應(yīng)用題審題三部曲
——以一道有理數(shù)加法應(yīng)用題為例

?江蘇省如皋市白蒲鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué) 駱建華

題目小亮用50元錢購買了10支鋼筆，準(zhǔn)備以一定的價(jià)格出售．如果每支鋼筆以6元的價(jià)格為標(biāo)準(zhǔn)，超出的部分記為正數(shù)，不足的部分記為負(fù)數(shù)，記錄如下：0.5，0.7，-1，-1.5，0.8，1，-1.5，-2.1，0.9，0.9.

(1)這10支鋼筆中售價(jià)最高的和售價(jià)最低的各是多少元？

(2)當(dāng)小亮賣完鋼筆后是盈利了，還是虧本了？

分析:這是一道與正負(fù)數(shù)意義有關(guān)的問題，是學(xué)生在學(xué)習(xí)了有理數(shù)加法后呈現(xiàn)的一道例題．由于本題處于人教版教材七年級(jí)上學(xué)期的第一單元中，是學(xué)生進(jìn)入第三學(xué)段后接觸到的第一類通過數(shù)學(xué)運(yùn)算解決的應(yīng)用題，因而，我們可以把此題的探索作為發(fā)展學(xué)生應(yīng)用題審題能力的開端，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷條件分析、思路探索和模型建構(gòu)的全過程，并從最初就形成審題的基本套路，為后面解決更復(fù)雜的應(yīng)用問題夯實(shí)基礎(chǔ)．基于這種想法，筆者建議按照如下步驟進(jìn)行審題教學(xué)．

1 通讀全題，分析內(nèi)涵結(jié)構(gòu)

審題教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生通讀全題的習(xí)慣是第一步．從小學(xué)到初中，學(xué)段跨越對(duì)學(xué)生的認(rèn)知水平和數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展要求大幅度提升．大量豐富的生活情境涌入學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)中，學(xué)生面對(duì)的數(shù)學(xué)問題不再只是幾十個(gè)字的單一文本陳述，百字以上的題目比比皆是．在這些大容量文本信息之外，題目有時(shí)還會(huì)配上豐富的圖形、符號(hào)及表格以承載更多的數(shù)學(xué)信息．這么多的信息，顯然不是簡單地看看就能準(zhǔn)確獲取的，更不要談一目十行快速瀏覽了．這需要學(xué)生學(xué)會(huì)分步審題，讓題目信息在“通讀到精讀”中逐步顯露出來．通讀，不是泛泛而讀，而是要結(jié)合題目有針對(duì)性地閱讀，在厘清題目內(nèi)涵的同時(shí)，也要分析出題目的基本架構(gòu)．以本文中的例題為例，通讀該題，我們至少要理清：(1)這是一個(gè)商品銷售問題，涉及到了商品的進(jìn)價(jià)、標(biāo)價(jià)、售價(jià)、總價(jià)、單價(jià)、利潤等數(shù)量信息.(2)本題的條件部分，呈現(xiàn)了(1)中的所有信息，問題部分包含求鋼筆的最高售價(jià)和最低售價(jià)，以及判斷鋼筆賣完后的盈利情況．這樣帶有目的性的通讀，能保證學(xué)生在兩個(gè)維度上獲取有益信息：一是本題是哪一類數(shù)學(xué)問題，這讓學(xué)生對(duì)接下來解題中可能會(huì)用到哪些數(shù)量關(guān)系有個(gè)初步了解，以保證對(duì)解題思路分析和解題模型選擇有一個(gè)大致方向；二是題目的條件與問題分布，也就是條件在何處，“問題”在哪兒，這對(duì)下一步精讀是很有意義的．初中學(xué)段中，不少數(shù)學(xué)問題的條件和所要求的結(jié)論是混在一起的，像本文中例題這樣分得開的，還是比較少.因此，讀題時(shí)若不能集中精力分析“給了什么”和“要求什么”，則會(huì)很容易暈頭轉(zhuǎn)向．通讀數(shù)學(xué)題，分清條件和結(jié)論的“方位”，將有利于學(xué)生集中注意力獲取關(guān)鍵信息，這雖是后話，此時(shí)介紹，將更有利于大家理解通讀的價(jià)值．通讀時(shí)，我們還應(yīng)厘清問題的具體內(nèi)涵及架構(gòu)，這不僅是下一步精讀的方向，也是我們找尋問題解決思路的方向．所以，在通讀的過程中，要重點(diǎn)分析題目的結(jié)論(或問題)，并嘗試把這些結(jié)論(或問題)與已有知識(shí)網(wǎng)絡(luò)中的知識(shí)點(diǎn)產(chǎn)生聯(lián)系，看看與誰有關(guān)，比如本題第(1)問中的最高售價(jià)就與標(biāo)準(zhǔn)售價(jià)及差額有關(guān).這樣將問題與關(guān)聯(lián)知識(shí)結(jié)合進(jìn)行分析，對(duì)下面的閱讀非常有利．

