高中數(shù)學(xué)新教材函數(shù)建模內(nèi)容比較研究*
——以湘教版、人教A版和北師大版為例

?長(zhǎng)江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院 何 琴 郭金海

1 數(shù)學(xué)建模在高中數(shù)學(xué)教材中的意義

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》將“數(shù)學(xué)建?！绷腥霐?shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一.數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的素養(yǎng)[1].高中數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)通常以小組為單位進(jìn)行，有利于培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)意識(shí)和分工協(xié)作精神[2].數(shù)學(xué)建?？梢岳藗?cè)谛撵`上與數(shù)學(xué)的距離，促使人們?cè)趹?yīng)用過(guò)程中更好地品味數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)和熱愛(ài)數(shù)學(xué)，啟迪人們的數(shù)學(xué)心智，促進(jìn)優(yōu)秀數(shù)學(xué)人才的培養(yǎng)[3].所以，數(shù)學(xué)建模應(yīng)該是富有創(chuàng)新性的活動(dòng)，能激發(fā)起學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.

2 教材比較

2.1 數(shù)學(xué)建模例習(xí)題數(shù)量與模型類型比較分析

湘教版、人教A版和北師大版三套教材的編寫(xiě)側(cè)重點(diǎn)不同，對(duì)數(shù)學(xué)建模內(nèi)容設(shè)計(jì)重視程度各有千秋.湘教版必修(第一冊(cè))有關(guān)函數(shù)建模的主要內(nèi)容分布在教材的第四、五章，就篇幅而言占17頁(yè)，共計(jì)24道題；“湘教版的亮點(diǎn)在于涉及應(yīng)用的案例整體更具情境性”[4].而人教A版有關(guān)函數(shù)建模的主要內(nèi)容分布在教材第三、四、五章的函數(shù)應(yīng)用中，占29頁(yè)(包括數(shù)學(xué)建模專題)，共計(jì)31道題；從篇幅和數(shù)量來(lái)看，人教A版的題目數(shù)量最多，但更多的題目是為了讓學(xué)生熟悉問(wèn)題的求解，而對(duì)觀察實(shí)際情境、如何建立函數(shù)模型的思考是欠缺的，可見(jiàn)教材對(duì)例習(xí)題的質(zhì)量方面還有待提高.北師大版在題目數(shù)量上相對(duì)薄弱，主要分布在第五章和第八章(數(shù)學(xué)建模活動(dòng)專題)，占23頁(yè)，共計(jì)15道題；題目設(shè)置比較開(kāi)放、綜合性強(qiáng)，給學(xué)生更大的思考空間，著重培養(yǎng)學(xué)生觀察實(shí)際生活情景、運(yùn)用自己的方法解決問(wèn)題的能力；但在學(xué)生學(xué)完必修一基本內(nèi)容之后開(kāi)展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，將內(nèi)容編排在最后一章節(jié)，學(xué)生已經(jīng)學(xué)完函數(shù)的基本內(nèi)容，會(huì)忽視數(shù)學(xué)建模的重要性.

三套教材都對(duì)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)以及三角函數(shù)刻畫(huà)了一系列模型，涉及人口調(diào)查、金融投資、放射性物質(zhì)的衰減等較多現(xiàn)實(shí)生活中或者學(xué)科交叉的內(nèi)容，讓學(xué)生更能感受到數(shù)學(xué)既來(lái)源于生活，又能解決其實(shí)際問(wèn)題.其中湘教版和北師大版對(duì)冪函數(shù)模型應(yīng)用次數(shù)最多，而人教A版應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型最為頻繁.如果教材能夠讓學(xué)生對(duì)所學(xué)的函數(shù)模型都有接觸使用，了解各個(gè)函數(shù)模型在日常生活中的作用，遇到問(wèn)題能夠“對(duì)癥下藥”，不只側(cè)重某一方面，而是接觸更多原生態(tài)真實(shí)模型，才能讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)建模的魅力.

2.2 建模題目功能的比較分析

根據(jù)分析可以發(fā)現(xiàn)，湘教版在學(xué)完指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)后，通過(guò)幾種函數(shù)增長(zhǎng)快慢的比較，把不同類型的函數(shù)比喻成不同的人賽跑，如函數(shù)開(kāi)運(yùn)動(dòng)會(huì)、函數(shù)賽跑等，語(yǔ)言幽默，增加了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的趣味性.不同類型的模型之間進(jìn)行比較，找出跑得最快的函數(shù)，這樣的安排能讓學(xué)生更好地掌握不同類型函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)及其特點(diǎn).

湘教版在“形形色色的函數(shù)模型”例3中，1-4月的產(chǎn)量分別為1萬(wàn)臺(tái)，1.2萬(wàn)臺(tái)，1.3萬(wàn)臺(tái)，1.37萬(wàn)臺(tái).公司暫時(shí)不準(zhǔn)備增加設(shè)備和工人，為了保持供給和需求平衡，需要估測(cè)以后幾個(gè)月的產(chǎn)量.

