開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律的理解

■胡 明

德國著名天文學(xué)家、物理學(xué)家開普勒經(jīng)過20 余年的潛心研究發(fā)現(xiàn)了一系列關(guān)于行星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,并將其總結(jié)為三條基本規(guī)律分別于1609年和1619年發(fā)表在《新天文學(xué)》和《宇宙和諧論》中,這就是我們現(xiàn)在所熟知的開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律。

一、開普勒第一定律

1.內(nèi)容:所有行星繞太陽運(yùn)行的軌道都是橢圓,太陽處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。

2.理解:開普勒第一定律指出了行星繞太陽的運(yùn)行軌跡是橢圓,而不是圓,因而行星與太陽之間的距離時(shí)刻在變化,行星運(yùn)行速度的大小和方向都在不斷改變。不同行星繞太陽運(yùn)行時(shí)的橢圓軌道是不同的,但太陽處在所有這些橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。

例1 下列關(guān)于開普勒第一定律的說法中正確的是( )。

A.太陽系中的所有行星都有一個(gè)共同的軌道焦點(diǎn)

B.行星的運(yùn)動(dòng)方向總是沿著軌道的切線方向

C.行星的運(yùn)動(dòng)方向總是與它和太陽的連線垂直

D.火星繞太陽沿橢圓軌道運(yùn)行時(shí),其線速度大小保持不變

根據(jù)開普勒第一定律可知,太陽系中的所有行星都圍繞著太陽沿不同的橢圓軌道運(yùn)行,太陽位于這些橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)上,選項(xiàng)A 正確。行星的運(yùn)動(dòng)方向總是沿著橢圓軌道的切線方向,選項(xiàng)B正確。當(dāng)行星從近日點(diǎn)向遠(yuǎn)日點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),行星的運(yùn)動(dòng)方向與它和太陽連線的夾角大于90°,當(dāng)行星從遠(yuǎn)日點(diǎn)向近日點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),行星的運(yùn)動(dòng)方向與它和太陽連線的夾角小于90°,選項(xiàng)C錯(cuò)誤?；鹦抢@太陽沿橢圓軌道運(yùn)行時(shí),其線速度大小和方向都在時(shí)刻變化,選項(xiàng)D 錯(cuò)誤。

答案：AB

二、開普勒第二定律

1.內(nèi)容:任意一個(gè)行星與太陽的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過的面積都相等。

2.理解:開普勒第二定律給出了行星繞太陽公轉(zhuǎn)時(shí)面積與時(shí)間的關(guān)系,根據(jù)開普勒第二定律可以推導(dǎo)出行星在近日點(diǎn)的線速度大于在遠(yuǎn)日點(diǎn)的線速度,在近日點(diǎn)的角速度大于在遠(yuǎn)日點(diǎn)的角速度,在近日點(diǎn)的加速度大于在遠(yuǎn)日點(diǎn)的加速度。

例2 根據(jù)天文觀測(cè),土星繞太陽運(yùn)行的軌跡如圖1 所示,當(dāng)土星沿其橢圓軌道從A點(diǎn)向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),下列關(guān)于土星的線速度v,加速度a,角速度ω的關(guān)系式中正確的是( )。

圖1

A.vA＞vB,aA＞aB,ωA＞ωB

B.vA＞vB,aA＜aB,ωA＞ωB

C.vA＜vB,aA＜aB,ωA＜ωB

D.vA＞vB,aA＜aB,ωA＜ωB

當(dāng)土星沿其橢圓軌道從A點(diǎn)向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),即從近日點(diǎn)向遠(yuǎn)日點(diǎn)運(yùn)動(dòng),根據(jù)開普勒第二定律可知,其線速度、加速度和角速度均逐漸減小,即vA＞vB,aA＞aB,ωA＞ωB。

答案：A

三、開普勒第三定律

3.拓展:開普勒第三定律不僅適用于行星繞太陽的橢圓運(yùn)動(dòng),也適用于任意天體繞中心天體的橢圓運(yùn)動(dòng),以及近似處理時(shí)任意天體繞中心天體的圓周運(yùn)動(dòng)。中心天體不同,則比值k也不同,即比值k是一個(gè)只與中心天體有關(guān)的常量。

例3 如圖2所示,“嫦娥五號(hào)”返回器在半徑為R的圓形軌道上繞地球穩(wěn)定運(yùn)行,其周期為T。當(dāng)“嫦娥五號(hào)”返回器獲得月壤樣品,需要將樣品帶回地球時(shí),可在其運(yùn)行軌道上某一點(diǎn)A,將速率減小到適當(dāng)數(shù)值,從而沿著以地心為焦點(diǎn)的橢圓軌道運(yùn)行(橢圓軌道與地球表面相切于B點(diǎn))。設(shè)地球半徑為r,則“嫦娥五號(hào)”返回器從A點(diǎn)返回到地面B點(diǎn)所需的時(shí)間為( )。

圖2