基于核心素養(yǎng)的微探究課堂

韓智明

[摘? 要] 落實學科核心素養(yǎng)，其中課堂是必不可少的陣地，教師是課堂教學活動的主導者，需要利用各種教學手段和方法營造鮮活、靈動的課堂氛圍，讓學生主動參與活動，感受數(shù)學活動中知識的發(fā)生過程，提升自己的學科素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 核心素養(yǎng);探究;課堂

如何在課堂教學中落實數(shù)學核心素養(yǎng)，是當前數(shù)學教育的一個熱門話題. 而今幾乎每篇數(shù)學文章、每個數(shù)學教學設(shè)計或數(shù)學公開課等都要冠以數(shù)學核心素養(yǎng)的字樣，它顯然是表示數(shù)學活動是否“高大上”的一個重要衡量指標. 其實落實核心素養(yǎng)并不是“霧里看花”或“水中望月”，更不是不接地氣的“空中樓閣”. 教學實踐表明核心素養(yǎng)是實實在在的，是看得見摸得著的，它需要我們在了解學生已有知識、經(jīng)驗和技能的基礎(chǔ)上，堅持以落實“四基”和提升“四能”為終極目標，在教學活動中努力實現(xiàn)數(shù)學知識的本原性問題（促使一個概念、一個原理、一門理論產(chǎn)生的那些原始問題）和派生性問題（在該知識理論發(fā)展過程中派生出來的與自然科學沒有直接關(guān)系的問題）的完美呈現(xiàn)，達成學生用數(shù)學的眼光觀察世界、用數(shù)學的思維思考問題、用數(shù)學的語言詮釋世界的一種境界.

筆者在一道求圓錐曲線離心率習題的課堂教學活動中，基于學生現(xiàn)有的認知結(jié)構(gòu)，展開教學聯(lián)想和啟發(fā)探究，逐步通過順應同化的方式建立學生新的認知結(jié)構(gòu)，在培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，建構(gòu)學生數(shù)學思維體系收到了流暢、良好的效果.

[?] 課堂呈現(xiàn)

筆者在2021年的高三復習備考中，發(fā)現(xiàn)一道有關(guān)求圓錐曲線離心率的選擇題，也許廣大師生覺得求圓錐曲線離心率應該是一個老生常談的問題，無外乎通過圓錐曲線定義、幾何法或代點法進行處理，最終找到a，b，c的齊次方程即可求解. 筆者和學生一起解答下面這道題時，在學生已有知識和經(jīng)驗的基礎(chǔ)上通過思維聯(lián)想和微探究活動，讓學生的數(shù)學思維得到了很好的訓練.

試題 如圖1所示，設(shè)F，F(xiàn)分別是雙曲線C：-=1的左、右焦點，P是雙曲線C右支上的點，射線PT平分∠FPF，過原點O作PT的平行線交PF于點M. 若

FF

=5

MP

，則雙曲線C的離心率為（  ? ）

A.? ? B. 2

C. D.

解法1：設(shè)雙曲線C的右頂點為A，考察特殊情形：當點P→A時，射線PT→直線x=a，此時PM→AO，即PM→a，特別地，當P和A重合時，PM=a. 由MP=

F

F=，即a=，因此離心率e==，故答案為A.

解法2：如圖1所示，設(shè)∠FPF的平分線交x軸于點T，設(shè)

PF=m，

PF=n，則m-n=2a，又MP=

F

F=，由OM∥PT得=，即=，則

FT=，所以

FT=2c-.又PT是∠FPF的平分線，由角平分線的性質(zhì)得=，即=，化簡整理得m-2a=m-c，即=. 所以雙曲線C的離心率為，故答案為A.