用“超級(jí)畫(huà)板”進(jìn)行四個(gè)函數(shù)模擬(見(jiàn)圖1：一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù))，估算出無(wú)人機(jī)幾個(gè)月后的產(chǎn)量.一次函數(shù)模擬在不增加工人和設(shè)備的條件下，產(chǎn)量會(huì)每月增加1 000臺(tái)，這是不太可能的；二次函數(shù)模擬四月份的產(chǎn)量比實(shí)際產(chǎn)量少了700臺(tái)，8月之后產(chǎn)量為負(fù)數(shù)，很明顯不符合實(shí)際情況；利用冪函數(shù)模擬時(shí)，三月的產(chǎn)量比實(shí)際多了500臺(tái)，四月的產(chǎn)量比實(shí)際多了1 100臺(tái)，與實(shí)際產(chǎn)量差距較大；而在指數(shù)函數(shù)模擬過(guò)程中，四月的產(chǎn)量為1.35萬(wàn)臺(tái)，這與第四個(gè)月的實(shí)際產(chǎn)量比較接近.選擇函數(shù)模型時(shí)，不僅要考慮到生產(chǎn)的實(shí)際情況，同時(shí)還要使誤差最小，經(jīng)過(guò)篩選，選出指數(shù)函數(shù)為比較接近客觀實(shí)際的模型.其中在利用冪函數(shù)模擬時(shí)，將數(shù)據(jù)理想化，簡(jiǎn)化了建立函數(shù)模型的步驟，雖然便于求解，但是不利于學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)建模思維.

圖1

人教A版在函數(shù)的應(yīng)用中呈現(xiàn)了兩道分段函數(shù)例題，研究了生活中的稅收問(wèn)題和時(shí)間與路程問(wèn)題，對(duì)后面的人口模型、放射性物質(zhì)的衰減模型、投資回報(bào)模型以及獎(jiǎng)勵(lì)模型的學(xué)習(xí)起到了拋磚引玉的作用，由淺入深，逐步推進(jìn).在數(shù)學(xué)建模專題中，“85 ℃的綠茶降至60 ℃時(shí)飲用，口感最佳”，為解決“剛泡好的茶水在室溫25 ℃下達(dá)到最佳口感的時(shí)間”問(wèn)題，以小組為單位，首先利用秒表、溫度計(jì)等工具收集數(shù)據(jù)，然后整理數(shù)據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖，考慮到茶水溫度降至室溫就不能再降的事實(shí)，選取指數(shù)函數(shù)來(lái)近似地刻畫(huà)茶水溫度隨時(shí)間變化的規(guī)律，最后檢驗(yàn)這個(gè)函數(shù)模型與實(shí)際數(shù)據(jù)基本吻合，說(shuō)明剛泡好的茶水在室溫25 ℃下達(dá)到最佳口感大約需要7 min.在學(xué)生結(jié)束活動(dòng)后，教材通過(guò)數(shù)學(xué)建模的框圖(如圖2)概括了活動(dòng)過(guò)程，并給出了不同的選題供學(xué)生參考，使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的關(guān)聯(lián).類似于專題這樣完整的數(shù)學(xué)建模過(guò)程在教材中非常少見(jiàn)，更多的題目則是明確地告訴學(xué)生應(yīng)該用哪個(gè)函數(shù)模型，學(xué)生在練習(xí)的過(guò)程中，什么題型套用什么模型能迅速作出判斷，這種問(wèn)題更像是“披著數(shù)學(xué)建模頭紗的應(yīng)用題”，雖然為解題節(jié)省了大量的時(shí)間，但會(huì)讓學(xué)生缺失提出問(wèn)題以及自行建立數(shù)學(xué)模型的體驗(yàn)，很難提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

圖2

北師大版教材第五章對(duì)函數(shù)問(wèn)題進(jìn)行探究，其中實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)模型分為兩部分：實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)刻畫(huà)和利用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題.案例充分展示了建模的過(guò)程，有利于培養(yǎng)學(xué)生的建模思維.另外，完成一系列的建模過(guò)程后，結(jié)尾處總結(jié)了函數(shù)模型，同時(shí)在后面的習(xí)題中鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考或查閱資料，自行給出一般情況下的函數(shù)模型.不僅可以檢測(cè)學(xué)生知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，同時(shí)也可以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的興趣.在數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)專題中，以數(shù)學(xué)史——?dú)W拉的七橋問(wèn)題作為導(dǎo)入走進(jìn)數(shù)學(xué)建模，通過(guò)哥尼斯堡七橋問(wèn)題的解決展示了數(shù)學(xué)建模的過(guò)程和意義.為了更好地讓學(xué)生體驗(yàn)建模的過(guò)程，教材以綠燈亮?xí)r(每次亮綠燈的時(shí)長(zhǎng)為15 s)通過(guò)十字路口汽車的數(shù)量為例，經(jīng)過(guò)收集數(shù)據(jù)對(duì)相關(guān)因素的分析，提出幾個(gè)有利于建立模型、基本符合實(shí)際情況的假設(shè)，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題建立相關(guān)模型求解，最后到十字路口實(shí)地調(diào)查，對(duì)結(jié)論進(jìn)行檢驗(yàn)，在結(jié)尾處總結(jié)了數(shù)學(xué)建模的步驟(如圖3)，并摘錄了一些關(guān)于自然、社會(huì)和生活方面的問(wèn)題供學(xué)生參考.雖然北師大版的函數(shù)建模內(nèi)容與實(shí)際生活聯(lián)系緊密，但缺乏主線知識(shí)與數(shù)學(xué)建模之間的聯(lián)系.若一道題目涉及多種函數(shù)模型，則可以提高題目效用，像湘教版那樣對(duì)不同的函數(shù)模型進(jìn)行模擬，學(xué)生不僅能夠比較不同函數(shù)之間的特點(diǎn)，更能提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

