函數(shù)巧同構(gòu) 導(dǎo)數(shù)妙應(yīng)用

?東營(yíng)市第一中學(xué) 張琳琳

1 引言

同構(gòu)意識(shí)是破解一些相關(guān)數(shù)學(xué)問題比較常用的一類解題意識(shí)與技巧.特別在解決一些函數(shù)與方程、不等式等相關(guān)問題時(shí)，結(jié)合相關(guān)關(guān)系式進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化或變形，提取出其中相同或相似的結(jié)構(gòu)，尋找結(jié)構(gòu)的同型或共性，進(jìn)而合理同構(gòu)相應(yīng)的函數(shù)模型，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用來解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題.

2 導(dǎo)數(shù)妙用

2.1 巧求范圍

分析：結(jié)合條件中不等式的恒等變形與轉(zhuǎn)化，使不等號(hào)兩邊的結(jié)構(gòu)均衡、同型，從而合理同構(gòu)函數(shù)，通過求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與最值的應(yīng)用來確定對(duì)應(yīng)的參數(shù)的取值范圍.

所以ex+lna+x+lna>x+2+ln(x+2)，即ex+ln a+x+lna>eln(x+2)+ln(x+2).

由于函數(shù)y=ex+x在R上單調(diào)遞增，則有x+lna>ln(x+2)，即lna>ln(x+2)-x.

當(dāng)x∈(-2，-1)時(shí)，g′(x)>0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(-1，+∞)時(shí)，g′(x)<0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減.

故lna>gmax(x)=g(-1)=1，即a>e.

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(e，+∞).

故填答案：(e，+∞).

點(diǎn)評(píng)：在解決一些相關(guān)含參不等式恒成立問題時(shí)，往往可以考慮從函數(shù)自身出發(fā)，巧妙恒等變形，合理同構(gòu)相應(yīng)的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性去分析與解題，簡(jiǎn)潔自然.

2.2 妙判大小

例2(2022屆江蘇省南師附中、淮陰中學(xué)、天一中學(xué)、海門中學(xué)四校高三年級(jí)12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷·8)已知a=5，b=15(ln 4-ln 3)，c=16(ln 5-ln 4)，則( ).

A.a

C.b

分析：結(jié)合三個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的關(guān)系式的合理恒等變形，先結(jié)合重要不等式性質(zhì)確定a與b的大??；再通過同構(gòu)函數(shù)，結(jié)合求導(dǎo)處理與轉(zhuǎn)化，利用函數(shù)的單調(diào)性來確定b與c的大小.

綜上可得，a>b>c.故選擇答案：B.

點(diǎn)評(píng)：在判斷一些比較復(fù)雜的代數(shù)式的大小關(guān)系問題時(shí)，可以考慮從對(duì)應(yīng)代數(shù)式的共同特征入手，合理同構(gòu)函數(shù)，借助同構(gòu)函數(shù)來構(gòu)造相應(yīng)的新函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性等基本性質(zhì)來巧妙轉(zhuǎn)化，進(jìn)而判斷大小，從而將原問題中所蘊(yùn)含的內(nèi)在規(guī)律外顯化，揭示問題豐富的背景和內(nèi)涵，展示同構(gòu)函數(shù)的巨大魅力.

2.3 巧定最值

例3[2022屆江蘇省G4(蘇州中學(xué)、常州中學(xué)、鹽城中學(xué)、揚(yáng)州中學(xué))高三年級(jí)12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷·8改編]若不等式2ex-2>-aln(x+1)+(a+2)x對(duì)x∈(0，+∞)恒成立，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)a的最大值為______.

分析：根據(jù)題目條件中的不等式加以移項(xiàng)變形，合理同構(gòu)函數(shù)，結(jié)合重要不等式性質(zhì)確定自變量的大小關(guān)系，進(jìn)而確定函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合求導(dǎo)處理，利用導(dǎo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的不等式恒成立來構(gòu)建不等式，進(jìn)而確定參數(shù)的最大值.

解析：由2ex-2>-aln(x+1)+(a+2)x，移項(xiàng)可得2ex-ax>-aln(x+1)+2(x+1)，整理可得

2ex-ax>2eln(x+1)-aln(x+1).

