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    “類比教學(xué)”在高中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用
    ——以“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”為例

    2022-04-16 17:28:04哈爾濱師范大學(xué)教師教育學(xué)院
    中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年19期
    關(guān)鍵詞:零點(diǎn)圖象定理

    ?哈爾濱師范大學(xué)教師教育學(xué)院 譚 娜

    1 類比教學(xué)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用

    類比教學(xué)是一種很重要的教學(xué)手段,是教師在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生采用類比的方法找到知識(shí)間的相互聯(lián)系進(jìn)而分析問題、解決問題的一種教學(xué)[1],能幫助學(xué)生在新舊知識(shí)間搭建橋梁[2].在類比教學(xué)中,教師要善于抓住新舊知識(shí)的聯(lián)系,找到合適的類比形式.常見的類比教學(xué)法的分類有形式類比、過程類比以及思想類比[3].在教學(xué)過程中,教師要根據(jù)具體的知識(shí)內(nèi)容,選擇不同的類比形式.但無論是哪一種類比形式,在類比教學(xué)中都要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)之間的聯(lián)系,探索新知識(shí)的生成過程,從舊的知識(shí)規(guī)律中發(fā)現(xiàn)新的知識(shí)規(guī)律.

    類比教學(xué)在各個(gè)學(xué)科都有廣泛應(yīng)用,特別是在數(shù)理科學(xué)教學(xué)中,它是一種常見且十分重要的教學(xué)策略.眾多學(xué)者在課堂實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)類比教學(xué)不但有利于學(xué)生對知識(shí)的吸收,還有助于培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維能力.康穎教授將類比法運(yùn)用于物理教學(xué)中發(fā)現(xiàn),類比教學(xué)不但能提高教學(xué)效果,更重要的是能讓學(xué)生掌握類比聯(lián)想的思維方法[4].

    數(shù)學(xué)具有很強(qiáng)的抽象性和邏輯性,知識(shí)與知識(shí)之間有許多的聯(lián)系,類比是發(fā)現(xiàn)概念、公式和定理的重要手段.教師在教學(xué)中要注重類比思維的滲透和運(yùn)用,引導(dǎo)學(xué)生思考新知識(shí)與過去學(xué)過的哪些知識(shí)相似,找到新舊知識(shí)聯(lián)系的橋梁,借用舊知識(shí)中的規(guī)律來分析新知識(shí)中是否存在相應(yīng)的規(guī)律.在情境引入時(shí),創(chuàng)設(shè)類比情境,引導(dǎo)學(xué)生在熟悉的知識(shí)中發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的情境[5],此外,在知識(shí)生成、解題訓(xùn)練等環(huán)節(jié)中都可以運(yùn)用類比教學(xué)提高課堂效率.

    2 “函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”教學(xué)設(shè)計(jì)

    2.1 類比教學(xué)的運(yùn)用

    本節(jié)內(nèi)容舊教材在探究中提出:“一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與二次函數(shù)y=ax2+bx+c=0(a≠0)的圖象有什么關(guān)系?”通過探究活動(dòng),由特殊到一般,引出零點(diǎn)的概念,并得出一般函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)及其對應(yīng)方程的根三者之間的關(guān)系.新教材在預(yù)備知識(shí)中學(xué)習(xí)的“一元二次方程的實(shí)數(shù)根就是相應(yīng)二次函數(shù)的零點(diǎn)”為函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的學(xué)習(xí)奠定了知識(shí)基礎(chǔ),以“能否用相應(yīng)的函數(shù)來求解lnx+2x-6=0這種不能用公式求解的方程?”引入課堂.可以發(fā)現(xiàn),新舊教材雖然在知識(shí)的編排順序上有所變化,但是新知識(shí)(函數(shù)零點(diǎn)及零點(diǎn)定理)都是在舊知識(shí)(方程的根、二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)關(guān)系)的基礎(chǔ)上進(jìn)行類比、探究和延伸.