從題目功能來(lái)看，教材都能很好地通過(guò)題目示范來(lái)引領(lǐng)學(xué)生提升建模能力.湘教版?zhèn)戎赜诤?jiǎn)化模型步驟，但不利于學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)建模思維.人教版更側(cè)重于提示學(xué)生選用哪種數(shù)學(xué)模型，卻很難達(dá)到培養(yǎng)獨(dú)立建立模型能力.北師大版則重視示范，綜合性強(qiáng)，培養(yǎng)思維育人能力，能幫助學(xué)生深刻理解建模，但與主線知識(shí)聯(lián)系不太緊密.

2.3 數(shù)學(xué)軟件的使用比較分析

依據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立模型后，數(shù)學(xué)軟件的輔助，一定能起到錦上添花的效果.湘教版涉及了四個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)板塊，介紹了如何用“超級(jí)畫(huà)板”畫(huà)函數(shù)圖象并插入相關(guān)表格，結(jié)合“超級(jí)畫(huà)板”進(jìn)行函數(shù)模擬從而解決實(shí)際問(wèn)題.人教A版和北師大版的信息技術(shù)應(yīng)用欄，也都利用了數(shù)學(xué)軟件《GeoGebra》繪制函數(shù)的圖象和表格.尤其是北師大版教材在閱讀材料部分專門介紹了《GeoGebra》，另外在第四章設(shè)置了“信息技術(shù)支持的函數(shù)研究”一節(jié)，以畫(huà)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象為基礎(chǔ)，研究其單調(diào)性以及變化規(guī)律，為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模提供了良好的技術(shù)支持.由于在該節(jié)內(nèi)容中沒(méi)有具體的數(shù)值，學(xué)生操作起來(lái)可能比較困難.雖然北師大版教材花費(fèi)了大量篇幅介紹了數(shù)學(xué)軟件的相關(guān)應(yīng)用，但在函數(shù)建模的過(guò)程中，并沒(méi)有借助《GeoGebra》軟件對(duì)函數(shù)進(jìn)行模擬，因此，學(xué)生既體驗(yàn)不到數(shù)學(xué)軟件的方便之處，又不能激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的興趣.與北師大版類似，人教A版在第四章結(jié)束后設(shè)置了建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的專題，用“茶水水溫問(wèn)題”來(lái)演示數(shù)學(xué)建模過(guò)程，如果能夠利用信息技術(shù)，通過(guò)函數(shù)擬合的方法選擇合適的函數(shù)模型，會(huì)大大地提高數(shù)學(xué)建模教學(xué)的效率，課堂教學(xué)氛圍也會(huì)更加濃厚，這是傳統(tǒng)的畫(huà)散點(diǎn)圖很難做到的.函數(shù)模型應(yīng)用中的資金投資模型雖然運(yùn)用了數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行函數(shù)模擬比較，但這個(gè)例子缺乏真實(shí)情境，不利于學(xué)生收集數(shù)據(jù)以及提出問(wèn)題.相比于這兩個(gè)版本，湘教版也同樣只有一道例題在進(jìn)行函數(shù)建模時(shí)借助了信息技術(shù)模擬.

通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)，這三個(gè)版本教材的數(shù)學(xué)軟件在函數(shù)模型中使用頻率并不高，盡管有篇幅介紹數(shù)學(xué)軟件的便利性和重要性，卻沒(méi)有將其應(yīng)用到模型中.如果教材能夠充分利用數(shù)學(xué)軟件幫助學(xué)生理解函數(shù)模型，則會(huì)對(duì)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)建模思想起到事半功倍的效果.比如，將數(shù)據(jù)用計(jì)算機(jī)繪制成圖象分析出合適的函數(shù)模型，以及根據(jù)實(shí)際情況修改模型等.

3 結(jié)論

依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，通過(guò)對(duì)三個(gè)不同版本教材中的數(shù)學(xué)建模內(nèi)容進(jìn)行分析，能夠促使教師對(duì)教材中建模內(nèi)容的重視，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng).建模題目功能的介紹幫助教師向?qū)W生傳達(dá)數(shù)學(xué)的價(jià)值，將生活與數(shù)學(xué)建立聯(lián)系，注重?cái)?shù)學(xué)模型的應(yīng)用.數(shù)學(xué)軟件的使用不僅讓圖象更加直觀形象地展示在學(xué)生面前，還能引導(dǎo)學(xué)生積極地參與到數(shù)學(xué)建模過(guò)程中去，提高學(xué)生的動(dòng)手操作能力，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有了新的認(rèn)識(shí).