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    “三定法”教你輕松搞定函數(shù)圖象共存問題

    2022-04-16 19:07:09白銀市第十中學(xué)高麗娟
    中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年14期
    關(guān)鍵詞:正比例半軸象限

    白銀市第十中學(xué) 高麗娟

    1 引言

    圖象與性質(zhì)是函數(shù)中難以剝離的兩個內(nèi)容,要想提高函數(shù)整個知識點的理解與運用程度,就離不開分析它的圖象和性質(zhì)[1].所以,本文中推出“三定法”,嘗試探究與分析函數(shù)圖象的共存問題,以幫助學(xué)生掃除“障礙”.

    2 理論基礎(chǔ)

    函數(shù)圖象共存常涉及正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象,是同一直角坐標(biāo)系中一種或多種圖象的綜合.所以,要想解決圖象共存問題,先要弄清楚這幾種函數(shù)的圖象及性質(zhì),詳見表1.

    表1

    (續(xù)表)

    3 “三定法”說明及例析

    本文中所指的“三定法”,是解決函數(shù)圖象共存問題的一種方法,主要有如下三個步驟:

    第一,定圖象.由于函數(shù)圖象共存問題中常出現(xiàn)兩個圖象,所以以哪個圖象為基礎(chǔ)分析問題非常關(guān)鍵.選擇哪個圖象并沒有定法,可據(jù)題意靈活選擇.

    第二,定符號.在選擇基礎(chǔ)圖象后,就要根據(jù)該圖象分析出相應(yīng)系數(shù)的符號.如分析正比例函數(shù)中k的正負、一次函數(shù)中k和b的正負、二次函數(shù)中a和b,c的正負等.

    第三,定結(jié)論.在定好基礎(chǔ)圖象對應(yīng)的系數(shù)符號后,就需要將之與另一圖象對比.若系數(shù)的符號在兩個圖象中一致,則圖象可共存;反之,則圖象不可共存.

    本方法的三個步驟具有一定的順序,在分析問題時,只要任何一個順序錯誤,利用本種方法分析問題將無法達到預(yù)期效果.

    下面,結(jié)合例題分別從正比例函數(shù)和一次函數(shù)圖象、一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象、一次函數(shù)和二次函數(shù)圖象等幾種共存情形出發(fā),具體分析如何解決圖象共存問題.

    3.1 正比例函數(shù)和一次函數(shù)圖象共存

    例1如圖1,函數(shù)y=kx-k2和y=-kx(k為常數(shù),且k≠0)在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是( ).

    圖1

    解析:選項A中的正比例函數(shù)過二、四象限,所以-k<0,那么k>0.再看一次函數(shù)圖象,它過一、二、三象限,所以k>0,這一點與正比例函數(shù)中的k保持一致.如果k>0,那么-k2應(yīng)該小于0,所以一次函數(shù)的圖象應(yīng)該與y軸的負半軸相交.但是選項A中一次函數(shù)圖象與y軸交于正半軸.這一點矛盾,所以選項A錯誤.

    選項B中的正比例函數(shù)也是過二、四象限,所以-k<0,那么k>0.再看此時的一次函數(shù)圖象,它過一、三、四象限,所以k>0,這一點與正比例函數(shù)中的k保持一致.如果k>0,那么-k2<0,所以一次函數(shù)的圖象應(yīng)該與y軸的負半軸相交.選項B中一次函數(shù)圖象與y軸正好交于負半軸,所以選項B正確.

    選項C中的正比例函數(shù)是過一、三象限,所以-k>0,那么k<0.在同一平面直角坐標(biāo)系中的一次函數(shù)的圖象過一、二、四象限,所以k<0,這一點與正比例函數(shù)中的k保持一致.如果k<0,那么-k2<0,所以一次函數(shù)的圖象應(yīng)該與y軸的負半軸相交.然而,選項C中的一次函數(shù)圖象卻與y軸正半軸相交,由此判斷C錯誤.

    選項D中的正比例函數(shù)是過二、四象限,所以-k<0,那么k>0.在同一平面直角坐標(biāo)系中的一次函數(shù)的圖象過二、三、四象限,所以k<0,這一點與正比例函數(shù)中的k相反,矛盾.所以選項D錯誤.

    故本題應(yīng)選:B.

    評析:在分析本題中的每個選項時,“三定法”得到了完美展現(xiàn).首先,確定正比例函數(shù)圖象為基礎(chǔ)圖象,然后分析k的正負符號,再與另一直線對比尋找符號是否一致.從中也可以發(fā)現(xiàn),用“三定法”分析圖象共存問題時,需對每個選項逐個分析,直至找到符合題意的選項.

    3.2 一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象共存

    圖2

    圖3

    評析:這是近幾年中考考查圖象共存問題比較新穎的方式,與例1常規(guī)考法有較大差別,但“三定法”同樣適用,只是需作靈活處理.所以,在基礎(chǔ)題上作適當(dāng)延伸和拓展,對學(xué)生掌握“三定法”有利.

    4 “三定法”的注意事項

    首先,函數(shù)圖象共存問題中,通常會畫出若干種函數(shù)的圖象.學(xué)生在分析這類問題時,始終要注意分辨,不能混淆圖象,更不能將系數(shù)的正負符號分析錯誤.

    其次,函數(shù)圖象共存問題有多種不同的類型,無論是哪一類圖象共存問題,它們的解題方法都可利用本文提到的“三定法”.對與例2類似的圖象共存問題,則需根據(jù)所給出的圖分析出系數(shù)正負符號,然后再與所給選項對比,該類問題考查形式相對更加靈活,需引起注意.

    最后,對于多種函數(shù)解析式中相同的字母,它們的正負符號也一定相同.如例1中的“一次函數(shù)y=kx-k2和正比例函數(shù)y=-kx(k為常數(shù),且k≠0)”,這里的k不僅是比例系數(shù),而且-k2構(gòu)成了上述所講的b.分析時,一定要將此分離開,切忌混淆.

    5 結(jié)語

    總之,“三定法”作為本文提出的一種解決函數(shù)圖象共存問題的方法, 在整個使用過程中,要準(zhǔn)確把握與函數(shù)圖象及性質(zhì)有關(guān)的理論基礎(chǔ),這是三定法”解決問題的依據(jù),只有這樣才能分析兩個函數(shù)圖象是否存在矛盾之處,找到正確答案[2].

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