以上兩種解法是參考答案給出的方法，解法1利用了特殊情況，通過極限思想刻畫其極端情況，不失是一種巧妙的解法，對于選擇題當然適用，但在做解答題時終究難登大雅之堂;解法2通過平行線或相似三角形和角平分線的性質(zhì)構(gòu)造線段成比例，結(jié)合雙曲線的定義消去兩個未知數(shù)得到a，c的齊次關(guān)系式，從而求解. 此解法看似思路清晰，過程也不難懂，但其實里面包含了學生很多知識盲點和思維不達的高度. 筆者覺得至少有兩個地方學生的思維是難以突破的，第一是相似三角形中平行線分線段成比例屬于平面幾何知識，學生運用不熟練;第二是三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)，學生幾乎不知道，更不能運用，加上很多變量難以消除. 從測試后的結(jié)果表明，整個年級的學生幾乎都不會通過適當?shù)姆椒ń鉀Q此道習題，答錯率很高.

這道習題真是難題嗎？筆者通過對此題構(gòu)題的分析，從題源和命題人的初衷思考，不得不感慨命題人獨具匠心和變式思想，于是就有了筆者和學生的解題聯(lián)想和微探究課堂.

當學生看到這兩種解法后，課堂上一陣唏噓聲……

教師：同學們！從上面的兩種解法來看，第一種解法通過特殊性處理求解是可以接受的，但是第二種解法很難有同學想得到，此解法要求我們對平面幾何知識很熟悉，要求很高. 此題還有其他我們?nèi)菀渍莆蘸屠斫獾慕夥▎?？在給出其他解法之前，讓我們先看看下面這道習題：

題1：設(shè)F，F(xiàn)分別是雙曲線C：-=1的左、右焦點，如圖2所示，點P是雙曲線C右支上的點，射線PT平分∠FPF，過點F作PT的垂線交PT于T，求點T的軌跡方程.

教師：這是一道求點的軌跡方程的習題，大家首先要想到求點的軌跡方程的方法——直接法、定義法、相關(guān)點法、參數(shù)法及交軌法，但對照此題發(fā)現(xiàn)解題思路不是很明朗.

生1：通過分析，求解此題可以排除直接法、相關(guān)點法、參數(shù)法及交軌法，最后只能用定義法解決，因為它是在雙曲線上，應該和雙曲線的定義和性質(zhì)有關(guān)，題中既有角平分線又有垂直線，應該可以構(gòu)造某種圖形進行處理.

教師：分析得很有道理，我們在初中學習時遇到過當角平分線和高同時存在時，運用的解題策略和方法是什么？你會聯(lián)想到什么呢？

生2：“三線合一”，如圖3所示，可以延長FT交PF的延長線于點E，連接OT，就得到一個等腰三角形PFE，點T是FE的中點，就可以把PF的長轉(zhuǎn)化為PE的長. 利用雙曲線的定義得

PF-

PF=PE-

PF=

FE=2a，又OT是△FEF的中位線，所以TO=

FE=a. 由圓的定義即可得到點T的軌跡是以O(shè)為圓心，a為半徑的圓，即x2+y2=a2.

通過學2的分析，可以看出學生已經(jīng)掌握了相關(guān)的解題方法和思路，已經(jīng)具備了相應的知識結(jié)構(gòu)，這時就要對學生已經(jīng)具備的知識進行遷移，去獲得更高級別的知識和解決更高層次的問題了.

教師：非常好！學2的思路清晰，充分利用題設(shè)條件構(gòu)造了等腰三角形，最后通過定義法求出了點的軌跡. 此題是以雙曲線為背景的，我們不妨合理猜想和探究一下，當題設(shè)背景是橢圓時，我們能得到同樣的問題嗎？

（3分鐘后）

生3：我通過嘗試直接把題1中的雙曲線改成橢圓，發(fā)現(xiàn)結(jié)論不能成立.

生4：如果僅僅把條件中的雙曲線改成橢圓是不夠的，橢圓的定義和雙曲線的定義不同，構(gòu)造的三角形得到的兩邊之差不能代替橢圓中的兩邊之和，所以要根據(jù)橢圓的特征進行條件改動，也就是題設(shè)中的內(nèi)角平分線要改成外角平分線.

教師：分析得很有道理！按照這個變換思路我們給出題2：

題2：設(shè)F，F(xiàn)分別是橢圓C：+=1的左、右焦點，如圖4所示，點P是橢圓C上一點，射線PT是△FPF的外角平分線，過點F作PT的垂線交PT于T，求點T的軌跡方程.

