高考試題啟發(fā)下的命題歷程

施利強, 姚慧鴻

(浙江工業(yè)大學(xué)附屬德清高級中學(xué)，浙江 德清 313200)

2019年的數(shù)學(xué)高考卷中的解析幾何試題是一道經(jīng)典試題，可供一線教師研究并為教學(xué)所用.本題的難點在于面積比的等價轉(zhuǎn)化，巧妙的是試題條件的設(shè)置，筆者進一步挖掘該題條件設(shè)置的背景，與同行分享.

1 真題再現(xiàn)

題目如圖1，過焦點F(1,0)的直線與拋物線y2=2px(其中p>0)交于點A,B，點C在拋物線上，△ABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點Q(點Q在點F的右側(cè))．

圖1

1)求拋物線的方程及準(zhǔn)線方程；

1.1 背景探究

題干中的條件“點Q在點F的右側(cè)”究竟對本題第2)小題的結(jié)果有何影響？改變該條件，結(jié)果會有怎么樣的變化？筆者帶著這些疑問進行了如下探究：

分析易知拋物線的方程為y2=4x.設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2),C(x3,y3),Q(xQ,yQ),由焦點弦性質(zhì)可得y1y2=-4,從而

于是

當(dāng)y=0時,

由對稱性不妨假設(shè)y1>0，即點A在x軸上方，此時

圖2

即

此時

以上是利用面積比轉(zhuǎn)化得到的分析.結(jié)合圖2和以上分析可知：條件“點Q在點F的右側(cè)”的目的是限定目標(biāo)函數(shù)自變量的取值范圍，也為最值的取得提供了條件.至于此，筆者不禁反思：改變題給的條件對結(jié)果會有多大的影響？帶著疑問，筆者分以下3種情況再次對本題進行了探究.

圖3 圖4 圖5

圖6 圖7 圖8

1.2 加強命題

當(dāng)筆者探究到該題條件設(shè)置的意圖時，結(jié)合圖2目標(biāo)函數(shù)的圖像，又進一步將條件“點Q在點F的右側(cè)”進行了改編與加強.

分析即滿足y1+y2>0，由假設(shè)y1>0，得

分析即滿足2y1+y2<0，從而

2 試題編制

作為一線教師，不僅要會解高考試題，還要會研究高考試題.在充分挖掘試題本身的研究價值和教學(xué)價值之余，我們還要會改編或者原創(chuàng)一些好題，從而達到訓(xùn)練學(xué)生思維能力的目的.筆者在該題的啟發(fā)下，編制了一道圓錐曲線原創(chuàng)題，現(xiàn)將其編制歷程呈現(xiàn).

2.1 初步探索，模型呈現(xiàn)

模型如圖9，已知拋物線C:y2=4x，焦點F(1,0)，過拋物線上一點P作斜率為k,-k(其中k>0)的兩條直線l1,l2，分別與拋物線交于異于點P的點A,B，并記△ABP的垂心為H.

圖9

分析設(shè)P(4t2,4t)，A(x1,y1),B(x2,y2),則lPA:y-4t=k(x-4t2).與拋物線方程聯(lián)立,可得

從而

于是

解得

同理可得

由于△ABP的垂心為H，從而

兩式相加，得

兩式相減，得

即

2.2 逐步打磨，初稿呈現(xiàn)

所以

kPH=2t,

從而

lPH:y-4t=2t(x-4t2),

聯(lián)立解得

由于點P異于原點，因此t2>0.

圖10

2.3 再次梳理，修改初稿

圖11

1)求拋物線方程.

分析1)由題意可得

從而拋物線的方程為y2=4x.

評注初稿2第2)小題的設(shè)問方式雖然降低了試題的難度，但是該設(shè)問方式將點P取原點的特殊情況與一般情況進行了統(tǒng)一，也為目標(biāo)式能取到最小值提供了條件.直線lCD給出的目的是限定點P的活動范圍，也將點P,A重合的情況排除.但是初稿2呈現(xiàn)的圖像不簡練，因此筆者還不是很滿意.實際上，限定點P的活動范圍的方式有很多.在高考試題的進一步啟發(fā)下，筆者對試題又進行了修改，并得到了試題定稿.

2.4 精益求精，定稿成型

定稿如圖12，已知拋物線C:y2=2px，焦點F(1,0).點P為拋物線上一點，過點P作斜率為k,-k(其中k>0)的兩條直線l1,l2，分別與拋物線交于異于點P的點A,B，直線AB交x軸于點Q(點Q不落在點F的右側(cè))，并記△ABP的垂心為H.

圖12

1)求拋物線方程.

分析1)拋物線方程為y2=4x.

令y=0，解得x=-4t2+2.

當(dāng)t=0時，xQ=2也符合該式，從而lAB與x軸的交點坐標(biāo)為(-4t2+2,0).

評注在高考試題的啟發(fā)下，筆者以“點Q不落在點F的右側(cè)”作為引出點P活動范圍的限制條件.試題簡練的題干以及最終答案的呈現(xiàn)讓筆者較為滿意，因此，筆者將其放入了2021年名校聯(lián)盟研究卷的開學(xué)卷中，也得到了省內(nèi)同行的肯定.

3 變式探究

一道好題的價值是無窮的，需要我們自己去挖掘.筆者在該題的基礎(chǔ)上又進一步探究，得到了如下的變式試題.

變式1如圖13，已知拋物線C:y2=2px，焦點F(1,0).點P為拋物線上一點，且滿足p≤|FP|≤2p.過點P作斜率為k,-k(其中k>0)的兩條直線l1,l2，分別與拋物線交于異于點P的點A,B，并記△ABP的垂心為H.

圖13

1)求拋物線方程.

分析1)拋物線方程為y2=4x.

2)設(shè)P(4t2,4t)，由于p≤|FP|≤2p，從而

由題意點H始終落在拋物線y2=x+3上，代入化簡，得

H(4t2-3,-2t)，A(4t2-4t+1,2-4t),

lPH:y-4t=2t(x-4t2).

記直線lPH與直線lAB的交點為T，聯(lián)立解得

從而

圖14

4 寫在最后

學(xué)生解題思維的培養(yǎng)是長期訓(xùn)練而成的，這就需要教師在平時的課堂中多運用啟發(fā)式教學(xué)，而其前提是教師自身能力的提高.我們要不斷提高自己的解題能力，能啟發(fā)式地讓學(xué)生接受并能靈活運用.此外，我們也要嘗試改編經(jīng)典試題甚至原創(chuàng)好題，能編制出一道同行都認(rèn)可的好題是很有成就感的事，也是對專業(yè)水平的肯定.

高考試題對教學(xué)有較好的參考價值和指導(dǎo)意義.作為年輕的一線教師，我們要充分挖掘高考真題的價值.在探究本文高考真題并在該題啟發(fā)下編制模擬試題的過程中，筆者也深刻意識到：只有不斷地學(xué)習(xí)和積累，才能對試題有更加深入的見解.尤其在新一輪的教改過程中，年輕教師更應(yīng)該加強學(xué)習(xí)，提高自身的專業(yè)素養(yǎng)，為以后編制出更多讓自己也讓同行肯定的好題打下堅實的基礎(chǔ).