落實單元教學(xué)，開展定向有序的數(shù)學(xué)探究

劉炳辰

摘 ?要：深入體會教材的編寫意圖，落實好單元教學(xué)，真正以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為目標(biāo)開展教學(xué)，才能充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的育人價值. 在單元教學(xué)背景下，針對“函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象”這節(jié)課，緊扣函數(shù)模型的實際意義，開展定向、有序、開放的數(shù)學(xué)探究活動. 詳細記錄教學(xué)設(shè)計與實踐的具體情況，并結(jié)合課堂實例進行教學(xué)反思.

關(guān)鍵詞：函數(shù)圖象;筒車模型;數(shù)學(xué)建模;單元教學(xué)

2021年12月底，筆者有幸參加了一次課例研討活動. 活動的主要內(nèi)容是人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》必修第一冊（以下統(tǒng)稱“教材”）“5.6 函數(shù)[y=][Asinωx+φ]”課例研討，活動形式是同課異構(gòu). 筆者就“參數(shù)[A，ω，φ]的變化對函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象的影響”進行了課例展示. 仔細研讀教材、教師教學(xué)用書、配套課例資源及章建躍主編的教科書解讀等專業(yè)資料是備課中的重要任務(wù). 在基本理解單元立意的基礎(chǔ)上，教學(xué)設(shè)計初具雛形. 之后，山西省教育科學(xué)研究院薛紅霞老師細致入微地指導(dǎo)筆者對教學(xué)設(shè)計進行了反復(fù)的實踐與打磨. 在團隊的合作下，這份教學(xué)設(shè)計于精研教材理念后成型，于精摳教學(xué)細節(jié)后定型，最終的教學(xué)效果得到了章建躍主編的認(rèn)可. 在備課、磨課、上課、評課的過程中，筆者在實踐中摸索，切實感受到了教材在“用數(shù)學(xué)的方式育人”方面的先進性，借以此文分享本節(jié)課教學(xué)設(shè)計與實踐的具體情況與教學(xué)心得.

一、單元-課時教學(xué)設(shè)計

1. 內(nèi)容和內(nèi)容解析

（1）內(nèi)容.

現(xiàn)實世界中的許多運動、變化都有著循環(huán)往復(fù)、周而復(fù)始的規(guī)律，這種變化規(guī)律稱為周期性，周期性現(xiàn)象可以用三角函數(shù)進行刻畫. 勻速圓周運動是一種常見的周期性變化運動，本單元的主要內(nèi)容為建立一般勻速圓周運動的函數(shù)模型[y=Asinωx+φ]，并研究其圖象與性質(zhì).

結(jié)合實際學(xué)情，本單元可以劃分為以下三個課時.

第1課時：充分經(jīng)歷對筒車運動的數(shù)學(xué)建模過程，建立一般勻速圓周運動的函數(shù)模型[y=Asinωx+φ].

第2課時：利用筒車模型設(shè)計實驗，分別探究參數(shù)[A，ω，φ]的變化對函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象的影響.

第3課時：分別探究用圖象變換法和“五點法”作圖得到函數(shù)[y=Asinωx+φ]的簡圖的方法和步驟;函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象及性質(zhì)的簡單應(yīng)用.

（2）內(nèi)容解析.

① 內(nèi)容的本質(zhì).

建立一般勻速圓周運動的函數(shù)模型[y=Asinωx+φ]，并研究其圖象、性質(zhì)和應(yīng)用.

② 蘊含的數(shù)學(xué)思想和方法.

運用數(shù)學(xué)抽象從實際問題中建立函數(shù)模型;探究參數(shù)[A，ω，φ]的變化對函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象的影響過程中所運用的控制變量、從特殊到一般和數(shù)形結(jié)合的思想方法.

③ 知識的上下位關(guān)系.

學(xué)生經(jīng)歷了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的研究，知道研究一類新函數(shù)的一般路徑;基于單位圓對正弦函數(shù)進行定義，為利用函數(shù)[y=Asinωx+φ]刻畫一般的勻速圓周運動奠定了知識基礎(chǔ);從筒車模型中抽象出函數(shù)[y=Asinωx+φ]，明確參數(shù)[A，ω，φ]的實際意義，為探究參數(shù)[A，ω，φ]的變化對函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象的影響奠定了基礎(chǔ);函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象的探究為函數(shù)[y=Asinωx+φ]的簡單應(yīng)用及三角函數(shù)的應(yīng)用（教材第5.7節(jié)）奠定了基礎(chǔ).

④ 育人價值.

積累數(shù)學(xué)建?；顒咏?jīng)驗. 筒車運動是代表性的勻速圓周運動，建立函數(shù)模型[y=Asinωx+φ]對筒車運動進行刻畫，有助于學(xué)生積累數(shù)學(xué)建?；顒咏?jīng)驗.

體會數(shù)學(xué)研究方法. 學(xué)生在探究參數(shù)[A，ω，φ]的變化對函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象的影響時，可以充分體會控制變量、從特殊到一般和數(shù)形結(jié)合的思想方法.

