一道圖形旋轉(zhuǎn)問題的解題突破與探究
——以2021年宿遷市中考旋轉(zhuǎn)壓軸題為例

?蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué) 陳 超

1 考題初探

考題(2021年江蘇宿遷中考數(shù)學(xué)試卷第27題)已知正方形ABCD與正方形AEFG，正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周.

圖1

(2)當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)至圖2位置時(shí)，連接CF和BE，分別取CF和BE的中點(diǎn)為M和N，連接MN，試探究MN與BE的關(guān)系，并說明理由；

圖2

(3)連接BE和BF，分別取BE和BF的中點(diǎn)為N和Q，連接QN，AE=6，請(qǐng)直接寫出線段QN掃過的面積.

思路突破：本題以正方形旋轉(zhuǎn)為背景開展幾何探究，屬于動(dòng)態(tài)幾何問題，解析突破需要把握運(yùn)動(dòng)規(guī)律，采用“化動(dòng)為靜”的策略，構(gòu)建幾何模型，利用性質(zhì)定理求解.下面逐問探究.

1.1 第(1)問的探究

第(1)問求正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí)其中的線段比例關(guān)系，問題中隱含了“手拉手”正方形模型，提取其中的相似關(guān)系即可求解線段比值.

圖3

1.2 第(2)問的探究

第(2)問取中點(diǎn)構(gòu)建了線段，可以考慮采用旋轉(zhuǎn)變換的方法，提取其中的全等關(guān)系，實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)化，再結(jié)合其中的幾何性質(zhì)探究關(guān)系.

如圖4,連接BM并延長使BM=MH，再連接FH，EH.可將△FMH視為是△CMB繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°所得，必然有全等關(guān)系，證明過程如下.因?yàn)镸是CF的中點(diǎn)，所以CM=MF.又知∠CMB=∠FMH，則△CMB≌△FMH.由全等性質(zhì)可得BC=HF，∠BCM=∠HFM.

圖4

在四邊形BEFC中，有∠BCM+∠CBE+∠BEF+∠EFC=360°，又知∠CBA=∠AEF=90°，所以∠BCM+∠ABE+∠AEB+∠EFC=360°-90°-90°=180°，∠HFE+∠ABE+∠AEB=180°，所以∠HFE=∠BAE.又知四邊形ABCD和四邊形AEFG為正方形，所以BC=AB=FH，EA=EF，則△BAE≌△HFE，從而BE=HE，∠BEA=∠HEF.因?yàn)椤螲EF+∠HEA=∠AEF=90°，所以∠BEA+∠HEA=90°=∠BEH，可證△BEH為等腰直角三角形.

1.3 第(3)問的探究

第(3)問中同樣取線段BE和BF的中點(diǎn)，求線段QN掃過的面積，顯然需要確定線段QN的運(yùn)動(dòng)軌跡.由于點(diǎn)Q和N兩點(diǎn)因旋轉(zhuǎn)而發(fā)生位置變化，可知點(diǎn)Q和N的軌跡為圓，因此，只需確定軌跡圓的圓心和半徑即可.

圖5

2 深度探究

上述一道中考幾何旋轉(zhuǎn)題中涉及到了眾多的知識(shí)點(diǎn)和幾何模型，如圖形旋轉(zhuǎn)、三角形相似、中位線性質(zhì)、圓環(huán)面積，以及“手拉手”模型等.其中第(3)問為考題的核心之問，考查學(xué)生對(duì)幾何運(yùn)動(dòng)規(guī)律的把握，從本質(zhì)上來看，可將其歸為線段旋轉(zhuǎn)掃過的圖形面積問題，下面對(duì)此進(jìn)一步深入探究.

2.1 線段旋轉(zhuǎn)歸納

對(duì)于線段旋轉(zhuǎn)掃過的圖形面積問題，需要關(guān)注兩點(diǎn)：一是旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)線段長度；二是二者的相對(duì)位置關(guān)系.尤其是后者，將直接決定旋轉(zhuǎn)圖形的形狀，以及適用的公式.以旋轉(zhuǎn)中心O和旋轉(zhuǎn)線段AB的相對(duì)關(guān)系為例，下面分三種情形加以探究.

(1)旋轉(zhuǎn)中心在旋轉(zhuǎn)線段上

旋轉(zhuǎn)中心在旋轉(zhuǎn)線段上，即旋轉(zhuǎn)線段繞著自身上的一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，則其旋轉(zhuǎn)圖形會(huì)出現(xiàn)兩種情形.如圖6-1,設(shè)AO=a，BO=b，a>b,旋轉(zhuǎn)角度為α.

圖6-1

圖6-2

圖6-3

(2)旋轉(zhuǎn)中心在旋轉(zhuǎn)線段的延長線上

當(dāng)然圖形的旋轉(zhuǎn)中心也可在旋轉(zhuǎn)線段的延長線上，如圖7-1所示.可設(shè)AO=a，BO=b，a>b,旋轉(zhuǎn)角度為α.

圖7-1

圖7-2

(3)旋轉(zhuǎn)中心不在旋轉(zhuǎn)線段及其延長線上

原考題就屬于該種情形，當(dāng)線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)分別是線段AB上到旋轉(zhuǎn)中心O的距離最長和最短點(diǎn)時(shí)，如圖8-1所示.可設(shè)AO=a，BO=b(a>b)，旋轉(zhuǎn)角度為α.