2 細(xì)讀題干，找出核心數(shù)量關(guān)系

應(yīng)用題教學(xué)，絕不能脫離數(shù)量關(guān)系來談思路分析與問題解決．不管是本文中用有理數(shù)加法解決的數(shù)學(xué)問題，還是后面用方程、不等式、函數(shù)解決的數(shù)學(xué)問題，其教學(xué)內(nèi)核都是數(shù)量關(guān)系．因此，引導(dǎo)學(xué)生分析題中的數(shù)量關(guān)系，應(yīng)成為應(yīng)用題教學(xué)的核心．那么，數(shù)量關(guān)系又在何處呢？筆者以為，在通讀全題后，我們應(yīng)從題目給定的條件中挖掘所有數(shù)量，探尋其中的相互關(guān)系，進(jìn)而挖掘出與所要解決的問題高度相關(guān)的數(shù)量關(guān)系．如本文例題中，50元是總進(jìn)價(jià)，10支是鋼筆的數(shù)量，每支6元是標(biāo)準(zhǔn)售價(jià)，而給出的0.5，0.7，-1，-0.9(單位：元)等是實(shí)際售價(jià)與標(biāo)準(zhǔn)售價(jià)間的差額．在這些量之間存在著“總售價(jià)=總進(jìn)價(jià)+利潤”“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”“實(shí)際售價(jià)-標(biāo)準(zhǔn)售價(jià)=差額”“每支鋼筆的售價(jià)之和=全部售價(jià)”等數(shù)量關(guān)系．這些數(shù)量關(guān)系中，究竟哪個(gè)最重要，哪些數(shù)量關(guān)系在問題解決中能發(fā)揮作用，這還要取決于題目的“問題”．這是后話，這里只說說如何從題干中搜尋核心數(shù)量．在通讀環(huán)節(jié)，我們已經(jīng)摸清了題目的類型，對(duì)題中可能存在的各種量和相互關(guān)系有一個(gè)初步的認(rèn)識(shí)，而題目中是否真的存在這些數(shù)量，以及這些數(shù)量間的關(guān)系是否真如預(yù)想中的那樣，還需要進(jìn)一步深挖條件．比如，一般商品銷售問題中，會(huì)有“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”，而細(xì)細(xì)分析本題的題干中，除“進(jìn)價(jià)50元，數(shù)量10支”間或許會(huì)存在這樣的關(guān)系外，其余的數(shù)量之間并無此關(guān)系，也就是說這一關(guān)系在本題并非核心數(shù)量關(guān)系.而題中給出的那些“用正負(fù)數(shù)表示的標(biāo)準(zhǔn)售價(jià)與實(shí)際售價(jià)間差額”的一組數(shù)據(jù)則顯示，近期所學(xué)的正負(fù)數(shù)的意義或許是本題應(yīng)用的重點(diǎn)．因而對(duì)差額獲得式子的變形及形成差額的過程則應(yīng)成為本題核心數(shù)量關(guān)系．所以教學(xué)時(shí)，必須引導(dǎo)學(xué)生理解“0.5，0.7，-1，……0.9”這組數(shù)據(jù)的真正含義．學(xué)生只有明確知曉“是如何獲得這組數(shù)據(jù)的”，才有可能把“實(shí)際售價(jià)”“標(biāo)準(zhǔn)售價(jià)”“售價(jià)差額”三個(gè)量及其關(guān)系式“售價(jià)差額=實(shí)際售價(jià)-標(biāo)準(zhǔn)售價(jià)”挖掘出來，并運(yùn)用到下面的析題解題中去．

