基于工程理論的模擬地震動(dòng)研究

畢佳偉 李水龍

(1、中國(guó)地震局工程力學(xué)研究所，黑龍 江哈爾濱 150080 2、中國(guó)地震局地震工程與工程振動(dòng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，黑龍 江哈爾濱 150080 3、福建省地震局，福建 福州 350003)

地震是發(fā)生較為頻繁的自然災(zāi)害之一，每年因地震都會(huì)造成巨大的傷害和經(jīng)濟(jì)損失。地震發(fā)生是隨機(jī)且不可預(yù)測(cè)的，這就給防災(zāi)減災(zāi)帶來(lái)了極大困難。所以，模擬出與實(shí)際地震動(dòng)與特定場(chǎng)地相符合的地震記錄能減少地震帶來(lái)的損害，也對(duì)未來(lái)可能發(fā)生地震時(shí)結(jié)構(gòu)或社會(huì)提供預(yù)防措施。地震動(dòng)模擬可分為兩大理論體系：一種是基于地震學(xué)方法，另一種是基于工程方法[1]。地震學(xué)方法又可分為確定性方法、隨機(jī)方法和寬頻帶模擬方法，其中應(yīng)用最為廣泛的是隨機(jī)有限斷層法。地震學(xué)方法考慮地震動(dòng)在傳播過(guò)程中物理本質(zhì)，但因地球內(nèi)部構(gòu)造以及地震傳播過(guò)程中是未知和復(fù)雜的，所以地震學(xué)方法要利用大量物理參數(shù)才能模擬出相應(yīng)的地震記錄。工程方法把地震動(dòng)時(shí)程記錄看作為隨機(jī)過(guò)程并且利用以前記錄到的強(qiáng)震記錄，從數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)關(guān)系的角度分析地震動(dòng)參數(shù)與模型參數(shù)之間的關(guān)系。工程學(xué)方法操作簡(jiǎn)單，需要的參數(shù)少，在實(shí)際地震動(dòng)模擬中應(yīng)用最為廣泛。工程方法依賴于提出的隨機(jī)過(guò)程模型，由強(qiáng)度非平穩(wěn)模型逐步發(fā)展到同時(shí)具有強(qiáng)度非平穩(wěn)性和頻率非平穩(wěn)性的模擬方法，如基于傅里葉譜或功率譜的三角級(jí)數(shù)法、小波變換法以及小波包變換等。本文以工程法中地震動(dòng)模擬方法為基礎(chǔ)，介紹了不同發(fā)展階段出現(xiàn)的模擬模型，并且對(duì)工程上常用的三角級(jí)數(shù)法進(jìn)行介紹和研究。

1 工程地震動(dòng)模擬

在模擬地震動(dòng)的早期發(fā)展階段，僅考慮了真實(shí)地震動(dòng)的強(qiáng)度非平穩(wěn)特性，即地震動(dòng)時(shí)程記錄從初始階段上升為強(qiáng)震平穩(wěn)極端，再由平穩(wěn)階段逐步衰減到0 的過(guò)程。隨著相關(guān)學(xué)科的發(fā)展，地震動(dòng)頻率非平穩(wěn)性也得到廣泛關(guān)注。地震動(dòng)模擬模型出現(xiàn)考慮不同特性的階段。

1.1 強(qiáng)度非平穩(wěn)模型

Housner[2]把地震動(dòng)描述成大小一定在時(shí)間上隨機(jī)分布的脈沖的疊加，即

1.2 頻率非平穩(wěn)模型

真實(shí)地震記錄在頻率上也存在非平穩(wěn)特性，Kanai 最早注意到將白噪聲通過(guò)線性濾波器可表征地震動(dòng)的頻率分量的非平穩(wěn)性。在此基礎(chǔ)上Kanai 提出了現(xiàn)被廣泛使用的金井清譜。

1.3 強(qiáng)度和頻率非平穩(wěn)模型

隨著人們對(duì)于地震動(dòng)的認(rèn)識(shí)不斷加強(qiáng)，模擬的地震動(dòng)也都要求同時(shí)包含強(qiáng)度和頻率非平穩(wěn)特性，這也使得人工合成的地震動(dòng)記錄與真實(shí)記錄更為相似。傅里葉變換、小波變換和小波包變換等頻譜表示方法可合成同時(shí)具有強(qiáng)度和頻率非平穩(wěn)性的地震動(dòng)記錄。對(duì)于傅里葉譜和功率譜可通過(guò)三角級(jí)數(shù)法合成地震動(dòng)記錄，計(jì)算公式如下所示：