感受數(shù)學(xué)的實際應(yīng)用. 由實際問題得到函數(shù)模型[y=Asinωx+φ]、利用函數(shù)模型[y=Asinωx+φ]解決實際問題，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)與實際生活的密切聯(lián)系.

發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 由筒車運動建立函數(shù)模型[y=Asinωx+φ]，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng);探究參數(shù)[A，ω，φ]的變化對函數(shù)模型[y=Asinωx+φ]的圖象的影響，發(fā)展學(xué)生的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng);利用函數(shù)模型[y=Asinωx+φ]解決實際問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

（3）教學(xué)重點.

利用函數(shù)模型[y=Asinωx+φ]刻畫一般的勻速圓周運動;參數(shù)[A，ω，φ]的變化對函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象及性質(zhì)的影響;從正弦曲線到函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象的變換過程.

2. 目標(biāo)和目標(biāo)解析

（1）單元目標(biāo).

① 通過建立一般勻速圓周運動的函數(shù)模型[y=][Asinωx+φ]積累數(shù)學(xué)建?；顒咏?jīng)驗，感受三角函數(shù)與現(xiàn)實世界的密切聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

② 通過探究參數(shù)[A，ω，φ]的變化對函數(shù)[y=][Asinωx+φ]的圖象的影響、繪制函數(shù)[y=Asinωx+φ]的簡圖，理解函數(shù)解析式與函數(shù)圖象之間的內(nèi)在聯(lián)系，體會控制變量、從特殊到一般和數(shù)形結(jié)合的思想方法，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理和直觀想象素養(yǎng).

③ 通過應(yīng)用函數(shù)[y=Asinωx+φ]解決簡單的實際問題，體會數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

（2）目標(biāo)解析.

達成上述目標(biāo)的標(biāo)志如下.

① 能借助三角函數(shù)的定義，對筒車運動規(guī)律進行數(shù)學(xué)建模，獲得函數(shù)模型[y=Asinωx+φ]，理解變量[x，y]和參數(shù)[A，ω，φ]的實際意義，說明函數(shù)[y=][Asinωx+φ]與生活中的勻速圓周運動之間的聯(lián)系.

② 能通過類比，建立參數(shù)[A，ω，φ]的變化對函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象的影響的探究實驗的設(shè)計思路、研究方法，解釋參數(shù)[A，ω，φ]對圖象的影響.

③ 能總結(jié)由正弦曲線經(jīng)平移、伸縮變換得到函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象的步驟;能利用“五點法”作圖畫出函數(shù)[y=Asinωx+φ]的簡圖.

④ 能根據(jù)函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象說明其性質(zhì)，并解決一些簡單的具有明確勻速圓周運動特征的實際問題.

3. 教學(xué)問題診斷分析

（1）學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ).

① 學(xué)生理解正弦函數(shù)的定義、知道三角函數(shù)具有周期性，從而更容易想到借助三角函數(shù)對“周而復(fù)始”的筒車運動的規(guī)律進行刻畫，并利用正弦函數(shù)建立水筒高度與其轉(zhuǎn)過的角的弧度之間的聯(lián)系，有助于突破建模時的難點.

② 學(xué)生在研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)時已經(jīng)明確了研究一類新函數(shù)的一般路徑，有助于有序地對函數(shù)[y=][Asinωx+φ]展開研究.

③ 初中時，學(xué)生經(jīng)歷過參數(shù)[a，b，c]對函數(shù)[y=][ax2+bx+c]的圖象及性質(zhì)的影響的探究活動，有一定的采用控制變量、從特殊到一般進行研究的方法意識，有利于明確探究思路.

（2）學(xué)生可能遇到的難點及破解辦法.

① 筒車運動的數(shù)學(xué)建模較為復(fù)雜，綜合性強，且涉及幾何量之間的對應(yīng)關(guān)系，而非較為直接的運算關(guān)系，學(xué)生缺乏研究這類問題的經(jīng)驗. 教學(xué)中，可以借助信息技術(shù)直觀呈現(xiàn)筒車運動的情況，引導(dǎo)學(xué)生仔細分析其中的變量和函數(shù)關(guān)系，從而突破這一難點.

② 在研究參數(shù)[A，ω，φ]的變化對函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象的影響時，由于三個參數(shù)共同影響函數(shù)圖象，學(xué)生可能會感到無從下手. 教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生回顧二次函數(shù)圖象的研究方法，了解控制變量法和從特殊到一般的思想方法，設(shè)計探究方案.

③ 在探究從正弦曲線經(jīng)圖象變換得到函數(shù)[y=][Asinωx+φ]的圖象的方法時，學(xué)生需要綜合考慮三種變換，不同的變換順序會導(dǎo)致變換方法的不同，教師在教學(xué)中應(yīng)該注意引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合筒車模型理解圖象變換的本質(zhì).

（3）教學(xué)難點.

數(shù)學(xué)建模的過程與方法;函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象變換與其解析式變化之間的內(nèi)在關(guān)系.