生5：通過題1的思路，同理得到圖5，即延長FT交FP的延長線于點E，連接OT，得到一個等腰三角形PFE，點T是FE的中點，就可以把PF的長轉(zhuǎn)化為PE的長. 利用橢圓的定義得

PF+

PF=PE+

PF=

FE=2a. 又OT是△FEF的中位線，所以TO=

FE=a. 由圓的定義即可得到點T的軌跡是以O(shè)為圓心，a為半徑的圓，即x2+y2=a2.

教師：通過對這兩道習題的解題分析和變式練習，我想同學們應該明白和理解我為什么要大家先做這兩道習題的良苦用心了吧！它們應該和我們這次測試的這道題有非常緊密的關(guān)系，我們應該可以通過題1、題2的解答思路解決這道試題了. 下面大家一起回到這道試題上來！

在解題活動中，當學生面臨一個陌生的數(shù)學問題時，甚至當學生對要解決的數(shù)學問題毫無思路時，作為教師絕對不能填鴨式地灌輸解題方法，而是要先從學生已有的知識結(jié)構(gòu)出發(fā)，豐富和發(fā)展學生的知識結(jié)構(gòu)，構(gòu)建新的知識結(jié)構(gòu)，通過展示同學生已有的知識結(jié)構(gòu)相匹配的數(shù)學問題來積累和豐富學生的解題經(jīng)驗和水平，從而啟發(fā)并展開學生豐富的聯(lián)想，探究更高層次的數(shù)學問題. 當我們正要去解決一個數(shù)學問題時，要有一個充分的解題準備. 正如著名數(shù)學家波利亞在《怎樣解題》中說道：“你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此相關(guān)的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？”因此，解題時我們要重現(xiàn)過去在數(shù)學活動中的某些思維過程，解題活動其實就是解決和探究數(shù)學問題時思維過程的一個總結(jié). 當解題活動結(jié)束時，回過頭來想一想，我們會發(fā)現(xiàn)自己在解決問題時的確或多或少地經(jīng)歷了以往的一個過程.

教師：我們首先看一看題1和這道試題有什么聯(lián)系，仔細聯(lián)想一下它們的相似之處.

（4分鐘后）

生6：解決完題1和題2后，我感覺此道試題的解決思路就打開了，很明顯此道試題就是題1的變式題，題設(shè)條件一樣，就是設(shè)問有所不同. 如圖6所示，可以得到如下的解析：

過點F作FN⊥PT交PT于點N，交PF于點A，連接ON，于是得到一個等腰三角形PAF，點N為FA的中點，就可以把PF的長轉(zhuǎn)化為PA的長. 利用雙曲線的定義得

PF-

PF=

PF-PA=

AF=2a. 又ON是△FAF的中位線，所以NO=

AF=a. 又ON∥PM，OM∥PN，所以四邊形ONPM是平行四邊形，所以O(shè)N=MP，即a=c，即e=，故答案為A.

教師：非常好！思路清晰，簡潔明了，真正運用聯(lián)想漂亮地解決了此題.

生7：剛才生6是在題1的解答思維的基礎(chǔ)上做的調(diào)整，是過點F作的垂線，其實過點F仿照題1的解答思路同樣可以解決. 如圖7所示，可以得到下面的解析：

過點F作FN⊥PT交PT于點N，交PF的延長線于點A，連接ON，得到一個等腰三角形PAF，點N即為FA的中點，就可以把PF的長轉(zhuǎn)化為PA的長. 利用雙曲線的定義得

PF-

PF=PA-

PF=

AF=2a，又ON是△FAF的中位線，所以O(shè)N=

AF=a.又ON∥PA，OM∥PN，∠FPN=∠APN，∠APN=∠ONP，所以∠FPN=∠ONP，所以四邊形ONPM是等腰梯形，所以O(shè)N=MP，即a=c，即e=，故答案為A.

