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    反證法“三必須”“三形式”運用技巧

    2022-04-16 17:28:04廣東省廣州市從化區(qū)第二中學謝福信
    中學數學 2022年19期
    關鍵詞:反證法復數本題

    ?廣東省廣州市從化區(qū)第二中學 謝福信

    1 引言

    反證法最初在拉丁語中的意思,是指“轉化為不可能”,其邏輯原理是逆否命題和原命題的真假性相同.當命題從正面不容易或不能直接證明時,我們就可以嘗試運用反證法來間接證明,這就是我們平常所說的“正難則反”.反證法在數學證明題中應用十分廣泛,具有極大的優(yōu)越性[1].著名的物理學家牛頓就曾經稱贊說:“反證法是數學家最精當的武器之一.”

    2 反證法的使用場景及原則

    一般來說,當命題的結論出現(xiàn)“都是”“都不是”“至少”“至多”或者“≠”等字眼時,比較適合采用反證法.反證法是從命題結論的否定出發(fā),經過嚴密的邏輯推理,最后推導出矛盾,證明命題結論的否定是錯誤的,從而肯定原結論是正確的一種證明方法.

    運用反證法證明命題要牢記“三必須”原則:

    一必須先否定結論,然后肯定結論的反面.當結論的反面呈現(xiàn)出多樣性時,我們必須要考慮(或羅列出)各種可能的結論(結果),遺漏任何一種可能性,反證都是不嚴密的.

    二必須從否定結論進行推理.即應把結論的反面作為條件,且必須根據這一條件進行推證;否則,僅否定結論,不從結論的反面出發(fā)進行推理,就不算是反證法.

    三必須推導出矛盾.有的與已知矛盾,有的與假設矛盾,有的與已知事實相違背.總之,推導出的矛盾必須是明顯的.

    運用反證法的基本步驟:首先作出與所證命題結論相反的假設,然后從條件和假設出發(fā),應用正確的推理方法,一步步推出矛盾的結論,最后否定假設,從而達到證明原命題結論成立的目的[2].

    3 反證法的常見三種題型

    3.1 命題的結論為否定的形式

    當待證命題的結論以“不、無、沒有、不可能、絕不會”或者“不等號”等否定詞語或符號來表述時,運用反證法比較便利.

    例1如果2a2<5b,試證方程x5+ax4+bx3+cx2+dx+e=0的根不可能都是實數.

    證明:假設方程的根都是實數,那么方程的左邊就可表示成(x+p)(x2+qx+r)(x2+sx+t) ,其中p,q,r,s,t均為實數,且q2-4r≥0,s2-4t≥0,可得4(r+t)≤q2+s2.方程左邊比較對應項系數,有

    代入2a2<5b,得

    2(p+q+s)2<5(pq+ps+qs+r+t).

    即2(p+q+s)2-5(pq+ps+qs)<5(r+t)≤

    (2p-q)2+(2p-s)2+2(q-s)2<0

    因為p,q,s均為實數,所以

    (2p-q)2+(2p-s)2+2(q-s)2≥0

    ①式與②式相互矛盾,故假設錯誤.

    所以原命題結論成立.

    點評:本題的結論中出現(xiàn)了否定詞“不可能”,所以宜用反證法來證明.本題的證明過程中雖然所設參數較多,但其核心是圍繞諸根都是實數進行突破.

    例2設二次函數f(x)=ax2+bx+c(a≠0)中的a,b,c均為整數,且f(0),f(1)均為奇數,求證:方程f(x)=0無整數根.

    證明:假設方程f(x)=0有一整數根k,那么

    ak2+bk=-c③

    因為f(0)=c,f(1)=a+b+c均為奇數,那么a+b為偶數.當k為偶數時,顯然這與③矛盾;當k為奇數時,設k=2n+1(n∈Z),那么ak2+bk=(2n+1)(2na+a+b)為偶數,也與③矛盾.故假設錯誤.

    所以原命題結論成立.

    點評:很顯然,本題如果運用函數或方程的思路直接證明較困難,但我們如果換個思路從反面入手,采用反證法來證明則簡捷多了.

    3.2 命題的結論表現(xiàn)為“唯一”的形式

    當待證命題的結論用“是、有、只有、有唯一、為、必為”等表肯定的詞語表述時,可以運用反證法進行證明.

    (i)a11,a22,a33為正數,其余系數都是負數;

    (ii)在每個方程中系數之和為正數.

    求證:方程組有唯一的一組解.

    證明:顯然(0,0,0)即x1=x2=x3=0是方程組的一組解;假設(a,b,c)是方程組的另一組解,則可分為兩種情況:

    (1)a,b,c中至少有一個正數;

    (2)a,b,c中至少有一個負數.

    對情況⑴,不妨設a>0,a≥b,a≥c.

    因為a12<0 ,a13<0,所以

    a12b≥a12a,a13c≥a13a.

    又a11+a12+a13>0,a11>0,所以

    a11a+a12b+a13c≥(a11+a12+a13)a>0.

    這與(a,b,c)是方程組的解的定義相矛盾.

    對情況⑵,不妨設a<0,a≤b,a≤c,則-a>0,-a≥-b,-a≥-c.根據(1)可知

    a11a+a12b+a13c=-[a11(-a)+a12(-b)+a13(-c)]<0.