4. 教學(xué)支持條件分析

制作模擬筒車運動的計算機程序，直觀展示、對比不同參數(shù)對應(yīng)勻速圓周運動的實際情況，可以降低數(shù)學(xué)抽象的難度. 利用GeoGebra軟件分別制作參數(shù)[A，ω，φ]的變化對函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象影響的動態(tài)課件，任意改變相應(yīng)參數(shù)并繪制函數(shù)圖象，不僅可以將局部的圖象更加精確地拓展到整體，還可以幫助學(xué)生直觀感受函數(shù)解析式與圖象之間的內(nèi)在聯(lián)系，理解參數(shù)對圖象的影響.

5. 課時教學(xué)設(shè)計

第2課時：參數(shù)[A，ω，φ]的變化對函數(shù)[y=][Asinωx+φ]的圖象的影響.

（1）課時教學(xué)內(nèi)容.

利用筒車模型設(shè)計實驗，分別探究參數(shù)[A，ω，φ]的變化對函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象的影響.

（2）課時教學(xué)目標(biāo).

通過探究參數(shù)[A，ω，φ]的變化對函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象的影響，能夠進一步理解參數(shù)[A，ω，φ]在圓周運動中的實際意義，明確參數(shù)[A，ω，φ]的變化對函數(shù)圖象及性質(zhì)的影響、函數(shù)解析式與圖象之間的內(nèi)在聯(lián)系，體會控制變量、從特殊到一般和數(shù)形結(jié)合的思想方法，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和直觀想象素養(yǎng).

（3）教學(xué)重點與教學(xué)難點.

教學(xué)重點：參數(shù)[A，ω，φ]的變化對函數(shù)[y=][Asinωx+φ]的圖象的影響.

教學(xué)難點：函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象變換與解析式變化之間的內(nèi)在關(guān)系.

（4）教學(xué)過程設(shè)計.

環(huán)節(jié)1：創(chuàng)設(shè)情境，確定方法.

師：上節(jié)課中，我們從筒車模型中抽象出了函數(shù)[y=][Asinωx+φ]，接下來應(yīng)該進一步研究其圖象與性質(zhì). 函數(shù)[y=Asinωx+φ]受到[A，ω，φ]三個參數(shù)的影響，該如何開展研究呢？首先，請同學(xué)們回顧二次函數(shù)[y=ax2+bx+c]（[a≠0]）的圖象的探究過程：控制[b，c]不變，只改變[a]，可以發(fā)現(xiàn)[a]影響開口方向和開口大小，這里用到了控制變量的方法. 通過研究幾個特殊的[a]值，可以歸納總結(jié)出參數(shù)[a]對二次函數(shù)圖象的影響，這里用到了從特殊到一般的思想. 接下來，類比二次函數(shù)的研究過程開展本節(jié)課的探究. 思考并回答下列問題.

問題1：（1）函數(shù)[y=Asinωx+φ]中變量[x，y]和參數(shù)[A，ω，φ]的實際意義分別是什么？

（2）函數(shù)[y=sinx]與函數(shù)[y=Asinωx+φ]有什么關(guān)系？

預(yù)設(shè)的師生活動：教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧初中時研究二次函數(shù)[y=ax2+bx+c]（[a≠0]）的過程，總結(jié)其中的思想方法，明確參數(shù)[A，ω，φ]的變化對函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象的影響的探究思路：從函數(shù)[y=][sinx]出發(fā)，控制變量，每次探究一個參數(shù)，通過研究特殊值歸納總結(jié)該參數(shù)對函數(shù)圖象的影響. 之后，教師引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)函數(shù)[y=Asinωx+φ]中自變量、因變量與三個關(guān)鍵參數(shù)的實際意義. 此處可以著重強調(diào)自變量[x]與因變量[y]的物理意義和關(guān)系，以幫助學(xué)生明確：要想知道平面直角坐標(biāo)系中哪個點在函數(shù)圖象上，只要把握好動點做勻速圓周運動的時間（即為[x]），以及此時動點在圓上的位置對應(yīng)的高度，即縱坐標(biāo)（即為[y]）.

追問：我們可以按照怎樣的順序?qū)?shù)[A，ω，φ]進行研究？

預(yù)設(shè)的師生活動：學(xué)生發(fā)表自己的觀點后，教師引導(dǎo)學(xué)生確定按[φ，ω，A]的順序進行探究，即依次研究函數(shù)[y=sinx+φ]、函數(shù)[y=sinωx+φ]和函數(shù)[y=][Asinωx+φ]的圖象.

實際的師生活動：試講過程中學(xué)生給出了各種研究順序，教師在肯定其可行性的基礎(chǔ)上，選擇了與教材中一致的研究順序. 但是教師感覺到本課時的容量略大，為節(jié)約時間，正式上課時省略了追問，直接由教師規(guī)定參數(shù)的研究順序，導(dǎo)致學(xué)生沒能進行充分的思考，沒能完整地參與數(shù)學(xué)探究方案設(shè)計的全過程.