    因此,在“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”的教學(xué)中,教師可以類比二次函數(shù)的零點(diǎn)及其零點(diǎn)存在的特點(diǎn)來學(xué)習(xí)本節(jié)知識(shí),在二次方程及其相應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系的基礎(chǔ)上建立一般函數(shù)零點(diǎn)的概念,進(jìn)一步探究零點(diǎn)存在定理及其應(yīng)用,將類比方法和轉(zhuǎn)化思想運(yùn)用于教學(xué)中,培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的類比思維能力,達(dá)到事半功倍的效果.具體類比見表1.

    表1 “函數(shù)零點(diǎn)與方程的解”的類比表

    2.2 教學(xué)過程

    圖1 “函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”教學(xué)思維導(dǎo)圖

    2.2.1 設(shè)置懸念,問題引入

    在預(yù)備知識(shí)里我們學(xué)習(xí)了用二次函數(shù)的觀點(diǎn)來認(rèn)識(shí)一元二次方程,知道一元二次方程的實(shí)數(shù)根就是相應(yīng)二次函數(shù)的零點(diǎn).你能求解方程 lnx+2x-6=0嗎?能否采用類似的方法,用相應(yīng)的函數(shù)來研究它的解的情況呢?

    設(shè)計(jì)意圖:由熟悉的知識(shí)出發(fā),創(chuàng)設(shè)類比情境,激發(fā)學(xué)生的好奇心,引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)與方程的角度出發(fā),建立函數(shù)與方程之間的關(guān)系.

    2.2.2 類比探究,問題引導(dǎo)

    問題1求方程x2-2x-3=0的實(shí)數(shù)根并畫出其對應(yīng)的函數(shù)圖象,思考:該方程的根與相應(yīng)函數(shù)的圖象有什么聯(lián)系?

    思考1你能類比二次函數(shù)的零點(diǎn)得出一般函數(shù)的零點(diǎn)概念嗎?

    思考2函數(shù)的零點(diǎn)是點(diǎn)嗎?

    設(shè)計(jì)意圖:通過方程x2-2x-3=0和函數(shù)f(x)=x2-2x-3進(jìn)一步理解方程、函數(shù)、圖象三者之間的關(guān)系,有利于學(xué)生對知識(shí)的吸收和掌握,喚起舊知,引發(fā)新的思考.從特殊到一般,類比抽象出函數(shù)的零點(diǎn)概念,并建立方程、函數(shù)、圖象三者之間的關(guān)系,進(jìn)一步深入理解函數(shù)零點(diǎn)的概念并強(qiáng)調(diào)易錯(cuò)點(diǎn).

    問題2下列方程是否有解,并進(jìn)一步說明其相應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)是什么?

    (1)2x-3=0; (2)x2-2x-3=0;

    (3)x2-2x+2=0; (4)lnx+2x-6=0.

    追問:函數(shù)的零點(diǎn)在什么條件下存在呢?

    設(shè)計(jì)意圖:趁熱打鐵,通過求解方程來求函數(shù)零點(diǎn),加深學(xué)生對方程的解及其函數(shù)零點(diǎn)之間關(guān)系的理解.對于第(4)小題雖然無法求解但可以從函數(shù)圖象去猜零點(diǎn),為后面函數(shù)零點(diǎn)存在定理的探究做好鋪墊.

    問題3觀察函數(shù)f(x)=x2-2x-3的零點(diǎn)所在區(qū)間,此時(shí)函數(shù)圖象與x軸有什么關(guān)系?如何用函數(shù)f(x)的取值規(guī)律來刻畫這種關(guān)系呢?(提示:考慮f(a)·f(b)的正負(fù).)

    思考3如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上滿足f(a)·f(b)<0,那么該函數(shù)在此區(qū)間上一定有零點(diǎn)嗎?

    設(shè)計(jì)意圖:觀察二次函數(shù)存在零點(diǎn)時(shí)函數(shù)圖象的特征,引導(dǎo)學(xué)生觀察零點(diǎn)附近函數(shù)值的特點(diǎn),體會(huì)存在零點(diǎn)時(shí)函數(shù)圖象“穿過”x軸.學(xué)生合作交流找到零點(diǎn)及其所在區(qū)間,探究零點(diǎn)附近函數(shù)值的特點(diǎn),通過二次函數(shù)零點(diǎn)存在時(shí)的區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的特征類比歸納一般函數(shù)零點(diǎn)存在定理.