    同樣導致矛盾.

    綜上所述,方程組僅有唯一一組解(0,0,0).

    點評:從本題的證明我們可以看到,當結論的反面不止一種情形時,反設后,要分別對各種情況進行歸謬,做到全面準確,無一遺漏.

    圖1

    例4四面體P-ABC中從一個點出發(fā)的三個面為直角三角形,則第四個面必為銳角三角形.

    AB2+AC2-BC2≤0.

    即(a2+b2)+(a2+c2)-(b2+c2)≤0?2a2≤0,這與a2≥0矛盾.

    故假設不成立,所以原命題成立.

    點評:本題如果直接證明有困難,由于涉及到立體幾何,所以結合“數形結合”的思想,運用反證法較為簡捷.

    “海綿城市”運用于城市道路建設是可行的、經濟的,可以為實現(xiàn)城鎮(zhèn)化和環(huán)境資源協(xié)調發(fā)展提供有力保證。建設具有自然積存、滲透、凈化功能的海綿城市是社會生態(tài)文明建設的重要組成部分,也是我國城市建設的發(fā)展方向。

    3.3 命題的結論表現(xiàn)為“至多”“至少”的形式

    對待證命題的結論出現(xiàn)“至多”“至少”及存在性之類的詞語,從反證法入手也較為有利.

    例5設zk(k=1,2,……,n)是滿足|zk|≤1與z1+z2+……+zn=0的n個(n≥2)復數.求證:這n個復數中至少有兩個復數zs,zt滿足|zs+zt|≤1.

    證明:假設這n個復數中任意兩個復數zi,zj(i≠j,i,j=1,2,……,n)均不滿足|zi+zj|≤1,即有|zi+zj|>1.

    因為|zk|≤1(k=1,2,……,n),所以與復數zk相應的點Zk全部在復平面的單位圓(含圓周)域內.

    令與zi,zj對應的向量分別為zi,zj且它們的夾角為θ,且設|zi|≤|zj|≤1,即|zi|·|zj|≥|zi|2.

    又因為|zi+zj|2>1≥|zj|2,所以

    -|zi|2≥-|zi|·|zj|,|zi+zj|2-|zj|2>0.

    所以

    則這n個復數zk(k=1,2,……,n)虛部之和為

    |z1|sin(argz1)+|z2|sin(argz2)+……+|zn|sin(argzn)>0

    而已知z1+z2+……+zn=0,則這n個復數的虛部之和為0,與④式矛盾.

    因此,這n個復數中至少存在兩個復數zs,zt,滿足|zs+zt|≤1.

    ⑤+⑦,得-1<10+4a+2b<1.

    則有-3<8+4a+2b<-1.

    點評:本題的命題結論中含有“至少”之類詞語,也屬于存在性之類的問題,宜用反證法證明.關鍵步驟是根據假設結合不等式性質得出矛盾的結果.

    4 反證法思想在探索性問題中的應用

    當待證命題的結論中出現(xiàn)“有沒有”“能不能”“是否存在”等帶有不確定、探索性詞語時,除了通過若干數據實驗,運用不完全歸納法和數學歸納法證明外,運用反證法來證明顯得更加簡捷明快.

    解析:假設這樣的拋物線存在,其焦點坐標為(a,a-1),頂點坐標為(a-1,a-1),拋物線方程為

    (y+1-a)2=4(x+1-a) ⑧

    令x=0,有y2+2(1-a)y+(1-a)2-4(1-a)=0.

    x2+4(1-a)x+4(a2-6a+21)=0.

    點評:本題是關于探索性問題的求解,如果按照常規(guī)的思路,過程比較繁瑣;如果緊扣題設中“截直線所得的弦長與截y軸所得弦長相等”這一條件,運用反證法思想就顯得簡捷多了.

    例8是否存在雙曲線C,同時滿足下列兩個條件:

    (1)以點F(-1,0)為焦點,對應的準線為直線x=-4;

    (2)與拋物線x=y2+2有且只有一個公共點.

    若存在,求出雙曲線C的方程;若不存在,說明理由.

    整理得(1-e2)y4+(7-12e2)y2+9-36e2=0.

    因為e>0,Δ=13+12e2>0,則

    由于方程只有一解,則y2=0.

    所以,這樣的雙曲線不存在.

    點評:本題是關于探索性問題的求解,運用反證法思想可以避免分類、分情況討論等繁瑣的猜測嘗試過程,具有化繁為簡的優(yōu)點.

    實驗歸納形式的題型,是一種開放式探索性題型,由于這類題型具有“有效考查考生的基礎知識、能夠全面檢測考生分析問題和解決問題的能力”等優(yōu)點,近年來已成為高考的高頻題型,所以,熟悉并掌握這類題型的特點與答題技巧很有必要.

    5 結論

    從上述典型例題的分析中我們可以看出,反證法“三必須”“三形式”的運用技巧在證明題中展示了較強的實用性與靈活性;尤其是面對一些較復雜的、難以直接證明的問題,運用反證法往往能夠使原本閉塞的思路豁然貫通,“柳暗花明又一村”的開闊之感油然而生!

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