3 解讀問題，找尋解題模型

對(duì)于一道數(shù)學(xué)題，問題是不可缺少的．明晰問題的含義，僅是解決問題的開端，無論是“通讀”，還是“細(xì)讀”都會(huì)兼顧到對(duì)題目問題的分析．但這種分析的深度尚不足以形成解決問題的思路，只有專門對(duì)問題進(jìn)行解讀，學(xué)生才能努力把腦海中與問題解決相關(guān)的知識(shí)關(guān)聯(lián)起來，也才有可能形成問題解決的思路．所以，在剖析題中數(shù)量關(guān)系，并找尋到核心的數(shù)量關(guān)系后，對(duì)問題的深度解讀就特別重要了．我們要反復(fù)研讀問題，多角度分析：要求什么？我們需要什么？題目給了什么？求出什么就可以解決問題？在這些小問題的反復(fù)思量與解決中，題目的內(nèi)涵、架構(gòu)及其蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系將進(jìn)一步明確，進(jìn)而問題解決的思路也將得到確認(rèn)．比如本題第(1)問的最高售價(jià)、最低售價(jià)，就涉及到了標(biāo)準(zhǔn)售價(jià)和實(shí)際售價(jià)兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)，而所求的就是實(shí)際售價(jià)的最大值與最小值．自然應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)售價(jià)與實(shí)際售價(jià)、差額之間的關(guān)系式解決問題，即“實(shí)際售價(jià)=標(biāo)準(zhǔn)售價(jià)+差額”.而由于標(biāo)準(zhǔn)售價(jià)是固定的6元/支，因此最大值就應(yīng)取差額的最大值代入上述模型計(jì)算，而最小值則同樣應(yīng)取差額最小值代入模型進(jìn)行求值．再如第(2)小問：盈利了，還是虧本了？這顯然是商品銷售中的利潤問題．利潤的求法有兩個(gè)常用模型：利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià)(下稱“模型1”)，利潤=進(jìn)價(jià)×利潤率．從題目給出的條件看，并沒有出現(xiàn)利潤率，顯然問題解決與第二個(gè)模型沒有太大的關(guān)系．所以接下來便是圍繞模型1的自我思辨．題中的售價(jià)有兩個(gè)：一個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)售價(jià)6元/支，另一個(gè)是實(shí)際售價(jià)，它等于“標(biāo)準(zhǔn)售價(jià)+差額”．所以問題的解決還是集中到標(biāo)準(zhǔn)售價(jià)與差額上來．如何求？有了上面的分析，顯而易見有兩個(gè)方法：一是把每支鋼筆的實(shí)際售價(jià)求出來，再去求“總售價(jià)-總進(jìn)價(jià)”的結(jié)果；二是整體考量，求出標(biāo)準(zhǔn)總售價(jià)與總差額之和即可得實(shí)際總售價(jià)，再去套用模型1求利潤即可．顯然方法二比方法一計(jì)算量小了不少，出錯(cuò)的可能性自然也會(huì)隨之減小.以上方法實(shí)際上是我們?cè)跀?shù)學(xué)問題解決中常用的方法，從條件出發(fā)思考問題，在問題分析中回看條件：有什么？能得到什么？還需要什么？一步步走來，解題模型自然也就出來了．

應(yīng)用題一直是數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)．多樣的問題情境，煩雜的數(shù)量關(guān)系，對(duì)學(xué)生獲取有用的解題信息形成了極大的干擾．如何排除干擾，讓思維行走在問題解決的正確道路上呢？筆者以為，培養(yǎng)學(xué)生的審題習(xí)慣是非常重要且十分有效的手段．階段性審題，將有利于學(xué)生集中注意力攻克時(shí)堅(jiān)，把問題解決的路徑分支化，在不斷充實(shí)、豐富中逐步形成完整的思路，達(dá)成解題目標(biāo)．所以，培養(yǎng)學(xué)生的審題習(xí)慣，應(yīng)從學(xué)生進(jìn)入初中后立即著手展開．要借助每一次數(shù)學(xué)問題的求解探索培養(yǎng)學(xué)生分步審題的習(xí)慣，讓學(xué)生在反復(fù)歷練中形成審題思維的范式，逐步形成個(gè)性化的分析問題和解決問題的策略．本文中，筆者所呈現(xiàn)的應(yīng)用題審題三部曲就是引玉之磚，僅供廣大師生參考，不當(dāng)之處，敬請(qǐng)批評(píng)指正．