數(shù)學(xué)建模活動設(shè)計及實(shí)踐

杜娟 陳算榮

摘 ?要：課例“水溫隨時間變化的規(guī)律”的設(shè)計采用問題串的形式，在問題驅(qū)動下，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、構(gòu)建模型、確定參數(shù)、計算求解、檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題的建模活動體驗(yàn)過程. 在數(shù)學(xué)建模的過程中，引導(dǎo)學(xué)生探析現(xiàn)象背后的本質(zhì)，靈活運(yùn)用已有數(shù)學(xué)知識和經(jīng)驗(yàn)，有效解決現(xiàn)實(shí)世界中的真實(shí)問題.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模;問題引導(dǎo);問題解決

一、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）凝練了學(xué)生必須具備的六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析. 其中，數(shù)學(xué)建模是指對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象、用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng). 數(shù)學(xué)建模主要表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出問題、建立和求解模型、檢驗(yàn)和完善模型、分析和解決問題. 我國的數(shù)學(xué)教學(xué)歷來重視數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用，貫穿于中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)全過程的應(yīng)用題是將數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)相聯(lián)系的重要載體. 數(shù)學(xué)建?；顒邮菍?yīng)用題的繼承與發(fā)揚(yáng)，但是與應(yīng)用題教學(xué)相比，數(shù)學(xué)建?；顒拥膬?nèi)涵更為豐富，數(shù)學(xué)建?；顒訌慕虒W(xué)內(nèi)容、教學(xué)方式及教學(xué)評價等多個方面都對中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)提出了很多嶄新的研究課題.

隨著以《標(biāo)準(zhǔn)》和新教材為標(biāo)志的“雙新”課程的實(shí)施推進(jìn)，數(shù)學(xué)建模將從理論設(shè)計層面的教學(xué)目標(biāo)轉(zhuǎn)變?yōu)檎鎸?shí)的學(xué)習(xí)活動，教師只有嘗試實(shí)踐，才有可能從理論構(gòu)想走向現(xiàn)實(shí)，《標(biāo)準(zhǔn)》對于數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的培育目標(biāo)才能真正落實(shí).“水溫隨時間變化的規(guī)律”的數(shù)學(xué)建?；顒釉O(shè)計和實(shí)踐就是數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)發(fā)展落地課堂的一次探索，經(jīng)過實(shí)踐、反思和完善后形成的課例設(shè)計.

二、數(shù)學(xué)建模活動設(shè)計

1. 問題背景

數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)主題來自生1在網(wǎng)上看到的一篇報道，其發(fā)現(xiàn)了其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)問題，并把素材提交給數(shù)學(xué)教師. 具體內(nèi)容如下.

情境：人們?nèi)粘ｏ嬘盟畷r既不能喝生水，也不能喝過燙的水. 生水中含有大量的寄生蟲，過燙的水不僅會損傷牙釉質(zhì)，還會強(qiáng)烈刺激咽喉、消化道和胃的黏膜. 因此推薦飲用45℃的溫水.

問題1：面對以上實(shí)際情境，你能提出哪些問題？

小組討論，并將問題寫在活動單上.

【設(shè)計意圖】設(shè)計開放性問題，拓展學(xué)生的思維廣度. 學(xué)生通過自己熟悉的情境，小組交流討論，從情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，再分析問題. 問題是開放性的，學(xué)生的回答涉及各學(xué)科領(lǐng)域，通過教師引導(dǎo)，學(xué)生評價每個小組提出的問題的意義及合理性，并從中選擇大部分學(xué)生關(guān)注的且與數(shù)學(xué)相關(guān)的問題加以提煉，形成本節(jié)課的主題：在室溫為15℃的條件下，一杯燒開的水大約需要多長時間可以降到45℃？

2. 數(shù)據(jù)采集

為了解決問題1，生1課前帶領(lǐng)小組成員在化學(xué)實(shí)驗(yàn)室室溫為15℃的條件下，每間隔1分鐘用溫度計測一次水的溫度（單位：攝氏度），下表是采集了[12]分鐘的水溫數(shù)據(jù).

3. 問題探究

活動1：問題串誘導(dǎo)，推動知識遷移.