【設(shè)計意圖】類比函數(shù)[y=ax2+bx+c]的圖象的研究方法，確定研究函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象的方法和思路. 明確變量與參數(shù)的實際意義，為利用筒車模型對函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象進行探究打好基礎(chǔ).

環(huán)節(jié)2：教師主導(dǎo)，師生共研.

探究參數(shù)[φ]對函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象的影響.

問題2：類比初中時研究二次函數(shù)的方法，我們遵循從特殊到一般的思想，先取特殊值[φ=π6，] 再類比總結(jié)任意[φ]值對函數(shù)圖象的影響. 按照這樣的思路，函數(shù)[y=sinx+π6]與函數(shù)[y=sinx]所描述的動點[M]所做的勻速圓周運動分別是什么？主要區(qū)別是什么？結(jié)合筒車模型說明.

預(yù)設(shè)的師生活動：學(xué)生明確函數(shù)[y=sinx+π6]與函數(shù)[y=sinx]所描述的勻速圓周運動的區(qū)別主要是初始位置不同.

追問1：如圖1，任取單位圓上一點[P]. 若動點[M]（記為點[M1]）以[Q0]為起點運動，經(jīng)過[x]s后到達點[P]，則動點[M1]轉(zhuǎn)過的角的弧度是多少？[y]與點[P]的關(guān)系是什么？

追問2：如圖1，若動點[M]（記為點[M2]）以[Q1]為起點運動，到達同一個點[P]時，其所用的時間是縮短了還是延長了？從物理角度如何進行計算？

預(yù)設(shè)的師生活動：追問1和追問2分別對應(yīng)函數(shù)[y=][sinx]和函數(shù)[y=sinx+π6]所描述的勻速圓周運動. 在學(xué)生回答追問1時，教師引導(dǎo)學(xué)生詳細分析計算過程：動點[M]運動的角速度[ω=1]，時間為[x]s，因此轉(zhuǎn)過的角的弧度為[1 · x=x]. 在學(xué)生回答追問2時，教師可以展示如圖2所示的筒車運動模擬程序，同時類比“兩名學(xué)生在不同的起跑線以相同的速度賽跑，到達同一個終點時誰用時更短”的問題幫助學(xué)生更快、更直觀地進行分析. 在學(xué)生回答“從物理角度如何進行計算”時，教師引導(dǎo)學(xué)生明確這是一個路程問題，動點[M1]所轉(zhuǎn)過的角的弧度為[x-π6，] 角速度為[ω=1，] 因此所用時間為[x-π6]s.

實際的師生活動：試講時發(fā)現(xiàn)學(xué)生很容易理解點[M1]和點[M2]運動的差異，教師口述了“兩名學(xué)生從不同起點開始賽跑”的例子，這已經(jīng)足夠幫助學(xué)生進行形象理解. 實際上，學(xué)生真正的難點是用抽象的數(shù)學(xué)語言進行表達. 因此，筒車運動模擬程序并沒有真正“抓住學(xué)生的痛點”，故實際授課時刪去了圖2中模擬程序的展示.

追問3：根據(jù)上述實驗過程分析. 若點[x，y]在函數(shù)[y=sinx]的圖象上，那么哪個點一定會在函數(shù)[y=][sinx+π6]的圖象上？寫出點的坐標(biāo)，并說出這兩個點的位置關(guān)系.

追問4：根據(jù)上一個問題的結(jié)果，你能說出函數(shù)[y=][sinx+π6]的圖象與函數(shù)[y=sinx]的圖象有怎樣的聯(lián)系嗎？說明原因.

預(yù)設(shè)的師生活動：學(xué)生得出如下結(jié)論. 若點[x，y]在函數(shù)[y=sinx]的圖象上，那么點[x-π6，y]一定在函數(shù)[y=sinx+π6]的圖象上，且點[x-π6，y]是由點[x，y]向左平移[π6]個長度單位得到的. 因此，將函數(shù)[y=sinx]的圖象向左平移[π6]個長度單位，即可得到函數(shù)[y=][sinx+π6]的圖象.

在學(xué)生回答追問4時，教師應(yīng)該著重引導(dǎo)學(xué)生分析：函數(shù)圖象是由一個個點組成的，因而每個點的變化決定了函數(shù)圖象整體的變化.

實際的師生活動：初次試講時，追問3中沒有強調(diào)“位置關(guān)系”，只要求學(xué)生說明兩點的關(guān)系，因此學(xué)生只從數(shù)值層面上回答出“[x-π6，y]與[x，y]相比，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)減小了[π6]”. 這一情況說明了準(zhǔn)確提問對于提高課堂效率的重要作用.

追問5：選擇一個[φ]的其他取值進行實驗，函數(shù)圖象會有怎樣的變化？結(jié)合筒車模型解釋.

追問6：根據(jù)上述實驗結(jié)果，你能歸納出[φ]的取值對函數(shù)[y=sinx+φ]的圖象的影響的一般性結(jié)論嗎？

預(yù)設(shè)的師生活動：學(xué)生自由選取[φ]的值，按照追問1 ～ 追問4的思路進行分析，根據(jù)從特殊到一般的思想最終得到結(jié)論.

