法的目的.

解法2：設(shè)點法. 以O(shè)為原點，OA所在的直線為x軸建立如圖6所示的平面直角坐標(biāo)系，則P

設(shè)A（a，0）（a>0），若a=，由（1）得OA+OB=13.5（km）.

當(dāng)a≠時，直線AB：=. 由題意知，直線OB：y=x. 聯(lián)立直線AB與直線OB，解得x=.

由x=>0，得a>4，則OA+OB=a+2×=（a-4）++5≥9，當(dāng)且僅當(dāng)a-4=，即a=6時取等號，此時OA=6 km，OB=3 km.

解法3：解三角形. 如圖7所示，過點P作PM∥OA交OB于點M，PN∥OB交OA于點N，設(shè)∠BAO=α.

在△OPN中，==，得PN=1=OM，ON=4=PM.

在△PAN中，=，得AN=. 同理，在△PBM中，BM=，且0°<α<120°，則OA+OB=4++1+≥9，當(dāng)且僅當(dāng)=，即tanα=時取等號.

學(xué)生利用方程法求解后，教師又引導(dǎo)學(xué)生嘗試?yán)昧硗鈨煞N方法求解，三種方法類比后讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)最優(yōu)的解決方法.

在本題的評講中，教師不是急于帶領(lǐng)學(xué)生訂正，而是借助于學(xué)生較熟悉的、簡單的問題先進行引導(dǎo)，讓學(xué)生將解題的重心放置于問題本質(zhì)的探究上，進而通過對通法的思考來尋找最優(yōu)的解決方法. 在此過程中讓學(xué)生先回歸熟悉，再利用變式回歸陌生，通過模式的轉(zhuǎn)化使學(xué)生的思維更加活躍，解法更加靈活，課堂更加生動.

總之，要想發(fā)揮試卷評講的優(yōu)勢，就必須打破“就題論題”的教學(xué)模式，要回歸基礎(chǔ)，要善于捕捉問題的本質(zhì)，從而讓學(xué)生可以站在解題思想的高度去思考問題、解決問題，最終促進學(xué)生提升數(shù)學(xué)能力.