引領(lǐng)學(xué)生“搭橋鋪路”培養(yǎng)幾何直觀能力

趙愛鳳

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》把“幾何直觀”列入十個核心概念中，這標(biāo)志在我國數(shù)學(xué)課程改革的大潮中，學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)得到高度重視。幾何直觀里的“幾何”指的是圖形，“直觀”指的是看到的以及根據(jù)看到的東西思考、想象到的。幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。在學(xué)習(xí)活動中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合的思想，借助語言與思維互換的習(xí)慣，培養(yǎng)其應(yīng)用幾何直觀解決問題的能力。

一、尋尋覓覓——搭數(shù)學(xué)與生活之橋

數(shù)學(xué)源于生活又高于生活。目前許多學(xué)生從蹣跚學(xué)步開始，陪伴他們的大多是電子游戲、動畫片，他們認(rèn)識更多的是虛擬世界，對身邊的事與物知之甚少，極缺生活經(jīng)驗(yàn)。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)脫離了生活猶如無根之樹，因此教師要重視生活化要素的融入，培養(yǎng)學(xué)生的直觀感受能力。

（一）創(chuàng)設(shè)生活情境，感受數(shù)學(xué)源于生活

現(xiàn)在我們所要求的教育目標(biāo)是培養(yǎng)孩子會批判性地思考、清晰地表達(dá)及解決復(fù)雜科學(xué)問題的能力。數(shù)學(xué)新課標(biāo)也指出：學(xué)生能體會數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。數(shù)學(xué)教學(xué)已不再是簡單數(shù)學(xué)知識的傳授，而是讓學(xué)生從思想深處體會、感悟，因此，教學(xué)應(yīng)基于學(xué)生的前知識而展開。要實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)“讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系”，教師需要創(chuàng)設(shè)合理的生活情境，讓學(xué)生在探究數(shù)學(xué)知識同時感受數(shù)學(xué)源于生活。如教學(xué)“小數(shù)初步認(rèn)識”一課，由于學(xué)生在日常生活中，沒有留心觀察事物的習(xí)慣和意識，從前測單中發(fā)現(xiàn)大部分孩子都沒有見過小數(shù)。據(jù)此，教學(xué)時，就呈現(xiàn)“超市秒殺西紅柿一斤0.1元”“醫(yī)生給小華量的體溫是36.6攝氏度”“一本新華字典25.25元”“樂樂身高1.3米”等生活情境圖組，學(xué)生在熟悉的場景中認(rèn)小數(shù)、讀小數(shù)，感悟“這就是小數(shù)，它就在我們平常逛超市中，量校服中、量體重中等”從而體會到生活中處處有數(shù)學(xué)。

可見，生活情境的創(chuàng)設(shè)一方面有助于幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，以生活為跳板，讓抽象化概念化的數(shù)學(xué)知識，變成具有一定生活實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)和實(shí)踐體驗(yàn)的生活閱歷，學(xué)生在理解和學(xué)習(xí)的過程當(dāng)中所面對的困難和問題會進(jìn)一步減少，另外一方面將生活化教學(xué)生活情境引入到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中，可以讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和生活之間的關(guān)系，端正自己的態(tài)度，意識到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性和必要性，進(jìn)而在課堂學(xué)習(xí)的過程中更加集中注意力提高教學(xué)效率。