問題2：觀察這組數(shù)據(jù)，思考水溫與時間之間是否存在某種依賴關(guān)系？這種依賴關(guān)系是否為函數(shù)關(guān)系？

問題3：能否用確定的函數(shù)模型來刻畫水溫與時間之間的關(guān)系？

問題4：有沒有比較直觀的方法幫助我們選擇熟悉的函數(shù)模型？

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析數(shù)據(jù)，找出水溫隨時間的變化規(guī)律. 在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)尋找突破口，通過問題串啟發(fā)誘導(dǎo)，幫助學(xué)生回顧函數(shù)的定義及函數(shù)的三種表示方法. 比較函數(shù)的三種表示方法，學(xué)生自然選擇圖象法，從而引出下一環(huán)節(jié)——畫散點(diǎn)圖.

活動2：制作散點(diǎn)圖，猜想函數(shù)模型.

問題5：如圖1，觀察散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布規(guī)律，對比已經(jīng)學(xué)過的基本初等函數(shù)圖象，猜想可以選擇怎樣的函數(shù)模型？（小組交流.）

【設(shè)計意圖】學(xué)生用圖形計算器繪制散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布規(guī)律，學(xué)生猜想的函數(shù)模型可能有：一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等. 該選擇哪種函數(shù)模型？又該如何確定函數(shù)模型？由此引出數(shù)學(xué)建模的重要環(huán)節(jié)——模型的選擇.

活動3：利用函數(shù)擬合，選擇函數(shù)模型.

（1）操作圖形計算器，組內(nèi)自由分工合作，分別選擇一次函數(shù)模型、二次函數(shù)模型和指數(shù)函數(shù)模型擬合，如圖2 ～ 圖4所示.

（2）小組代表展示擬合數(shù)據(jù)后求得的參數(shù)，以及用對應(yīng)函數(shù)模型求解問題的結(jié)果，并用語言描述本組解決問題的過程.

【設(shè)計意圖】各小組自由選擇一次函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型進(jìn)行擬合并求解. 活動的目的是引導(dǎo)學(xué)生自主探究，比較各模型的優(yōu)劣，進(jìn)而選擇最佳模型，并嘗試交流和表達(dá). 在探求問題解決的過程中不斷修正模型，最終確定模型. 在整個探索過程中，學(xué)生充分體會了函數(shù)擬合的思想，體驗(yàn)了建模的基本步驟，感受了解決問題帶來的喜悅.

問題6：組內(nèi)討論為什么二次函數(shù)模型會無解？我們應(yīng)該選擇哪個模型？

【設(shè)計意圖】教師引導(dǎo)學(xué)生考慮二次函數(shù)的最小值，學(xué)生算出二次函數(shù)的最小值，對比實(shí)際問題發(fā)現(xiàn)方程無實(shí)數(shù)解. 學(xué)生調(diào)動自身儲備的數(shù)學(xué)知識去解決實(shí)際問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識是解決實(shí)際問題的理論基礎(chǔ). 充分討論、比較后，大部分小組選擇指數(shù)函數(shù)模型，引出本節(jié)課的下一個環(huán)節(jié)——模型修正.

活動4：比較函數(shù)模型，給出合理解釋.

問題7：為什么你覺得指數(shù)函數(shù)模型比一次函數(shù)模型更合適？

【設(shè)計意圖】經(jīng)過討論，學(xué)生可能知道要用物理學(xué)知識去解釋，但不知道涉及物理學(xué)的哪方面知識. 教師設(shè)置情境：一杯100℃的水和一杯30℃的水在相同時間內(nèi)冷卻到15℃，誰的冷卻速度更快？引出物理學(xué)中“放熱系數(shù)”的概念來解釋指數(shù)函數(shù)模型更合適. 通過該問題讓學(xué)生意識到選擇的函數(shù)模型要能對實(shí)際問題做出合理解釋，而對問題的解釋往往需要跨學(xué)科知識的融合，讓學(xué)生體會跨學(xué)科知識之間的聯(lián)系.

活動5：回歸初始問題，引發(fā)深度思考.

問題8：回到實(shí)際問題中，還有什么因素需要考慮嗎？（小組討論.）

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生討論并發(fā)現(xiàn)問題，讓學(xué)生代表進(jìn)行說明. 如果學(xué)生沒有討論出結(jié)果，教師則以問題串啟發(fā)：該模型的漸近線是什么？實(shí)際問題中的水溫可能降到室溫之下嗎？該模型應(yīng)該如何修正才能更符合實(shí)際？引導(dǎo)學(xué)生給出模型[y=abx+15.] 再通過計算器求解，完成模型修正. 學(xué)生主動參與問題解決的過程，在不斷反思中提出新問題，有利于激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新精神，提升學(xué)生的實(shí)踐能力.