在學(xué)生完成實驗探究并得到結(jié)論后，教師利用GeoGebra軟件展示動態(tài)課件，進一步展示函數(shù)圖象的變化情況，加深學(xué)生的直觀理解.

實際的師生活動：學(xué)生在回答追問6時，很容易脫離筒車模型，僅從抽象的代數(shù)層面進行解釋. 但是經(jīng)過教師的引導(dǎo)，學(xué)生最終可以結(jié)合筒車模型給出具體完整的分析.

【設(shè)計意圖】本環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生有序地參與數(shù)學(xué)實驗，充分利用筒車模型從特殊到一般地探索參數(shù)[φ]對函數(shù)圖象的影響，讓學(xué)生積累數(shù)學(xué)探究活動經(jīng)驗，發(fā)展學(xué)生的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).

問題鏈的具體設(shè)計意圖如下. 首先，厘清關(guān)系. 問題2是對研究對象的梳理，幫助學(xué)生厘清函數(shù)圖象上的點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的含義，以及動點[M]的運動方式的不同，為后續(xù)研究奠定基礎(chǔ). 其次，進行實驗. 在追問1 ～ 追問4中，教師引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)學(xué)實驗，讓學(xué)生真實體會動點[M]由不同的起始位置開始運動，會導(dǎo)致函數(shù)[y=sinx]與函數(shù)[y=sinx+π6]出現(xiàn)怎樣的差異，發(fā)展學(xué)生的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng). 最后，遷移歸納. 追問5和追問6旨在引導(dǎo)學(xué)生完成從特殊到一般的轉(zhuǎn)變，學(xué)生根據(jù)[φ]取特殊值[π6]時的研究經(jīng)驗，自行歸納出參數(shù)[φ]的值對函數(shù)圖象的影響，充分體會從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.

環(huán)節(jié)3：類比方法，自主設(shè)計.

探究參數(shù)[ω ω>0]對函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象的影響.

問題3：你準(zhǔn)備如何探究參數(shù)[ω ω>0]對函數(shù)[y=][Asinωx+φ]的圖象及性質(zhì)的影響呢？試設(shè)計方案，猜想結(jié)果. 先獨立思考，再小組討論.

預(yù)設(shè)的師生活動：學(xué)生類比參數(shù)[φ]對函數(shù)[y=][sinx+φ]的圖象的影響的研究過程，按照從特殊到一般的思想方法，獨立思考之后小組討論，并擬定研究參數(shù)[ω]的變化對函數(shù)[y=sinωx+φ]的圖象影響的方案. 教師引導(dǎo)學(xué)生確定如下探究方案：① 為控制變量，應(yīng)固定[φ]的值（不妨設(shè)[φ=π6]）. ② 根據(jù)從特殊到一般的思想方法，可以先研究[ω]取特殊值2時圖象的變化，即根據(jù)動點[M]運動方式的不同，分析函數(shù)[y=][sinx+π6]與函數(shù)[y=sin2x+π6]的區(qū)別與聯(lián)系. ③ 選取其他[ω]的值進行實驗，歸納參數(shù)[ω ω>0]對函數(shù)[y=sinωx+φ]的圖象的影響.

追問1：函數(shù)[y=sin2x+π6]描述的是動點[M]做怎樣的勻速圓周運動？與函數(shù)[y=sinx+π6]所描述的動點[M]做勻速圓周運動的區(qū)別是什么？

追問2：如圖1，任取單位圓上一點[P]. 若動點[M]以[Q1]為起點，當(dāng)角速度[ω=1]時，動點[M]經(jīng)過[x]s后到達點[P]，那么當(dāng)角速度[ω=2]時，動點[M]經(jīng)過多少時間后可以到達點[P]？

追問3：根據(jù)上述研究說明，若點[x，y]在函數(shù)[y=][sinx+π6]的圖象上，那么哪個點一定會在函數(shù)[y=][sin2x+π6]的圖象上？這兩個點的位置關(guān)系如何？據(jù)此可以說明，函數(shù)[y=sin2x+π6]的圖象與函數(shù)[y=][sinx+π6]的圖象有怎樣的聯(lián)系？

預(yù)設(shè)的師生活動：學(xué)生自主完成，可以找到關(guān)系，但是不能準(zhǔn)確地表達. 教師予以幫助，得到：函數(shù)[y=sinx+π6]與函數(shù)[y=sin2x+π6]所描述的勻速圓周運動的半徑與起點相同，而角速度不同，前者[ω=1]，后者[ω=2]. 若當(dāng)[ω=1]時，動點[M]經(jīng)過[x]s后到達點[P]，則當(dāng)[ω=2]時，由于角速度變?yōu)樵瓉淼?倍，所以動點[M]轉(zhuǎn)過相同的角時，所用的時間會變?yōu)樵瓉淼腫12]，即[x2]s. 因此，若點[x，y]在函數(shù)[y=sinx+π6]的圖象上，那么點[x2，y]一定會在函數(shù)[y=sin2x+π6]的圖象上.