圖8-1

圖8-2

2.2 考題關(guān)聯(lián)探究

線段旋轉(zhuǎn)問題在初中數(shù)學(xué)中十分常見，其中的規(guī)律具有極強(qiáng)的應(yīng)用性，同時(shí)不同情形之間含有一定的聯(lián)系，本質(zhì)上同為環(huán)形及圓形的面積割補(bǔ).實(shí)際考查時(shí)常采用幾何探究的方式，下面結(jié)合實(shí)例進(jìn)一步探究.

問題(1)操作：如圖9-1，在線段AB所在直線上取一點(diǎn)O(點(diǎn)O在線段外)，線段AB繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，可得如圖9-2所示的圓環(huán)，則環(huán)形面積就為線段AB掃過的面積.記AB=2，OA=1，則線段AB掃過的面積為.

圖9-1

圖9-2

(2)如圖10所示，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠B=30°，AC=2.將△ABC繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，試判斷線段BC掃過的圖形，并求出圖形的面積.

圖10

(3)若將圖10中的Rt△ABC繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周，試判斷線段AB掃過的圖形，并求出圖形的面積.

分析：上述是關(guān)于幾何線段旋轉(zhuǎn)的問題，題目中所探究的3問實(shí)則就是線段相對(duì)于旋轉(zhuǎn)中心的三種情形，只需根據(jù)總結(jié)的規(guī)律來構(gòu)建面積模型即可.

解：(1)該情形為旋轉(zhuǎn)中心O在旋轉(zhuǎn)線段AB的延長線上，則線段AB掃過的面積為環(huán)形.由AB=2，OA=1，可得OB=3.所以環(huán)形的面積S=π(OB2-OA2)=8π.

(2)△ABC繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，該情形為旋轉(zhuǎn)中心A不在旋轉(zhuǎn)線段BC及其延長線上，則旋轉(zhuǎn)圖形為圓環(huán).在Rt△ABC中，可求得AB=2AC=4.故圓環(huán)的面積S=π(AB2-AC2)=12π.

圖11

評(píng)析：上述為幾何線段旋轉(zhuǎn)探究題，其中涉及到了線段旋轉(zhuǎn)的兩種情形，問題解析分兩步進(jìn)行.①判斷旋轉(zhuǎn)中心與旋轉(zhuǎn)線段的相對(duì)位置關(guān)系；②引入環(huán)形面積模型，確定圓的半徑，利用面積公式求解.

3 教學(xué)思考

上述以一道幾何旋轉(zhuǎn)考題為例進(jìn)行了探究，并立足核心之問開展深度探究，圍繞線段旋轉(zhuǎn)的三種情形構(gòu)建模型，并總結(jié)規(guī)律，對(duì)于理解線段旋轉(zhuǎn)，強(qiáng)化旋轉(zhuǎn)知識(shí)有著一定的幫助.下面基于教學(xué)實(shí)踐進(jìn)行深入反思.

3.1 關(guān)注幾何旋轉(zhuǎn)，挖掘旋轉(zhuǎn)本質(zhì)

上述考題以正方形旋轉(zhuǎn)為背景開展幾何探究，旋轉(zhuǎn)是圖形運(yùn)動(dòng)的重要形式，掌握?qǐng)D形旋轉(zhuǎn)的三要素及其特性十分重要.以上述考題為例，正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，其中旋轉(zhuǎn)中心為A，旋轉(zhuǎn)方向逆時(shí)針或順時(shí)針均可行，旋轉(zhuǎn)角度為360°，正方形旋轉(zhuǎn)到任何位置，其特性均不變.實(shí)際教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生理解旋轉(zhuǎn)的定義，并掌握?qǐng)D形旋轉(zhuǎn)的過程中從圖形全等的角度來理解旋轉(zhuǎn)，通過全等關(guān)系來把握旋轉(zhuǎn)特性.

3.2 把握模型特征，歸納模型特性

幾何壓軸題中往往綜合了眾多的幾何模型，利用模型將知識(shí)考點(diǎn)融合在一起.因此，解題探究要關(guān)注問題中的模型，提取模型特征，充分利用模型性質(zhì)來轉(zhuǎn)化問題條件.如上述考題實(shí)則以“手拉手”正方形相似模型為背景創(chuàng)設(shè)命題，該模型具有“相似”特性，包括正方形相似和三角形相似.以上述考題為例，題干中正方形ABCD與正方形AEFG顯然為相似關(guān)系，旋轉(zhuǎn)過程中衍生了△CAF∽△BAG.教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生提取模型，歸納模型的核心特性，并結(jié)合幾何知識(shí)加以證明，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)模型的理解.

3.3 探索問題內(nèi)涵，總結(jié)生成規(guī)律

考題的第(3)問本質(zhì)上是求旋轉(zhuǎn)線段掃過的圖形面積，并且旋轉(zhuǎn)中心不在旋轉(zhuǎn)線段及其延長線上，這是問題的本質(zhì)特征.上述基于旋轉(zhuǎn)線段進(jìn)行了深度探究，并立足三種情形總結(jié)圖形規(guī)律及面積公式，形成類型問題的解題策略，其探索過程具有一定的參考價(jià)值.教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生探索問題內(nèi)涵，挖掘問題本質(zhì)，基于問題特征開展深度探究，總結(jié)規(guī)律，幫助學(xué)生積累解題經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)思維.