活動6：學(xué)生自主討論，總結(jié)建模過程.

問題9：回顧經(jīng)歷的數(shù)學(xué)建模過程，能否嘗試總結(jié)數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題的基本過程？（小組交流.）

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生及時積累數(shù)學(xué)建模活動的基本經(jīng)驗(yàn)，為今后開展新的數(shù)學(xué)建模主題活動奠定基礎(chǔ). 教師在學(xué)生反饋的基礎(chǔ)上，歸納出數(shù)學(xué)建模的一般過程，如圖5所示.

問題10：試結(jié)合本節(jié)課的實(shí)例，總結(jié)函數(shù)擬合建模的一般步驟. 能否用流程圖來表示？

教師根據(jù)學(xué)生的回答，與學(xué)生共同概括、提煉，得到流程圖，如圖6所示.

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生回溯函數(shù)擬合的具體過程，進(jìn)一步提升學(xué)生的語言表達(dá)和總結(jié)概括能力.

4. 提升價值認(rèn)識

問題11：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲和體會？

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值，提升學(xué)生對數(shù)學(xué)建模意義的認(rèn)識，提高學(xué)生參與數(shù)學(xué)建?；顒拥呐d趣.

三、教學(xué)實(shí)踐解析

該建?；顒釉O(shè)計方案在同一年級的多個平行班進(jìn)行實(shí)踐，并經(jīng)過多輪“實(shí)踐—反思—重建”的改進(jìn)過程. 上述活動設(shè)計在上海市閔行區(qū)青年骨干教師培養(yǎng)基地進(jìn)行了公開實(shí)踐研討. 專家點(diǎn)評該課例的設(shè)計和實(shí)施遵循了五個原則：以學(xué)生為主體，以問題為載體，以活動為中心，以能力提高為目的，以技術(shù)為手段. 整個教學(xué)活動設(shè)計，其研究素材和研究問題來自學(xué)生，函數(shù)模型的建立、求解、檢驗(yàn)和修正過程均在教師精心設(shè)計的問題引導(dǎo)下完成. 問題串的設(shè)計有助于學(xué)生思維的深度發(fā)展，能夠幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)的要領(lǐng)和其中的數(shù)學(xué)知識本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí).

課堂活動實(shí)施采用個體活動和小組活動有機(jī)結(jié)合的方式進(jìn)行. 在活動過程中，學(xué)生主動分析問題和解決問題，教師以引導(dǎo)、參與和監(jiān)督的方式介入個體和小組活動，從而實(shí)現(xiàn)師生和生生之間的多向互動. 學(xué)生借助教師或者同學(xué)的幫助，利用必要的學(xué)習(xí)資料主動建構(gòu)獲得知識. 活動中，這種合作性人際關(guān)系的建構(gòu)能夠促進(jìn)學(xué)生達(dá)到認(rèn)知、情感和社會性的全面發(fā)展. 學(xué)生在思考、交流和表達(dá)的過程中提高了提出問題、分析問題和解決問題的能力. 學(xué)生借助圖形計算器制作散點(diǎn)圖，然后擬合函數(shù)，最終求解的過程，充分體現(xiàn)了技術(shù)與數(shù)學(xué)的深度融合. 在分析一次函數(shù)模型和指數(shù)型函數(shù)模型誰更適切的環(huán)節(jié)，教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)聯(lián)物理學(xué)中“放熱系數(shù)”的概念來解釋指數(shù)型函數(shù)模型更合適，讓學(xué)生感悟跨學(xué)科整合學(xué)習(xí)的意義，體現(xiàn)了新課程提出的學(xué)科融合理念.

作為一次數(shù)學(xué)建?；顒拥某醪絿L試，實(shí)踐研究者認(rèn)識到要讓建?；顒诱n達(dá)到較好的學(xué)習(xí)效果，需要教師堅持深度學(xué)習(xí)的理念，精心創(chuàng)設(shè)適切的數(shù)學(xué)情境和數(shù)學(xué)問題，使學(xué)生在參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動和解決問題的過程中不斷加深對數(shù)學(xué)思想的理解，并內(nèi)化為個人素養(yǎng)，真正地“做數(shù)學(xué)”和“學(xué)數(shù)學(xué)”.

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