點[x，y]的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的[12]，即可得到點[x2，y]，說明將函數(shù)[y=sinx+π6]的圖象上所有點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的[12]，即可得到函數(shù)[y=sin2x+π6]的圖象.

當(dāng)學(xué)生的回答偏離筒車模型時，教師應(yīng)該及時進行引導(dǎo).

實際的師生活動：試講時發(fā)現(xiàn)，學(xué)生難以準(zhǔn)確概括點[x，y]與點[x2，y]之間的位置關(guān)系，出現(xiàn)了“向左移動”等錯誤表述，說明學(xué)生沒能真正理解伸長與縮短的含義. 為了進一步加深學(xué)生的直觀理解，筆者在實際授課中增加了“哪些點的坐標(biāo)不發(fā)生改變”的追問，幫助學(xué)生明確[y]軸上點的位置不會發(fā)生變化，而其他點會更加靠近[y]軸這一事實，從而使學(xué)生能以[y]軸為參照描述這種伸縮變換.

追問4：選取其他的[ω]值進行實驗，并結(jié)合筒車模型分析函數(shù)圖象的變化. 根據(jù)上述實驗結(jié)果，你能歸納出參數(shù)[ω ω>0]對函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象影響的一般性結(jié)論嗎？

預(yù)設(shè)的師生活動：學(xué)生自由選取其他的[ω]值，按照追問1 ～ 追問3的思路進行分析，最終得到結(jié)論.

在完成實驗探究并得到結(jié)論后，教師利用信息技術(shù)手段對圖象的變化情況進行進一步展示，加深學(xué)生的直觀理解.

實際的師生活動：學(xué)生歸納一般結(jié)論時，在沒有任何引導(dǎo)的情況下，先描述了函數(shù)周期的變化，這是出乎意料的情況，也側(cè)面反映出教材提到周期這一函數(shù)性質(zhì)的合理性. 筆者順勢進行了追問：“周期變化的原因是什么？你能利用筒車模型進行解釋嗎？”學(xué)生在引導(dǎo)下得到結(jié)論：動點[M]順時針或逆時針繼續(xù)轉(zhuǎn)過每個2π，就會再次到達同一個點[P]，由于角速度為[ω，]因此動點[M]轉(zhuǎn)過2π所用的時間為[2πω]s，這就是函數(shù)[y=Asinωx+φ]的周期. 這樣追問反而使學(xué)生對周期的理解自然地達到了數(shù)、形、物理背景的統(tǒng)一，使得周期公式變得具體、直觀.

【設(shè)計意圖】由于本環(huán)節(jié)需要學(xué)生對之前所掌握的經(jīng)驗、思想與方法自覺地進行應(yīng)用，設(shè)計實驗進行探究，考驗學(xué)生運用數(shù)學(xué)方法的能力和核心素養(yǎng)的水平. 本環(huán)節(jié)中追問的結(jié)構(gòu)與環(huán)節(jié)2保持一致，讓學(xué)生充分參與了定向、有序的數(shù)學(xué)探究. 學(xué)生在完成本環(huán)節(jié)的探究后，不僅可以進一步體會勻速圓周運動與三角函數(shù)之間的密切聯(lián)系，加深對三角函數(shù)實際意義及三角函數(shù)圖象的理解，還可以在自主設(shè)計與探究的過程中進一步體會從具體到抽象、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展自身的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).

環(huán)節(jié)4：自主探究，師生總結(jié).

探究參數(shù)[A A>0]對函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象的影響.

問題4：能否自行設(shè)計方案對參數(shù)[A]進行研究，并總結(jié)出參數(shù)[A A>0]對函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象的影響？

預(yù)設(shè)的師生活動：本環(huán)節(jié)主要由學(xué)生在獨立思考的基礎(chǔ)上通過小組合作交流完成. 仿照前面研究問題的方法與思路設(shè)計實驗、完成實驗，最終形成一般性結(jié)論.

得到實驗結(jié)論后，教師可以利用GeoGebra軟件繪制函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象，進一步加深學(xué)生對函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象的直觀理解.

實際的師生活動：在實際授課中，筆者沒能做到完全“放手”，在學(xué)生回答問題的過程中進行了不必要的引導(dǎo)，一定程度上禁錮了學(xué)生的思維.

【設(shè)計意圖】這一環(huán)節(jié)主要由學(xué)生對前面學(xué)到的數(shù)學(xué)思想與方法進行實際應(yīng)用，進一步加深學(xué)生對從具體到抽象、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想的理解與體會，真正積累數(shù)學(xué)探究活動的實際經(jīng)驗，發(fā)展學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng).

環(huán)節(jié)5：總結(jié)知識，提煉思想，發(fā)展素養(yǎng).

教師引導(dǎo)學(xué)生對本節(jié)課進行回顧與總結(jié).

問題5：能否以下列任務(wù)為引導(dǎo)，分享自己在這節(jié)課中的收獲？

（1）參數(shù)[A，ω，φ]分別是如何影響函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象的？結(jié)合筒車模型進行解釋.

