以大觀念為核心重構(gòu)單元學(xué)習(xí)

牛獻(xiàn)禮

【摘 要】“多邊形的面積”單元教學(xué)以數(shù)學(xué)“大觀念”為核心，將課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，各部分內(nèi)容的著力點(diǎn)既前后關(guān)聯(lián)又各有側(cè)重，即“平行四邊形的面積”的教學(xué)應(yīng)借助方格紙度量面積，讓學(xué)生理解“轉(zhuǎn)化”的道理，并學(xué)會用“剪拼法”將未知轉(zhuǎn)化為已知;“三角形的面積”的教學(xué)注重引導(dǎo)學(xué)生用“合拼法”“剪拼法”等多種轉(zhuǎn)化方法探究新知，并理解不同方法背后的共同道理;“梯形的面積”的教學(xué)則進(jìn)一步放手讓學(xué)生自主選擇轉(zhuǎn)化方法去推導(dǎo)公式。各部分的教學(xué)都注重“理法融合”，關(guān)注學(xué)生對具體知識背后的“大觀念”的持續(xù)性理解。

【關(guān)鍵詞】大觀念 轉(zhuǎn)化思想 自主探究 持續(xù)性理解

素養(yǎng)是一個人表現(xiàn)出來的思維品質(zhì)和做事風(fēng)格。學(xué)生的素養(yǎng)往往體現(xiàn)在解決新情境下復(fù)雜問題的意愿和能力，而這需要學(xué)生理解和遷移知識學(xué)習(xí)過程中蘊(yùn)含的思想方法、思維方式、情感態(tài)度等。一個人對思想方法等的認(rèn)識形成一個個的“觀念”（idea），其中居于學(xué)科中心地位、最核心的就是“大觀念”（big

ideas）?！按笥^念”是抽象概括出來的概念，它能反映學(xué)科本質(zhì)，處于更高層次，因而能夠?qū)⒏鞣N相關(guān)概念和理解聯(lián)系成為一個連貫的整體，使之能夠在更大范圍內(nèi)得以遷移運(yùn)用，是知識向核心素養(yǎng)轉(zhuǎn)化的中介。

為此，筆者在執(zhí)教小學(xué)數(shù)學(xué)五年級“多邊形的面積”單元時，分析并提煉出具體知識內(nèi)容背后的大觀念。

大觀念1：測量圖形的面積，實質(zhì)是測量該圖形所包含的面積單位的個數(shù)。

大觀念2：可以借助圖形與圖形之間、各圖形要素之間的關(guān)系，推導(dǎo)出多邊形的面積公式。

大觀念3：多邊形面積公式的不同推導(dǎo)過程有著共同的道理，都是將未知轉(zhuǎn)化為已知去解決新問題。

大觀念4：以上過程發(fā)展了學(xué)生的幾何直觀、推理能力和空間觀念等數(shù)學(xué)思想。

教學(xué)時，我們不能把學(xué)習(xí)目標(biāo)設(shè)定為“掌握多邊形的面積公式，會利用公式計算面積”這么簡單，而應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生通過對平行四邊形、三角形和梯形等多邊形面積公式的自主探究和深入思考，不斷理解面積度量的本質(zhì)，持續(xù)感悟“轉(zhuǎn)化”的思想方法，從而實現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法層面的“通”與“進(jìn)”。

筆者以提煉出的“大觀念”為核心，對“多邊形的面積”單元內(nèi)容進(jìn)行了結(jié)構(gòu)化重組，將“轉(zhuǎn)化”思想貫穿單元始終，各部分的著力點(diǎn)既前后關(guān)聯(lián)又各有側(cè)重，幫助學(xué)生深入理解圖形面積的本質(zhì)，即圖形面積就是計算面積單位的個數(shù)。

一、典型課例1：平行四邊形的面積

平行四邊形與長方形一樣，其面積的本質(zhì)含義都是“包含的面積單位的個數(shù)”，計算方法也是用“一行的個數(shù)×行數(shù)”。從知識之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系來看，平行四邊形的面積公式是面積計算的一個關(guān)鍵模型，本節(jié)課形成的“將未知轉(zhuǎn)化為已知去解決新問題”等大觀念對后續(xù)的三角形、梯形、圓形、組合圖形以及不規(guī)則圖形等的面積計算都有著重要的啟示作用。