教師：生6和生7的解答思路基本相同，都是在題1和題2的解答思路啟發(fā)的基礎(chǔ)上展開的類比和聯(lián)想，所以在今后的解題活動中，我們要積累解題經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)隱藏在習題中的本原性知識，通過循序漸進的方式融入我們的知識結(jié)構(gòu)，產(chǎn)生新的派生性知識.

豐富的聯(lián)想讓學生思維活躍，學生嘗試運用類比、聯(lián)想的思維方法解決他們的問題，嘗到了解題成功的喜悅，于是筆者決定將課堂探究活動進行到底.

教師：同學們！很高興在我們共同努力下解決了一道選擇難題，仿照題1和題2，我們在聯(lián)想的基礎(chǔ)上繼續(xù)進行探究活動，也就是把雙曲線改換成橢圓，情況會怎么樣呢？

（5分鐘后）

生8：類比前面，我們同樣可以生成另一個習題.

教師：生8說得很好！我們可以聯(lián)想前面的題2生成一道以橢圓為背景的試題. 仔細觀察一下，首先要改動選項中離心率的取值，我們不妨先按照題設(shè)條件做一做，然后再根據(jù)結(jié)果進行變式.

題3：如圖8所示，設(shè)F，F(xiàn)分別是橢圓+=1的左、右焦點，P是橢圓上的點，延長F1P到D，射線PT平分∠DPF，過原點O作PT的平行線交PF于點M. 若

FF

=5

MP

，則橢圓的離心率為（? ? ）

A. B. 2

C. D.

解析：和題2的解答思路相同，過點F作FN⊥PT交PT于點N，交FP的延長線于點A，連接ON，得到一個等腰三角形PAF，點N即為FA的中點，就可以把PF的長轉(zhuǎn)化為PA的長. 利用橢圓的定義得

PF+

PF=

PF+PA=

AF=2a. 又ON是△FAF的中位線，可得NO=

AF=a. 又四邊形ONPM是平行四邊形，所以O(shè)N=MP，即a=c，即e=.

（看完解析后，學生在下面議論紛紛，討論氛圍很熱烈）

生9：從計算的結(jié)果來看，這種改編有幾處地方不妥，首先是選項的值不對，都應該在0到1之間;線段FF和MP的數(shù)量關(guān)系應該也要進行改動.

教師：分析得很有道理，我們就按照生9的想法把此題改編成下面的題4.

題4：如圖8所示，設(shè)F，F(xiàn)分別是橢圓+=1的左、右焦點，P是橢圓上的點，延長F1P到D，射線PT平分∠DPF，過原點O作PT的平行線交PF于點M. 若

FF

=

MP

，則橢圓的離心率為（? ? ）

A. B.

C. D.

教師：這樣的話，我想解析的過程就不用再贅述了，只是后面數(shù)量關(guān)系發(fā)生了變化，即ON=MP=

F

F，即a=c，即e=，故答案為A. 當然，類比雙曲線時的情形，我們同樣可以用另外的方法求解此題：

如圖9所示，過點F作FN⊥PT交PT于點N，交FP的延長線于點A，連接ON交PF于點B，得到一個等腰三角形PAF，點N即為FA的中點，就可以把PF的長轉(zhuǎn)化為PA的長. 利用橢圓的定義得

PF+

PF=

PF+PA=

AF=2a，又ON是△FAF的中位線，所以NO=

AF=a. 又ON∥PA，OM∥PN，∠FPN=∠APN，∠APN=∠ONP，所以∠FPN=∠ONP，所以△PBN是等腰三角形，同理可得△BOM也是等腰三角形. 所以

BP

=

NB

，

BM

=

BO

，所以

BP

+

BM

=

NB

+

BO

，即ON=MP，即a=c，即e=，故答案為A.

