低通濾波器對(duì)時(shí)延耦合振子系統(tǒng)振幅死亡的影響

劉維清，劉漢昌,朱云，許海燕

(1.江西理工大學(xué) 理學(xué)院,江西 贛州 341000;2.贛南衛(wèi)生健康職業(yè)學(xué)院,江西 贛州 341000)

自然界許多系統(tǒng)可以用耦合非線性振子來(lái)描述,雖然組成系統(tǒng)的每個(gè)個(gè)體具有各自的振蕩節(jié)律,但通過(guò)各種形式的相互作用后,耦合振子系統(tǒng)可以表現(xiàn)出有豐富的自組織動(dòng)力學(xué)行為,如各種形式的同步[1-3]和振幅死亡[4-5].其中耦合振子系統(tǒng)的振幅死亡現(xiàn)象對(duì)理解生命節(jié)律、工程減振、斑圖結(jié)構(gòu)形成和系統(tǒng)老化具有重要的意義.

耦合振子系統(tǒng)的振幅死亡是指相互作用的振子系統(tǒng)，由于個(gè)體間存在頻率失配[6]或耦合作用信號(hào)傳遞產(chǎn)生的時(shí)間延遲[7]或耦合通道的響應(yīng)特性[8-9]等因素影響下而停止振動(dòng)的現(xiàn)象.有證據(jù)表明神經(jīng)退行性疾病的產(chǎn)生與互相耦合作用的神經(jīng)元的振幅死亡密切相關(guān)[10]，且可以通過(guò)壓制某些不利的振蕩態(tài)來(lái)控制治療這些疾病[11].自從瑞利勛爵[12]首次觀先察到管風(fēng)琴的相鄰管子會(huì)因相互作用而出現(xiàn)消音現(xiàn)象以來(lái),人們?cè)谠S多耦合振子系統(tǒng)中(如生物系統(tǒng)[13],化學(xué)系統(tǒng)[14],激光系統(tǒng)[15],工程系統(tǒng)[16])觀察到振幅死亡現(xiàn)象.耦合振子系統(tǒng)振幅死亡的產(chǎn)生條件不僅受系統(tǒng)之間的頻率失配的空間分布影響[17-18],還受耦合作用的不對(duì)稱性[19]和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的影響.在規(guī)則網(wǎng)絡(luò)[20]、隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)[21]和無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)[22]中,耦合系統(tǒng)走向振幅死亡的過(guò)程和條件均有所不同.此外,耦合作用的信號(hào)傳遞通道的特性對(duì)振幅死亡也具有顯著影響.耦合通道的特性主要有幅頻特性和相頻特性.耦合通道的相頻特性中,信號(hào)通道對(duì)所傳遞信號(hào)產(chǎn)生的時(shí)間延遲會(huì)導(dǎo)致耦合系統(tǒng)由振蕩態(tài)走向振幅死亡態(tài)[23].鄒為等人[24]發(fā)現(xiàn)部分耦合通道存在時(shí)間延遲有利于促進(jìn)振幅死亡.在排斥耦合中存在時(shí)間延遲時(shí),耦合系統(tǒng)會(huì)從振蕩態(tài)走向振幅死亡態(tài).耦合通道的幅頻特性[25]對(duì)振幅死亡的穩(wěn)定性有較大的影響.當(dāng)耦合通道具有低通濾波特性時(shí),會(huì)抑制頻率高于某一臨界值的信號(hào),從而對(duì)耦合振子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為產(chǎn)生影響[26].如在平均場(chǎng)耦合作用下,具有不同截止頻率的低通濾波器會(huì)使系統(tǒng)從振蕩態(tài)過(guò)渡到各種形式的振幅死亡[27].同時(shí)低通濾波器也可以使耦合振子系統(tǒng)產(chǎn)生振蕩態(tài)與振蕩死亡態(tài)共存現(xiàn)象.而在時(shí)延系統(tǒng)中,對(duì)自反饋信號(hào)引入低通濾波特性的通道后,可以使耦合振子的振幅死亡區(qū)域減小甚至消失[28].低通濾波器是否可以使有時(shí)延的耦合系統(tǒng)的振幅死亡區(qū)域增大?為了弄清這一問(wèn)題,以時(shí)延耦合朗道周期振子為模型,考慮耦合通道的低通濾波特性對(duì)耦合振子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響.結(jié)果表明,當(dāng)耦合振子系統(tǒng)的耦合通道具有低通濾波特性時(shí),其截止頻率的減小有利于耦合振子系統(tǒng)走向振幅死亡.