（二）尋找身邊數(shù)學(xué)，培養(yǎng)應(yīng)用意識

小學(xué)階段的數(shù)學(xué)課程主要是向?qū)W生傳授人類長期以來在勞動生產(chǎn)過程中積累起來的經(jīng)驗(yàn)。這就要求學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，不能僅僅停留在知識的掌握與領(lǐng)會層面上，還應(yīng)學(xué)會尋找知識原型，用知識解釋生活現(xiàn)象和解決生活實(shí)際問題。同時，具有用數(shù)學(xué)的眼光、從數(shù)學(xué)的角度觀察和分析生活中的問題的積極心理傾向和思維反應(yīng)的意識。教學(xué)時，應(yīng)讓學(xué)生從課堂走向家庭、走向社會，在完成實(shí)踐作業(yè)、參加實(shí)踐活動中形成應(yīng)用意識。如學(xué)習(xí)了“百分?jǐn)?shù)的意義”一課，教師布置了這樣的作業(yè)：收集生活中常見的百分?jǐn)?shù)，給家人或同伴說說百分?jǐn)?shù)的具體含義。學(xué)生從家里找到自己穿的一件衛(wèi)衣含棉量是100%，知道整件都是棉成分。另一件衛(wèi)衣含棉量90%，知道這件衣服棉含質(zhì)量占整件衣服質(zhì)量的百分之九十，還有百分之十是其他成分。還有的學(xué)生在經(jīng)常喝的牛奶的包裝盒上找到了百分?jǐn)?shù)，知道100毫升的牛奶里，鈣含量占15%，得出純牛奶可以補(bǔ)鈣的結(jié)論等。學(xué)生在尋找生活中的數(shù)學(xué)中，深刻體會到數(shù)學(xué)在生活中廣泛的應(yīng)用。當(dāng)他們在生活中遇到類似問題時，自然而然萌生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識來解決問題的想法。

通過這種方式教師可以在實(shí)踐教學(xué)展開的過程中有效地培養(yǎng)學(xué)生的主觀意識和學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用習(xí)慣，讓學(xué)生學(xué)會善于發(fā)現(xiàn)生活當(dāng)中的數(shù)學(xué)知識，進(jìn)而與所學(xué)過的知識相呼應(yīng)，在生活實(shí)踐的過程中也可以不斷地提高自身對數(shù)學(xué)概念的理解能力和應(yīng)用能力，在應(yīng)用理解分析探索的過程中不斷夯實(shí)理論基礎(chǔ)。

二、擺擺畫畫——搭“數(shù)”與“形”之橋

“數(shù)”與“形”是貫穿整個小學(xué)數(shù)學(xué)教材的兩條主線，是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的基本內(nèi)容?！皵?shù)無形，少直觀;形無數(shù)，難入微?！睌?shù)形結(jié)合能使“數(shù)”和“形”統(tǒng)一起來，以形助數(shù)、以數(shù)輔形，可以使所要解決的問題化難為易，化繁為簡。教師要把數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系與空間形式結(jié)合起來進(jìn)行思考，從而使“數(shù)”與“形”各展其長，優(yōu)勢互補(bǔ)，相輔相成，使邏輯思維與形象思維完美地統(tǒng)一起來。在教學(xué)中，要幫助學(xué)生在“數(shù)”與“形”之間架起橋梁，形成數(shù)形結(jié)合的思想。

（一）基于學(xué)具操作，打通數(shù)形關(guān)系

根據(jù)形象的思維去認(rèn)識世界是我們?nèi)祟惙浅Ｔ己捅灸艿囊环N能力，我們的大腦記憶圖像的能力遠(yuǎn)遠(yuǎn)勝過記憶抽象的公式、法則、定理等的能力?！皩W(xué)習(xí)金字塔”理論也告訴我們：“多維的、互動式學(xué)習(xí)加實(shí)踐”的模式是最有效的。據(jù)此，教學(xué)中，依托學(xué)具操作，進(jìn)行多層次的活動設(shè)計(jì)，為學(xué)生提供支持，讓他們在對比、選擇中不斷抽象、剝離、概況、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，打通直觀與抽象的聯(lián)系，建立“數(shù)”與“形”的關(guān)系。如教學(xué)“8的分與會”一課時，讓學(xué)生拿出8個圓片，動手分成兩堆，可以有幾種分法。學(xué)生依據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)把8個圓片分成4個和4個、7個和1個、3個和5個、2個和6個、5個和3個、1個和7個，此時，學(xué)生對8的分法在學(xué)具的幫助下有了初步的感知。教師進(jìn)一步追問：8分法比較多，我們怎樣分能做到不遺漏不重復(fù)呢？在教師的提醒下，學(xué)生再一次動手，把8個圓片有序的分為：1個和7個、2個和6個、3個和5個、4個和4個。在這過程，學(xué)生從隨機(jī)分到有序分，對8的分與合已經(jīng)具有清晰的表象。緊接著，讓學(xué)生收起學(xué)具，把8的分與合有序的填寫在書中，學(xué)生從具體的學(xué)具自然而然過渡到抽象的數(shù)，在“數(shù)”與“形”之間形成了無縫連接。