（2）在本節(jié)課中學(xué)習(xí)到了哪些數(shù)學(xué)研究方法？總結(jié)一下，并結(jié)合研究過程給出具體解釋.

（3）你覺得接下來還應(yīng)該對函數(shù)圖象進行哪些方面的研究？

師生活動：學(xué)生回顧課堂內(nèi)容與本節(jié)課的活動經(jīng)驗，對知識與知識的形成過程進行總結(jié)，對相關(guān)數(shù)學(xué)思想方法進行歸納，學(xué)生之間進行交流與分享，進一步加深學(xué)生對本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容的理解，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 教師負(fù)責(zé)引導(dǎo)和評價.

本環(huán)節(jié)如無法在課堂上完成，可以留作課后作業(yè).

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的知識與知識的形成過程，鞏固控制變量的實驗方法和從具體到抽象、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，從而落實直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng).

6. 目標(biāo)檢測設(shè)計

教材第239頁練習(xí)的第2題.

7. 布置作業(yè)

（1）基礎(chǔ)檢測：教材第239頁第1題和第4題;第240頁第1題.

（2）綜合運用：教材第241頁第5題、第6題和第7題;第254頁第9題.

（3）拓展探究.

① 知識拓展：根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容，總結(jié)參數(shù)[A，ω，][φ]分別是如何影響函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象的，并探究給定一個函數(shù)[y=Asinωx+φ]，如何作出它的圖象. 用至少兩種方法完成作圖，并寫出詳細作圖過程.

② 思維提煉：結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，談一談你在數(shù)學(xué)研究方法上的感受.

③ 實踐應(yīng)用：自行查找深圳市“灣區(qū)之光”摩天輪的相關(guān)信息，建立一個刻畫乘客位置高度隨摩天輪運行時間變化情況的數(shù)學(xué)模型，并利用信息技術(shù)手段繪制出對應(yīng)的函數(shù)圖象. 如果有條件的話，可以進行一次實地體驗，檢驗?zāi)Ｐ偷臏?zhǔn)確性.

二、教學(xué)反思

1. 把握單元主線，落實單元教學(xué)

在教學(xué)設(shè)計初稿中出現(xiàn)的最大問題，就是筆者沒能把握好本單元內(nèi)容的本質(zhì). 對此，薛紅霞老師在批注中寫道“本單元內(nèi)容的本質(zhì)是對勻速圓周運動進行數(shù)學(xué)建?！保€指引筆者仔細閱讀教材的章引言、5.1節(jié)引言、5.2節(jié)引言和5.6節(jié)引言. 經(jīng)過深入的研讀和思考，筆者才理解了本單元的主線，按照教材要求完成了單元教學(xué).

函數(shù)是用數(shù)學(xué)語言刻畫現(xiàn)實事物間的關(guān)系的數(shù)學(xué)工具. 對于具有不同規(guī)律的變化現(xiàn)象，我們選擇不同的函數(shù)模型進行刻畫. 相較于冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)有其特有的周期性質(zhì)，因而函數(shù)[y=][Asinωx+φ]是刻畫現(xiàn)實世界中周期性現(xiàn)象的重要模型. 因此，與指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的定位一致，應(yīng)該遵循研究一類函數(shù)的基本套路對函數(shù)[y=Asinωx+φ]展開研究，這一過程便是一個典型的數(shù)學(xué)建模過程. 在人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)1（必修）》（以下統(tǒng)稱“舊教材”）中，本節(jié)課的標(biāo)題為“函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象”，而教材中將本節(jié)課的標(biāo)題改為“函數(shù)[y=Asinωx+φ]”，其目的正是凸顯函數(shù)[y=Asinωx+φ]作為一類函數(shù)的定位.

重視單元教學(xué)，重視“一般觀念”，讓學(xué)生切身體驗“研究對象在變，思想方法不變，研究套路不變”的數(shù)學(xué)探究活動，才能更好地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 章建躍主編的一句話令筆者深受觸動，即“發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，用數(shù)學(xué)的方式育人”，把握好單元主線，落實好單元教學(xué)，是教學(xué)的正道.

2. 理解教材意圖，緊扣模型背景

舊教材在研究函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象時側(cè)重通過觀察圖象的變化來歸納規(guī)律. 而教材緊扣函數(shù)模型的現(xiàn)實背景，借助筒車模型幫助學(xué)生理解函數(shù)圖象變換的內(nèi)在原因，讓數(shù)學(xué)結(jié)論不僅僅停留在抽象層面. 在一次次的教學(xué)實踐中，筆者越來越領(lǐng)悟到筒車模型的重要作用，也越來越理解教材如此設(shè)計的意圖.

函數(shù)圖象的左右平移和伸縮規(guī)律一直是學(xué)生較難理解的，多數(shù)學(xué)生只能“死記硬背”. 而借助筒車模型，可以將抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的“路程問題”，幫助學(xué)生形象地理解其中的原理. 在不同班級的多次試講中，學(xué)生的反應(yīng)都是令人滿意和驚喜的，這是筆者對于筒車模型重要作用的初次體會.