為此，平行四邊形面積的教學(xué)應(yīng)突出兩個關(guān)鍵點(diǎn)：一是溝通“數(shù)方格”與“剪拼法”的聯(lián)系，理解“把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形是為了更方便地數(shù)方格”，體會轉(zhuǎn)化的必要性;理解平行四邊形的“底”就是“一行有幾個面積單位”，“高”就是“有幾行”，“底×高”就是“一行的個數(shù)×行數(shù)”，計算出的是“面積單位的個數(shù)”，從而真正建構(gòu)平行四邊形面積的概念。二是聚焦于學(xué)生的“真問題”（即多數(shù)學(xué)生受長方形面積公式負(fù)遷移的影響，最容易產(chǎn)生“鄰邊相乘”的想法），在比較、辨析中理解“底乘高”和“鄰邊相乘”的區(qū)別。將這兩個關(guān)鍵點(diǎn)理解透徹，在后續(xù)計算三角形、梯形等圖形的面積時，學(xué)生能夠基于已有知識經(jīng)驗展開自主探索。

1. 復(fù)習(xí)長方形的面積公式及推導(dǎo)過程

師生在交流中形成下圖（見圖1）。

2. 探究怎樣計算平行四邊形的面積

學(xué)生借助方格紙上的平行四邊形獨(dú)立思考，然后全班交流（見圖2）。

生1：數(shù)方格。把不滿一格的半格都互相拼成整格，一共有15個格（見圖3）。

生2：剪拼法。沿著高把左側(cè)的三角形“剪下來”，再把這個三角形整體向右移動，拼成了長方形，面積是5×3=15（格）（見圖4）。

討論：“數(shù)方格”的方法和“剪拼法”有什么區(qū)別和聯(lián)系？

歸納：平行四邊形里有大半格還有小半格，方格數(shù)起來很不方便;而通過“剪拼法”把平行四邊形轉(zhuǎn)化成面積相等的長方形之后，小方格都變成整格了，很容易看出“一行有幾個”和“有幾行”，方便數(shù)也方便計算。

師：看來“轉(zhuǎn)化”還真有必要呀！請大家再想一想，平行四邊形的面積計算其實是什么？

小結(jié)：和長方形一樣，平行四邊形的面積計算本質(zhì)也是數(shù)面積單位的個數(shù)。

【設(shè)計意圖】“數(shù)方格”也就是數(shù)面積單位，是測量本質(zhì)的直觀體現(xiàn)，能有效改正“鄰邊相乘”的錯誤思路。同時，在方格圖里進(jìn)行割補(bǔ)，能使學(xué)生直觀地感受到：只有將圖形這樣變形，才能最方便地數(shù)出它包含了幾個面積單位。

3. 辨析“剪拼轉(zhuǎn)化”與“推拉轉(zhuǎn)化”的異同

出示練習(xí)：計算下面平行四邊形的面積（見圖5）。

學(xué)生獨(dú)立嘗試后，答案大致有兩種：32平方厘米和40平方厘米。

生1：用“剪拼法”把平行四邊形右邊的三角形剪下來，拼在平行四邊形左邊，就變成了一個長方形。這個長方形的長是8厘米，寬是4厘米，所以面積是32平方厘米。

教師結(jié)合回答，動態(tài)呈現(xiàn)剪拼的過程（見圖6）。

生2：我是把平行四邊形“推拉”成一個長方形，再用它的長乘寬（兩個鄰邊相乘），面積是8×5=40（平方厘米）。

師：哪個答案是正確的？有什么辦法可以驗證？

生：可以通過方格圖數(shù)一數(shù)這個平行四邊形到底包含多少個面積單位來驗證。

課件顯示：方格沿著高“剪拼”成寬是4個格的長方形，得到的面積是8×4=32（格），即32平方厘米;而“推拉”成的長方形的寬是5個格，面積是8×5=40（格），即40平方厘米（見圖7）。

小結(jié)：用“剪拼法”把平行四邊形轉(zhuǎn)化成面積相等的長方形，平行四邊形的底等于長方形的長，高等于長方形的寬，長方形的面積=長×寬，平行四邊形的面積=底×高。