同構(gòu)函數(shù)f(x)=2ex-ax，則有

f(x)>f(ln(x+1)).

而結(jié)合重要不等式性質(zhì)“對(duì)于x>0恒有l(wèi)nx≤x-1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立”，可得x>ln(x+1)>0，則知函數(shù)f(x)=2ex-ax在(0，+∞)上單調(diào)遞增.

求導(dǎo)可得f′(x)=2ex-a，則只需f′(x)=2ex-a≥0在(0，+∞)上恒成立，所以2-a≥0，解得a≤2.

故實(shí)數(shù)a的最大值為2.故填答案：2.

點(diǎn)評(píng)：在確定一些參數(shù)的最值時(shí)，關(guān)鍵是利用不等式的巧妙變形與轉(zhuǎn)化，合理同構(gòu)函數(shù)，借助函數(shù)的圖象與性質(zhì)，合理構(gòu)建相應(yīng)代數(shù)式的大小關(guān)系，為進(jìn)一步求解代數(shù)關(guān)系式或參數(shù)的最值提供條件.在解決此類問題時(shí)，對(duì)于等式、不等式不同視角的變形，不同的同型形式往往可以同構(gòu)不同的函數(shù).

2.4 妙證不等式

例4(2021年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第22題)已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx).

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

分析：第(1)問首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)取值符號(hào)即可確定函數(shù)的單調(diào)性；第(2)問利用同構(gòu)關(guān)系將原問題中不等式的證明轉(zhuǎn)化為極值點(diǎn)偏移的問題，結(jié)合變形的關(guān)系式的特征同構(gòu)相應(yīng)的函數(shù)，結(jié)合求導(dǎo)處理，利用函數(shù)的單調(diào)性與極值問題來證明對(duì)應(yīng)的不等式.

解析：(1)由函數(shù)的解析式可得f′(x)=-lnx.

則當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1，+∞)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減.

所以,f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，+∞)上單調(diào)遞減.

由(1)可知函數(shù)f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，+∞)上單調(diào)遞減，所以fmax(x)=f(1)=1，且f(e)=0.

先證22-x1>1，即證f(x2)=f(x1)

令函數(shù)h(x)=f(x)-f(2-x)，x∈(0，1).

求導(dǎo)可得h′(x)=f′(x)+f′(2-x)=-lnx-ln(2-x)=-ln[x(2-x)]，則h′(x)在(0，1)上單調(diào)遞減.

所以h′(x)>h′(1)=0，即函數(shù)h(x)在(0，1)單調(diào)遞增.所以h(x1)

再證x1+x2

同理，根據(jù)(1)中函數(shù)f(x)的單調(diào)性，可知即證f(x2)=f(x1)>f(e-x1).

同構(gòu)函數(shù)φ(x)=f(x)-f(e-x)，x∈(0，1).

求導(dǎo)可得φ′(x)=-ln[x(e-x)].令φ′(x0)=0.則當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，φ′(x)>0，φ(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(x0，1)時(shí)，φ′(x)<0，φ(x)單調(diào)遞減.

又00;x>e時(shí)，f(x)<0,且f(e)=0.

故x→0，φ(0)>0，φ(1)=f(1)-f(e-1)>0.

所以φ(x)>0恒成立，即x1+x2

點(diǎn)評(píng)：在證明一些不等式時(shí)，經(jīng)常借助所要證明的不等式的結(jié)構(gòu)特征，合理同構(gòu)對(duì)應(yīng)的函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，利用相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值，進(jìn)而合理轉(zhuǎn)化巧妙證明相應(yīng)的不等式.

3 結(jié)語

在破解一些函數(shù)與方程、不等式等相關(guān)問題時(shí)，需要借助我們的慧眼去識(shí)別問題中代數(shù)式等的結(jié)構(gòu)特征，尋找同型，巧妙同構(gòu)，證實(shí)共點(diǎn)，妙用共性，合理同構(gòu)相應(yīng)的函數(shù)模型，結(jié)合導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用來巧妙解決，從而實(shí)現(xiàn)應(yīng)用共性解題，增強(qiáng)化歸思想、創(chuàng)新意識(shí)、同構(gòu)意識(shí)，合理進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)交匯，讓數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)品質(zhì)得以飛躍，形成數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).