1 模 型

為了更好地研究耦合通道的濾波特性對(duì)耦合時(shí)延系統(tǒng)振幅死亡的影響,引入耦合朗道振子模型為研究對(duì)象

(1)

其中，j=1,2，k=1,2表示耦合振子數(shù)，且j≠k,Zj(t)=xj(t)+iyj(t)為振子j的復(fù)變量，ε為振子之間的相互作用強(qiáng)度，τ為耦合通道的時(shí)間延遲量,α-1為低通濾波器的截止頻率,Sk(t)為耦合通道對(duì)Zk(t)進(jìn)行濾波后的輸出信號(hào).濾波器對(duì)頻率低于α-1的信號(hào)會(huì)進(jìn)行抑制.ωj為振子j的振蕩頻率ωj，對(duì)于給定不為0的頻率ωj，單個(gè)子系統(tǒng)會(huì)以頻率ωj作周期振蕩.當(dāng)通道不存在濾波特性時(shí),即(α=0)時(shí),Sk(t)=Zk(t).

2 理論分析

為了研究耦合通道的濾波特性對(duì)有時(shí)延的耦合振子振幅死亡的影響，先考查耦合振子系統(tǒng)固定點(diǎn)(0,0)的穩(wěn)定性.令Z1=Z2=0,S1=S2=0， 并引入微擾量ξi，則微擾的動(dòng)力學(xué)演化可由其特征方程

(2)

確定.考慮2個(gè)全同耦合振子，有ω1=ω2=ω，方程(2)可化簡(jiǎn)為

(1+iω-ε-λ)(α-1+λ)=±α-1εe-λτ.

(3)

特別地，當(dāng)α=0時(shí)，截止頻率趨向于無(wú)窮，可以看成是耦合通道對(duì)通過(guò)其的信號(hào)Zj沒(méi)有濾波作用.此時(shí)，耦合振子的特征方程[7]可以寫(xiě)成

1+iω-ε-λ=±εe-λτ.

(4)

振幅死亡域?qū)?yīng)于方程(4)中實(shí)部小于0的特征值λ，所以令λ的實(shí)部為0可得振幅死亡與振蕩區(qū)域的臨界線

(5)

振幅死亡區(qū)域?yàn)?5)式中2曲線所圍區(qū)域.若2曲線不相交，則耦合振子系統(tǒng)在此參數(shù)下不存在振幅死亡.在振子振蕩頻率為ω=4時(shí)，τ～ε參數(shù)空間中實(shí)線τa和虛線τb沒(méi)有共同的區(qū)域，所以耦合系統(tǒng)在此頻率下沒(méi)有振幅死亡島，不存在振幅死亡現(xiàn)象如圖1(a)所示.

當(dāng)α≠0時(shí)，耦合通道存在低通濾波特性，此時(shí)耦合振子振幅死亡區(qū)域的臨界線可由方程(3)中使特征值實(shí)部等于0得到.由于該方程是超越方程，無(wú)法得到解析的結(jié)果，可通過(guò)數(shù)值計(jì)算得到濾波器具有不同截止頻率時(shí)的振幅死亡區(qū)域.

3 耦合通道濾波特性對(duì)耦合時(shí)延系統(tǒng)振幅死亡島的影響

為了探討耦合通道的低通濾波特性對(duì)時(shí)延耦合振子系統(tǒng)的振幅死亡區(qū)域的影響，分別計(jì)算振蕩頻率為ω=7,9時(shí)，通道的低通濾波器的截止頻率α-1=30,40,60,80,在參數(shù)空間(τ,ε)振幅死亡島的區(qū)域.如圖2(a,b)可知，隨著低通濾波器的截止頻率減小，與沒(méi)有低通濾波器通道時(shí)的振幅死亡島相比(粗實(shí)線所圍區(qū)域)，振幅死亡島的面積逐漸增加.因此，通道的濾波特性有利于耦合振子的振幅死亡.

為了更好地確定耦合通道的低通濾波器的截止頻率對(duì)振幅死亡島的影響，引入了歸一化參量R=S(α)/S0；其中S(α)表示低通濾波器的截止頻率為α-1時(shí)，振幅死亡島的區(qū)域面積，S0表示參數(shù)給定的參數(shù)范圍τ∈[0,0.9],ε∈[0,35]的區(qū)域總面積.在不同振蕩頻率下，R和α的函數(shù)關(guān)系如圖3所示.結(jié)果表明，對(duì)于具有不同振蕩頻率的振子系統(tǒng)，振幅死亡島的面積會(huì)隨著低通濾波器的截止頻率α-1的減小先快速增加，然后緩慢增加至某一穩(wěn)定值.頻率越大，最終穩(wěn)定的死亡區(qū)域面積越大，且達(dá)到穩(wěn)定值所需的截止頻率α-1越大.注意到當(dāng)ω=3時(shí)耦合振子系統(tǒng)在無(wú)通道濾波器時(shí)不存在振幅死亡現(xiàn)象，而加入通道濾波特性后，隨著截止頻率α-1減小到3.32時(shí)才開(kāi)始出現(xiàn)振幅死亡島.因此，低通濾波器有利于2個(gè)耦合時(shí)延振子產(chǎn)生振幅死亡.值得注意的是鄒為等人[28]發(fā)現(xiàn)通道的低通濾波器截止頻率減少有利于促進(jìn)耦合振子振蕩，減小振幅死亡區(qū)域.其低通濾波器是對(duì)自反饋的信號(hào)進(jìn)行濾波，而本文中的低通濾波器是對(duì)來(lái)自耦合振子的信號(hào)進(jìn)行濾波，在實(shí)際耦合系統(tǒng)中更具普適性.