【設(shè)計意圖】多數(shù)學(xué)生受長方形面積公式負(fù)遷移的影響，最容易產(chǎn)生“鄰邊相乘”的想法，上述教學(xué)聚焦于學(xué)生的“真問題”，激發(fā)學(xué)生積極思考，并借助“數(shù)方格”明晰“剪拼轉(zhuǎn)化”的道理和“推拉轉(zhuǎn)化”的問題所在。這樣直面學(xué)生“真困惑”的追本溯源的數(shù)學(xué)活動，針對性很強(qiáng)，也為學(xué)生奠定了利用“轉(zhuǎn)化”思想解決問題的認(rèn)知基礎(chǔ)。

二、典型課例2：三角形的面積

在“三角形的面積”教學(xué)中，“合拼法”（即用兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形）幾乎是公認(rèn)的最易于學(xué)生理解、掌握的方法。但實際上，如果不是提前看書預(yù)習(xí)過，通過“再拼上一個完全一樣的三角形”來實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的方法，許多學(xué)生是不容易想到的。相比之下，學(xué)生由推導(dǎo)平行四邊形面積公式的“剪拼法”遷移到“通過剪拼將三角形轉(zhuǎn)化為平行四邊形”卻是不難實現(xiàn)的。另外，由于學(xué)生的思維水平有差異，三角形面積公式的推導(dǎo)過程也會各不相同。如果缺少了對這些不同思路與推導(dǎo)過程的比較與歸納，學(xué)生是很難深刻理解上述“公認(rèn)的”推導(dǎo)過程的優(yōu)越性的，更不會真正認(rèn)識到：公式中的“÷2”不僅代表著“三角形的面積是與它等底等高的平行四邊形面積的一半”，更代表著“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思維方法。

因此，在教學(xué)中教師應(yīng)當(dāng)少一些“暗示”，多給學(xué)生一些自主探究和與同伴交流的空間，繼而在多種方法的比較、討論中，促使學(xué)生形成“三角形面積公式的不同推導(dǎo)過程有著共同的道理，都是將未知轉(zhuǎn)化為已知”的大觀念。

1. 喚醒經(jīng)驗，引導(dǎo)思考

師：想一想，平行四邊形的面積公式是怎么推導(dǎo)出來的？如果給你一個新的圖形應(yīng)該怎么考慮？

師：（出示三角形）怎樣計算三角形的面積？（板書：三角形的面積）

【設(shè)計意圖】數(shù)學(xué)最重要的是教學(xué)生學(xué)會思考。上述環(huán)節(jié)把平行四邊形和三角形的面積公式推導(dǎo)聯(lián)系起來，啟發(fā)學(xué)生做類比聯(lián)想，“將未知轉(zhuǎn)化為已知”這個“大觀念”自然凸顯。

2. 自主探索，推導(dǎo)公式

（1）自主探索

學(xué)生借助“探究學(xué)習(xí)單”獨(dú)立思考，教師巡視指導(dǎo)。

（2）全班交流

① 探討用兩個三角形推導(dǎo)的方法。

生：我又“復(fù)制”了一個三角形，用這兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形，它們的底相等，高也相等，所以三角形的面積=底×高÷2（見圖8）。

師：想一想，“底×高”表示什么？

生：“底×高”是平行四邊形的面積。

師：能解釋一下為什么“÷2”嗎？

生：因為“底×高”是兩個三角形的面積，所以要“÷2”。

②探討用一個三角形推導(dǎo)的方法。

生1：沿著中點(diǎn)的這條線把上面的小三角形剪下來，與下面的梯形拼成一個平行四邊形。平行四邊形的底=三角形的底，高=三角形高的一半，所以三角形的面積=底×高÷2（見圖9）。

師：誰聽懂了？為什么要“÷2”？

生2：因為平行四邊形的高是三角形高的一半，所以平行四邊形的面積=底×（高÷2），括號去掉，就是底×高÷2。

生3：我覺得開始時先不要去掉“高÷2”的小括號，要不然不容易懂。

課件展示其他推導(dǎo)方法（見圖10）：

（3）歸納方法

師：想一想，這些不同的方法之間有聯(lián)系嗎？它們的共同點(diǎn)是什么？

生1：都是把三角形轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的圖形。

生2：都是把未知轉(zhuǎn)化成已知。

師：看來“轉(zhuǎn)化”真是一種重要的數(shù)學(xué)方法！在這么多“轉(zhuǎn)化”的方法中，你更喜歡哪一種？

生3：我喜歡用兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形的方法，比較簡便。

生4：我喜歡剪拼法。

師：我們知道長方形和平行四邊形的面積計算的是面積單位的個數(shù)，那么三角形的面積計算的又是什么呢？

生：也是面積單位的個數(shù)。

【設(shè)計意圖】經(jīng)過對三角形面積公式不同推導(dǎo)方法的比較，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)“不同方法背后有共同的道理”，即都是將未知轉(zhuǎn)化為已知，數(shù)學(xué)“大觀念”逐漸深入人心。