生10：一道小題（選擇題）蘊含了大思想（聯(lián)想、類比和探究），一個知識點（求離心率）彰顯了好方法（構(gòu)造、推理和變式）. 普通的習題，自然的聯(lián)想，經(jīng)典的變式，解題思想明確，方法更是那么熟悉，這堂課把此題真是剖析得淋漓盡致. （此時學生都報以熱烈的掌聲?。?/p>

[?] 課堂反思

新課標指出，數(shù)學課程的目標首先要求學生在學習數(shù)學的過程中掌握數(shù)學“四基”，即基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗;其次是在應用數(shù)學的過程中提高“四能”，即從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，進而在學習數(shù)學和應用數(shù)學這兩個過程中發(fā)展數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學學科核心素養(yǎng)，最后才能夠達到“三會”，即會用數(shù)學眼光觀察世界、會用數(shù)學思維思考世界、會用數(shù)學語言表達世界.

培養(yǎng)數(shù)學學科核心素養(yǎng)的具體實施策略主要是通過數(shù)學學科教學活動來實現(xiàn)的，課堂教學活動應該是培養(yǎng)數(shù)學學科核心素養(yǎng)的主要陣地. 然而課堂教學的價值取向是什么？是每次不折不扣地完成既定的教學內(nèi)容，以教學計劃為框架、以教學內(nèi)容為載體動態(tài)地調(diào)控課堂的走向. 后現(xiàn)代教學理念認為，“教學活動的過程主要是學生主動學習和建構(gòu)的過程”. 建構(gòu)主義認為，“學習是在教師指導下的，以學生為中心的學習，教師是意義建構(gòu)的幫助者、促進者，學生是信息加工的主體，是意義的主動建構(gòu)者”. 新課標強調(diào)以學生為主體，強調(diào)學生對知識的主動探索、主動發(fā)現(xiàn)，強調(diào)學生對知識意義的主動構(gòu)建，本堂課筆者正是以此為指導思想來展開數(shù)學解題的聯(lián)想、類比和探究活動的.

教育家烏申斯基說：“沒有絲毫興趣的強制學習，會扼殺學生探求真理的欲望，興趣是學習的重要動力，也是最好的老師！”課堂上，教師準確把握和利用學生的基礎(chǔ)知識和基本活動經(jīng)驗是進行有效教學活動的前提，先以一道選擇題的解法拉開數(shù)學活動的序幕，通過啟發(fā)和引導學生在已有認知水平的基礎(chǔ)上不斷納入和構(gòu)建新的更高一級的認知結(jié)構(gòu)，創(chuàng)設(shè)知識情境，環(huán)環(huán)相扣，層次分明地形成”思維鏈“，通過組織、開展師生互動活動讓師生的思維撞擊并產(chǎn)生靈動的火花. 教師在活動中參與指導評價，調(diào)控課堂進程，通過知識聯(lián)想、方法類比、變式探究的形式激發(fā)學生的聯(lián)想和探究興趣、思維，學生在思考、交流、解決問題的過程中不斷挑戰(zhàn)、質(zhì)疑、更新認識，實現(xiàn)自我探究、突破、評價、總結(jié)，促成教與學交互生成、發(fā)展，學生在整個課堂中身心愉悅地置身于教學活動中的主體地位，感受數(shù)學學習成功與進步的快樂，

整個課堂教學活動不斷進行習題變式和組織，讓學生敢于創(chuàng)新和勇于實踐，而數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)主要就是圍繞著創(chuàng)新能力和實踐能力來進行的，發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新意識的核心，分析和解決問題是實踐能力的表現(xiàn). 聯(lián)想和微探究活動是貫穿整個課堂的內(nèi)容主線，學生在教師的指導下自主探究、回答交流，呈現(xiàn)不同觀點交鋒，質(zhì)疑、引導、補充、修正，多角度分析問題，深化理解問題. 在教學過程中教師不僅要關(guān)注如何幫助學生學會知識、技能、思想、方法，更要關(guān)注如何引導學生會學習、會思考、會應用.

于無聲中育人，于無形中塑人，活躍靈動的課堂有助于樹立學生敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴謹求實的科學精神，充滿理性思維的聯(lián)想和微探究活動有助于學生不斷提升數(shù)學實踐能力和數(shù)學創(chuàng)新能力，從而使學生真正認識數(shù)學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值.