第二次領(lǐng)悟到利用筒車模型進行研究的優(yōu)勢，是在教學(xué)設(shè)計的打磨階段. 薛紅霞老師在一次磨課中說道：“在研究單個參數(shù)如何影響函數(shù)圖象時用好筒車模型，對后續(xù)研究三個參數(shù)如何共同影響函數(shù)圖象是很有幫助的. 尤其是在解釋先進行周期變換再左右平移，平移的長度單位是[φω]的原因時，學(xué)生如果理解了筒車模型，就很容易分析出：當(dāng)起點所對應(yīng)的角的弧度相差[φ]時，由于角速度已經(jīng)變?yōu)閇ω ω>0]，因此到達同一個終點所用的時間就相差[φω].”聽完這句話，筆者感到醍醐灌頂，并在之后的教學(xué)中如此實踐，學(xué)生果然很快就理解了這一原本抽象晦澀的知識點，課堂效果令人十分驚喜.

第三次感受到筒車模型的“力量”，是在活動當(dāng)天正式授課時. 學(xué)生在回答問題3的追問4時，主動提到了函數(shù)周期的變化，筆者突然想到周期的變化也可以用筒車模型進行解釋，便順勢追問：“你能用筒車模型解釋周期變化的原因嗎？”這個問題挑戰(zhàn)學(xué)生的自信，因為他前面的回答肯定是正確的，所以學(xué)生聽到這個問題明顯有些迷茫，但在筆者的鼓勵和引導(dǎo)下還是一步步分析了出來. 此外，筆者還聽到好幾名學(xué)生也都在小聲地一起回答，說明他們真的理解了筒車模型，也更加理解函數(shù)[y=Asinωx+φ].

數(shù)學(xué)的理論盡管是抽象的，但卻與實際生活有著緊密的聯(lián)系，這也是教材所體現(xiàn)的觀念之一. 在日常教學(xué)中，深入理解教材的編寫意圖，將數(shù)學(xué)意義與實際意義緊密結(jié)合起來，不僅有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)，更有助于學(xué)生體會數(shù)學(xué)在生產(chǎn)、生活中的力量與價值.

3. 進行有序探究，開放課堂活動

筆者遵循教材設(shè)計教學(xué)，讓學(xué)生先類比二次函數(shù)的研究過程確定研究思路與方法，再在教師的“主導(dǎo)”下經(jīng)歷參數(shù)[φ]的探究過程，充分體會其中的思想方法. 之后教師逐步“放手”，在探究參數(shù)[ω]時，讓學(xué)生類比之前的探究過程自行設(shè)計方案，再與教師共同展開探究活動. 而在探究參數(shù)[A]時，則更加開放，直接讓學(xué)生自主完成“設(shè)計方案—進行實驗—得出結(jié)論”的全過程.

在試講之前，筆者曾擔(dān)心過學(xué)生能否適應(yīng)這樣逐步開放的探究活動，但實際的課堂效果給了筆者很大的驚喜，學(xué)生能夠積極地回答問題，雖然有時也會偏離主線，但只要教師及時引導(dǎo)，他們還是能給出令人滿意的答案的. 分析其中的原因，筆者認(rèn)為有兩點值得關(guān)注. 一是對思想方法進行清晰、準(zhǔn)確地提煉. 本課時中類比二次函數(shù)研究提煉控制變量和從特殊到一般思想的過程，對于后續(xù)順利開展探究活動是非常重要的，不容忽視. 二是探究活動的設(shè)計要邏輯清晰、結(jié)構(gòu)統(tǒng)一、導(dǎo)向明確. 本課時依次對三個參數(shù)進行探究，其思路、方法與結(jié)構(gòu)是相同的，因此學(xué)生只要充分經(jīng)歷過一兩次這樣的定向探究，便能夠自主完成最后一個開放性任務(wù). 讓學(xué)生這樣有意識地關(guān)注方法、有邏輯地進行思考、有序地進行探究，對于培養(yǎng)學(xué)生的理性思維和科學(xué)精神將大有裨益.

在實際授課時，由于臨近下課，在學(xué)生回答問題4這一完全開放的問題時，筆者急于介入其中進行了引導(dǎo)，沒能完全做到“放手”. 章建躍主編在點評時說道：“課堂活動設(shè)計得很好，有足夠的開放性，課堂上應(yīng)該堅決地執(zhí)行.”筆者自己也感到十分可惜，深刻體會到了真正開放地進行開放性活動的重要性.

深入體會教材的編寫意圖，真正以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為目的而開展教學(xué)，是筆者參與本次課例研討活動之后最大的感悟. 具體到本課時的教學(xué)，就是應(yīng)該落實好單元教學(xué)，緊扣函數(shù)模型的實際意義，開展好定向、有序、開放的數(shù)學(xué)探究活動. 我們必須不斷學(xué)習(xí)、不斷思考，才能努力做到理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解技術(shù)、理解教學(xué)，用數(shù)學(xué)的方式育人.

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