    2.2.3 定理辨析,知識(shí)運(yùn)用

    問題4如果函數(shù)y=f(x)的圖象在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)不斷的,且在區(qū)間 (a,b) 內(nèi)有零點(diǎn),那么是否一定有f(a)f(b)<0?

    問題5什么情況下函數(shù)有唯一一個(gè)零點(diǎn)?

    設(shè)計(jì)意圖:發(fā)散學(xué)生的思維,進(jìn)一步深入理解函數(shù)零點(diǎn)存在的條件,說明定理的條件充分而不必要,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.為進(jìn)一步推廣零點(diǎn)存在定理,強(qiáng)調(diào)零點(diǎn)存在定理只能判斷函數(shù)有零點(diǎn),但不能說明有幾個(gè)零點(diǎn);存在唯一零點(diǎn)時(shí),函數(shù)必須在區(qū)間上單調(diào).在不斷地追問和問題串的設(shè)置中讓學(xué)生深入理解零點(diǎn)存在定理滿足的條件以及零點(diǎn)存在定理的推論.

    問題6你能求解方程lnx+2x-6=0嗎?如果有解,有幾個(gè)呢?

    思考4你能判斷函數(shù)f(x)=lnx+2x-6 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)嗎?你能證明函數(shù)f(x)=lnx+2x-6 是增函數(shù)嗎?

    思考5由零點(diǎn)存在定理能說明函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn)嗎?

    設(shè)計(jì)意圖:從開頭提出問題到最后解決問題,進(jìn)一步加深學(xué)生對知識(shí)的理解和運(yùn)用,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)辨證能力;問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生的思考,歸納零點(diǎn)存在定理只能判斷函數(shù)是否有零點(diǎn),但不能確定零點(diǎn)個(gè)數(shù);通過師生共同探究加深學(xué)生對定理的理解,在定理探究的過程中提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的能力.

    2.2.4 反思總結(jié)

    (1)思考與總結(jié):求解一個(gè)方程有哪些方法?什么條件下適合用零點(diǎn)存在定理?本節(jié)課中,我們是如何從一元二次函數(shù)零點(diǎn)以及零點(diǎn)存在知識(shí)類比推廣得出一般函數(shù)的零點(diǎn)及其零點(diǎn)存在定理的?總結(jié)見圖2.

    圖2 “函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”類比教學(xué)圖

    (2)課后思考:如果函數(shù)f(x)=lnx+2x-6在區(qū)間(2,3)內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn),你能將這個(gè)零點(diǎn)的范圍盡量縮小嗎?

    設(shè)計(jì)意圖:回顧本節(jié)課知識(shí)形成的過程,體會(huì)類比思維在數(shù)學(xué)課堂的應(yīng)用,加深學(xué)生對函數(shù)零點(diǎn)與零點(diǎn)存在定理的理解和運(yùn)用.在課堂最后提出思考題,為后續(xù)學(xué)習(xí)埋下伏筆,使整個(gè)學(xué)習(xí)過程,形成一個(gè)有機(jī)的整體,為“二分法求方程的近似解”作鋪墊.

    3 教學(xué)反思

    在“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”中采用類比教學(xué),將二次函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解和函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解之間相結(jié)合,運(yùn)用類比思維,借助問題串的引導(dǎo),將新舊知識(shí)銜接,找到二者之間的聯(lián)系.引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)應(yīng)用類比思維學(xué)習(xí)新知識(shí),將性質(zhì)、形式等相近的問題聯(lián)系起來,轉(zhuǎn)化思路,這樣便能靈活地解決問題.特別是在零點(diǎn)定理的探究時(shí),以二次函數(shù)為切入點(diǎn),類比舊知識(shí)的規(guī)律,得到新知識(shí)的規(guī)律.

    類比思維是一種重要的邏輯思維方式,只有深入研讀教材,充分理解教材,才能真正做好育人的工作.類比教學(xué)不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,加強(qiáng)學(xué)生對知識(shí)的理解,啟發(fā)學(xué)生的思維[6],還能培養(yǎng)學(xué)生的猜想能力、遷移推理能力以及創(chuàng)新性思維能力[7].在數(shù)學(xué)課堂上,教師需要善于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)新舊知識(shí)之間的聯(lián)系,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

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