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    借助隱圓解決向量問題 直觀想象彰顯魅力

    2022-04-16 17:28:04上海市市西中學(xué)龐良緒
    中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年19期
    關(guān)鍵詞:單位向量代數(shù)直觀

    ?上海市市西中學(xué) 龐良緒

    《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年)》指出,直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化,利用空間形式特別是圖形,理解和解決問題,主要表現(xiàn)為:建立數(shù)與形的聯(lián)系,利用幾何圖形描述問題,借助幾何直觀理解問題[1].平面向量具有幾何與代數(shù)的“雙重身份”,加之解法靈活多樣,備受命題者的青睞.縱觀歷年的高考及模擬試題,它們大多數(shù)都有優(yōu)美的幾何背景,因此,若能透過向量語言把握其幾何直觀,尤其其中一些試題若能挖掘出隱含的圓,可以避免復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算,能使問題快速獲解.下面舉例說明.

    1 半徑圓

    圖1 圖2

    2 直徑圓

    圖3

    例4已知向量a,β是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量,且(3α-γ)·(4β-γ)=0.則|γ|的最大值為.

    圖4

    3 四點(diǎn)圓

    若四邊形ABCD對(duì)角互補(bǔ),則A,B,C,D四點(diǎn)共圓.

    圖5

    4 極化圓

    圖7

    5 阿波羅尼斯圓

    上述介紹了借助隱圓解決平面向量問題,需要指出的是,在問題解決的過程中,并不是追求高難度的解題技巧,而是著眼于對(duì)數(shù)學(xué)問題和數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解,在重視幾何直觀的同時(shí),也不能忽視代數(shù)運(yùn)算.要引導(dǎo)學(xué)生達(dá)成“腦中有形”(亦即數(shù)學(xué)抽象、直觀想象),心中有數(shù)(亦即邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算),手中有術(shù)(亦即數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析)[2].

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