三、典型課例3：梯形的面積

在推導(dǎo)梯形面積公式之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)會了兩種轉(zhuǎn)化方法—“剪拼法”和“合拼法”，積累了大量的經(jīng)驗。盡管從模型建構(gòu)的角度看，“梯形的面積”屬于一節(jié)新授課，但從學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗遷移的角度看，它也可以看作一節(jié)圖形面積公式推導(dǎo)的練習(xí)課。因此，教學(xué)中教師應(yīng)充分“放手”，鼓勵學(xué)生用多種方法推導(dǎo)梯形面積公式，進(jìn)而在比較、辨析中明白不同方法背后共同的道理，深入理解和形成相關(guān)的數(shù)學(xué)“大觀念”。

1. 回顧舊知，提出設(shè)想

（1）回顧推導(dǎo)過程

課件演示：回顧平行四邊形、三角形面積公式的推導(dǎo)過程。

提出研究問題：怎樣求梯形的面積？

（2）鼓勵學(xué)生提出設(shè)想

生：運(yùn)用“剪拼法”和“合拼法”，是否也可以求出梯形的面積？

【設(shè)計意圖】對圖形面積公式推導(dǎo)方法進(jìn)行復(fù)習(xí)梳理，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行類比聯(lián)想，鼓勵學(xué)生提出個人的想法和見解。

2. 自主探索，交流分享

學(xué)生自主探究后，全班交流。

生1：用兩個完全相同的梯形拼成一個平行四邊形（見圖11），平行四邊形的高=梯形的高，平行四邊形的底=梯形的（上底+下底），根據(jù)“平行四邊形的面積=底×高”推導(dǎo)出“梯形的面積=（上底+下底）×高÷2”。

生2：沿著梯形兩個腰的中點(diǎn)連線并剪開，拼成一個平行四邊形（見圖12）。平行四邊形的面積=梯形的面積，平行四邊形的底=梯形的（上底+下底），平行四邊形的高=梯形的高÷2，所以梯形的面積=（上底+下底）×高÷2。

生3：沿著梯形的對角畫一條線，把它分成兩個三角形（見圖13），左邊三角形的面積=上底×高÷2，右邊三角形的面積=下底×高÷2，所以梯形的面積=上底×高÷2 +下底×高÷2 =（上底+下底）×高÷2。

在交流分享環(huán)節(jié)，教師鼓勵學(xué)生結(jié)合直觀圖示解釋自己的推導(dǎo)過程，并緊密圍繞“為什么除以2”這一核心問題，讓學(xué)生在多種方法的對比、辨析中，理解不同方法背后共同的道理，深入體會“將未知轉(zhuǎn)化為已知”的思想方法。

【設(shè)計意圖】正是由于教師的充分信任、敢于“放手”，學(xué)生“火熱的思考”被激發(fā)，創(chuàng)新的火花不斷迸發(fā)。在交流環(huán)節(jié)，教師鼓勵學(xué)生“說理”，借助圖示解釋面積公式的推導(dǎo)過程，把推理意識的培養(yǎng)落在了實處。

3. 回顧反思，積累經(jīng)驗

師：回顧一下梯形面積公式的推導(dǎo)過程，你有哪些收獲？

師生交流，總結(jié)梯形面積公式推導(dǎo)的方法及學(xué)習(xí)經(jīng)驗。

師：想一想，梯形面積公式和平行四邊形、三角形面積公式之間有什么聯(lián)系嗎？

生1：它們都是將未知轉(zhuǎn)化為已知。

生2：它們計算的都是面積單位的個數(shù)。

……

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生“回頭看走過的路”，并把幾個多邊形的面積公式聯(lián)系起來思考，有助于將各種相關(guān)概念和理解聯(lián)系成為一個連貫的整體，形成結(jié)構(gòu)性認(rèn)識。

（作者單位：北京亦莊實驗小學(xué)）

責(zé)任編輯：趙繼瑩