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    用割補(bǔ)法巧解一類幾何題

    2022-04-16 17:28:04陜西省西安市田家炳中學(xué)馮恒仁
    中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年19期
    關(guān)鍵詞:正四面體棱柱接球

    ?陜西省西安市田家炳中學(xué) 馮恒仁

    1 割補(bǔ)法的內(nèi)涵

    所謂割補(bǔ)法就是把一個(gè)復(fù)雜圖形的長(zhǎng)度、角度、面積或體積的計(jì)算分割成若干個(gè)簡(jiǎn)單圖形的有關(guān)計(jì)算,或者將一個(gè)不易求出長(zhǎng)度、角度、面積或體積的幾何圖形補(bǔ)形為較易計(jì)算的幾何圖形.例如,把梯形割補(bǔ)成平行四邊形、矩形、直角三角形,把斜三角形割補(bǔ)成直角三角形,把斜棱柱割補(bǔ)成直棱柱,把棱錐補(bǔ)成棱柱(常見的題是將特殊的三棱錐、四棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)方體、正方體),把多面體切割成錐體,把不規(guī)則的幾何體割補(bǔ)成規(guī)則的幾何體,從而把復(fù)雜的轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的、把不夠直觀的轉(zhuǎn)化為直觀易懂的.

    2 割補(bǔ)法在解題中的應(yīng)用舉例

    2.1 在平面幾何中的應(yīng)用

    例1如圖1,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=5,BC=3,CD=1,DA=2,求梯形的面積.

    分析:要求梯形的面積,就要求其高,進(jìn)而就要求其一個(gè)內(nèi)角.因此,過一個(gè)頂點(diǎn)作一條腰的平行線,把其分割為平行四邊形和三角形,再作三角形的高,把三角形分割為直角三角形,由正弦函數(shù)的定義求出高.

    圖1 圖2

    解:如圖2,過點(diǎn)C作CE∥DA,交AB于點(diǎn)E,再過點(diǎn)C作CF⊥AB,垂足為F.

    ∵DC∥AE,CE∥DA,

    ∴四邊形AECD是平行四邊形.

    ∴CE=DA=2,AE=DC=1.

    ∴BE=AB-AE=4.

    點(diǎn)評(píng):梯形面積計(jì)算問題,輔助線的作法一般有兩種,一是過頂點(diǎn)作高,把梯形分割成直角三角形和矩形,還有一種就是過頂點(diǎn)作另一腰的平行線,把梯形分割為平行四邊形和三角形.本題兩種方法都用到了.

    例2如圖3,分別以邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)B,C為圓心,1為半徑作圓弧AC,BD交于點(diǎn)E,求曲邊三角形ABE的面積.

    分析:連接BE,EC,把曲邊三角形ABE的面積轉(zhuǎn)化為扇形ABE的面積減去弓形BE的面積.

    圖3 圖4

    點(diǎn)評(píng):求弓形面積時(shí),割補(bǔ)法是學(xué)生很容易掌握的一個(gè)典型的技巧.

    圖5

    (2)方法1:方程(組)法[1].

    sinθ=2cosθ.

    點(diǎn)評(píng):充分利用正弦定理、余弦定理,列方程(組),解方程(組),屬于常規(guī)解法.雖然運(yùn)算量有些大,但中規(guī)中矩,思路清晰,不難掌握.

    方法2:補(bǔ)形法.

    圖6

    點(diǎn)評(píng):通過補(bǔ)形,轉(zhuǎn)化為特殊的三角形,雖然還是用正弦定理、余弦定理求解,但與方法1比較,運(yùn)算量較小.

    方法3:分割法.

    如圖7,過點(diǎn)C作CN⊥AD,垂足為N,過點(diǎn)B作BM⊥CN,垂足為M.

    由已知得,四邊形ABMN是矩形.

    又MN=AB=1,則CM=1,BM=1.

    點(diǎn)評(píng):與方法2相比,方法3運(yùn)算量更小.

    圖7 圖8

    方法4:割補(bǔ)法.

    如圖8,分別延長(zhǎng)CB,DA,設(shè)CB∩DA=E,過點(diǎn)C作CN⊥AD,垂足為N.

    由已知可得△ABE和△NCE都是等腰直角三角形,且AE=AB=1.

    點(diǎn)評(píng):與方法3相比,方法4更簡(jiǎn)潔,只要把題目中的弧度改為角度,初三學(xué)生都可以很快算出結(jié)果.

    2.2 在立體幾何中的應(yīng)用

    例4已知正四面體A-BCD的棱長(zhǎng)為a,求該正四面體的外接球的表面積和體積.

    圖9

    分析:如圖9,將正四面體A-BCD補(bǔ)成正方體.則正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)為a,正方體的外接球就是正四面體A-BCD的外接球.

    解:如圖9,將正四面體A-BCD補(bǔ)成正方體,正方體的外接球就是正四面體A-BCD的外接球.

    例5已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,求異面直線AB1與BC1所成角的余弦值[2].

    圖10

    解法1:如圖10所示,延長(zhǎng)CB至D,使BD=BC,連接AD,B1D.

    ∵B1C1∥BD,B1C1=BD,

    ∴四邊形B1C1BD是平行四邊形.

    ∴C1B∥B1D.

    ∴∠AB1D或其補(bǔ)角為異面直線AB1與BC1所成的角.

    在△ABD中,由余弦定理,得

    AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos∠ABD=3.

    點(diǎn)評(píng):對(duì)于兩條異面直線所成的角,可固定一條,平移另一條,或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置.本題是固定一條,平移另一條,把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角,再通過解三角形求之,屬于常規(guī)解法.

    圖11

    解法2:如圖11,將直三棱柱ABC-A1B1C1補(bǔ)形為直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,連接AD1,B1D1,BD.

    在△ABD中,由余弦定理知

    BD2=22+12-2×2×1×cos60°=3.

    因?yàn)锳D1∥BC1,所以直線AB1與AD1所成的角即為直線AB1與BC1所成的角.

    點(diǎn)評(píng):將直三棱柱ABC-A1B1C1補(bǔ)形為直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,異面直線AB1與BC1所成角更容易找到.

    3 總結(jié)

    巧妙利用割補(bǔ)法求解一些幾何問題,關(guān)鍵是根據(jù)已知條件將原圖形通過分割或補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形或特殊圖形,從而使問題簡(jiǎn)單化,這一過程也充分體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想.

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