圖1 顯示了利用三角級(jí)數(shù)法合成的地震動(dòng)記錄，可以看出合成的地震動(dòng)記錄與真實(shí)地震動(dòng)差距很小。分析上述公式可知，三角級(jí)數(shù)法中只有三個(gè)參量：強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)、幅值譜和相位譜。故若能計(jì)算出與實(shí)際地震動(dòng)記錄相似的三個(gè)參量即可模擬出同時(shí)具有強(qiáng)度和頻率非平穩(wěn)性的地震動(dòng)記錄。

圖1 實(shí)測(cè)地震動(dòng)和模擬地震動(dòng)比較

此外，小波變換和小波包變換為新興的頻譜表示方法，相比于傅里葉變換這種只能展示出單一的頻域信息，小波變換和小波包變換能表示頻率隨時(shí)間變化的特征，小波變換和小波包變換分別如公式(9)和(10)所示。公式(11)為小波包系數(shù)重構(gòu)過(guò)程，相比于三角級(jí)數(shù)法把地震動(dòng)看作是非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，計(jì)算得到的僅為近似值，而通過(guò)小波系數(shù)或小波包系數(shù)重構(gòu)得到的記錄完全等價(jià)于實(shí)際強(qiáng)震動(dòng)記錄。圖2 顯示了宮城縣地震中IWTH04 臺(tái)站垂直向強(qiáng)震記錄的小波包系數(shù)。Spanos[5]利用小波變換并選取諧小波作為母小波，得出地震動(dòng)時(shí)變譜。孔凡[6]通過(guò)對(duì)地震動(dòng)進(jìn)行小波變換，從而估計(jì)出非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度。Yamamoto[7]通過(guò)13 個(gè)參數(shù)表征了小波包系數(shù)的分布，再對(duì)擬合后的小波包系數(shù)重構(gòu)生成模擬地震動(dòng)記錄。結(jié)合以往學(xué)者們的研究可以得出：小波變換用于估計(jì)地震記錄的時(shí)變功率譜密度，而小波包變換則直接用于模擬地震動(dòng)。然而，小波變換或小波包變換產(chǎn)生的小波包系數(shù)難以匹配合適的模型對(duì)其擬合。所以在實(shí)際工程中多用三角級(jí)數(shù)法合成地震動(dòng)。

圖2 實(shí)測(cè)地震動(dòng)和模擬地震動(dòng)比較

2 相位差譜概述

在三角級(jí)數(shù)法中，相位譜表現(xiàn)了地震動(dòng)在傳播過(guò)程中頻率分量的變化特點(diǎn)。以往只是簡(jiǎn)單地把相位譜看作是[-π ,π]范圍內(nèi)的均勻分布。圖3(a)為兩個(gè)不同臺(tái)站記錄的相位譜比較，從圖中可以看出兩個(gè)地震記錄的相位譜有很大差距且均不符合均勻分布。相位差譜為相位譜的一階差分，日本學(xué)者Ohsaki[8]最早注意到相位差譜的分布特點(diǎn)。圖3(b)顯示了兩個(gè)示例地震動(dòng)記錄的相位差譜的分布，相位差譜比相位譜存在明顯的分布特征。依據(jù)相位差譜的分布特點(diǎn)，Thráinsson 按照幅值譜的大小將相位差譜分為三組，發(fā)現(xiàn)每組相位差譜的部分均符合貝塔分布。趙新風(fēng)利用平滑后得到的脈動(dòng)相位差的分布，發(fā)現(xiàn)其滿足對(duì)數(shù)正態(tài)分布，由此可隨機(jī)生成相位差譜。把相位差譜看作是某一概率分布，雖然符合自身的分布特點(diǎn)，但生成的時(shí)候具有很大的隨機(jī)性，因此對(duì)于相位差譜隨頻率分布的特點(diǎn)仍需進(jìn)一步研究。

圖3 相位譜和相位差譜示例說(shuō)明

3 結(jié)論

本文對(duì)基于工程理論的地震動(dòng)模擬方法進(jìn)行研究，介紹目前應(yīng)用較多的三角級(jí)數(shù)法、小波變換及小波包變換的優(yōu)缺點(diǎn)并結(jié)合實(shí)際地震動(dòng)時(shí)程的計(jì)算結(jié)果，說(shuō)明小波變換和小波包雖在頻率特性的表現(xiàn)上優(yōu)于三角級(jí)數(shù)法，但因其參數(shù)復(fù)雜，不易擬合，故應(yīng)用范圍較小。另外，對(duì)相位譜和相位差譜的研究，表明相位譜簡(jiǎn)單地看作均勻分布是不符合實(shí)際的，而相位差譜的分布規(guī)律較為明顯。雖然現(xiàn)階段模擬方法已能完全表征地震動(dòng)的非平穩(wěn)特性，但在時(shí)程幅值的準(zhǔn)確性上有待加強(qiáng)。因此，小波變換和小波包變換模型的發(fā)展以及與地震學(xué)結(jié)合的方法都是未來(lái)模擬地震動(dòng)的主要發(fā)展方向。