4 時(shí)延混沌振子中濾波器對(duì)振幅死亡島的影響

為了進(jìn)一步研究耦合通道低通濾波器對(duì)時(shí)延耦合振子系統(tǒng)振幅死亡的影響的普適性，考查耦合混沌振子系統(tǒng)，以耦合R?ssler振子系統(tǒng)為例，

(6)

沒(méi)有時(shí)延和通道濾波特性時(shí)，耦合全同混沌振子會(huì)隨著耦合強(qiáng)度的增加而走向完全同步態(tài).當(dāng)耦合通道只存在時(shí)間延時(shí)而無(wú)低通濾波特性時(shí)，耦合系統(tǒng)會(huì)在參數(shù)空間(τ,ε)存在振幅死亡區(qū)域如圖4(a)中的粗實(shí)線所包圍區(qū)域.耦合通道同時(shí)存在時(shí)延和低通濾波特性時(shí)，隨著濾波器的截止頻率α-1減少，耦合振子系統(tǒng)的振幅死亡區(qū)域增加.隨著截止頻率α-1的減少，振幅死亡區(qū)域先快速增大，然后緩慢增加，且單個(gè)振子的振蕩頻率越大，振幅死亡區(qū)域的面積也越大，其變化規(guī)律與前面耦合周期振子的結(jié)果相似.與耦合周期振子的情形不同的是，截止頻率較小時(shí)，耦合振子的振幅死亡島的面積才趨于穩(wěn)定值.

5 全聯(lián)通網(wǎng)絡(luò)中濾波器對(duì)振幅死亡島的影響

為了研究耦合通道的濾波特性對(duì)振幅死亡影響的一般性，進(jìn)一步討論耦合全連通網(wǎng)絡(luò).簡(jiǎn)單起見(jiàn)，以N=3為例，討論全連通耦合網(wǎng)絡(luò)模型中的朗道振子振幅死亡現(xiàn)象.

(7)

其中，Sk(k=1,2,3,…,N)為低通濾波器，當(dāng)耦合通道沒(méi)有濾波器時(shí)，耦合振子在參數(shù)空間(τ,ε)的振幅死亡島在ω≥4時(shí)才存在.分別以ω=7,9為例，通過(guò)數(shù)值計(jì)算分別得到濾波器在不同的截止頻率α-1=30,40,60,80時(shí)耦合振子在參數(shù)空間(τ,ε)的振幅死亡島如圖5(a,b)中細(xì)實(shí)線所包圍的區(qū)域.其中粗實(shí)線所包圍區(qū)域?yàn)闊o(wú)低通濾波器時(shí)的振幅死亡島.結(jié)果表明，耦合全連通網(wǎng)絡(luò)中，隨著通道濾波器的截止頻率α-1減小，振幅死亡島面積逐漸增加.且初始頻率ω越大，振幅死亡島的區(qū)域也越大.

同樣地，由歸一化參量R與α的關(guān)系圖6可以看出，隨著α的增加，振幅死亡區(qū)域先快速地增加，然后緩慢增加到某一穩(wěn)定值.該穩(wěn)定值隨著單個(gè)振子的頻率ω的增加而相應(yīng)地增加，此外，ω越大趨向于穩(wěn)定所需的α值越小.因此，在全連通網(wǎng)絡(luò)中低通濾波器的截止頻率對(duì)振幅死亡島的影響規(guī)律與2個(gè)耦合振子系統(tǒng)的結(jié)果相似.

6 結(jié) 論

耦合振子系統(tǒng)的通道特性對(duì)耦合振子系統(tǒng)的振幅死亡具有顯著的影響.低通濾波效應(yīng)越強(qiáng)，越有利于促進(jìn)耦合振子的振幅死亡.此規(guī)律在耦合周期、混沌振子系統(tǒng)，局域耦合和全連通耦合系統(tǒng)均具有普適性.因耦合通道的濾波特性在工程中具有普適性，對(duì)耦合振子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響規(guī)律可為工程中系統(tǒng)的減振，生物節(jié)律的控制提供理論支持.此外濾波器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)，因此局部濾波器方案在實(shí)驗(yàn)上具有可行性，可以應(yīng)用于非線性電路、混沌控制、耦合激光器和神經(jīng)系統(tǒng)等.