這樣做的好處一方面可以有效強(qiáng)化學(xué)生對知識和概念的理解和運(yùn)用能力，另外一方面在實(shí)踐展開的過程中課堂氛圍相對較好，學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望和參與欲望較強(qiáng)，有效地避免了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)的枯燥乏味、學(xué)生難以理解抽象概念的問題。

（二）借助圖形分析，學(xué)會數(shù)形轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)無疑是促進(jìn)思維進(jìn)化的重要學(xué)科，利用圖示等直觀的方法能起到輔助理解的作用。因此在教學(xué)中，對學(xué)生難以理解和掌握的教學(xué)內(nèi)容或者是容易引起混淆和產(chǎn)生錯誤的教學(xué)內(nèi)容，教師可以充分利用圖形，把抽象的概念、復(fù)雜的運(yùn)算變得形象、直觀，豐富學(xué)生的表象，引發(fā)學(xué)生的聯(lián)想，引導(dǎo)學(xué)生探索規(guī)律，得出結(jié)論。同時，當(dāng)學(xué)生解決問題時，引導(dǎo)學(xué)生畫圖分析，把抽象的數(shù)量關(guān)系用形象的圖形表示出來，這樣，解決簡單問題既快又準(zhǔn)確，能順利解決復(fù)雜、比較棘手的問題，達(dá)到化難為易的效果。在這樣的學(xué)與用的過程中，不斷進(jìn)行“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合思想無形中得以滲透，學(xué)生也就養(yǎng)成用幾何直觀解決問題的習(xí)慣。如“君君的郵票比玲玲多8張，比芳芳少3張，玲玲和芳芳共有郵票57張。求君君、玲玲和芳芳各有多少張郵票？”這樣一道求和差問題的實(shí)際問題，數(shù)量關(guān)系錯綜復(fù)雜，學(xué)生僅看文字和數(shù)字很難理出數(shù)量關(guān)系。這時，引導(dǎo)學(xué)生畫線段圖，很快就找到玲玲與芳芳的差，根據(jù)和差問題的解決方法，把和減去差的差除以2得到小的數(shù)，算出玲玲的張數(shù)，由此，很快求出其他人的張數(shù)。

因此，數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)現(xiàn)階段小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)開展過程中十分重要的一環(huán)，想要從根本上解決小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的教學(xué)困境，就需要通過教學(xué)工作的展開培養(yǎng)學(xué)生的思維和能力，而數(shù)形結(jié)合的方式可以有效地鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，在解決問題、分析探究問題的過程中學(xué)會數(shù)形轉(zhuǎn)化，有效地解決問題明確數(shù)量關(guān)系，在以后遇到問題時第一反應(yīng)也是借助圖形來解決問題，提高了問題解決的能力和效率?？梢?，無論是借助圖形理解新知，還是借助圖形解決問題，都經(jīng)歷了數(shù)與形的多次轉(zhuǎn)化，學(xué)生會自然形成“由數(shù)想形，由形抽象成數(shù)”的思想意識和思維習(xí)慣。

三、想想做做——搭信息技術(shù)與幾何直觀之橋

在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中運(yùn)用信息技術(shù)，是當(dāng)前數(shù)學(xué)發(fā)展的一個主要特征。在信息化時代，需要利用信息技術(shù)為教學(xué)提供更好的支持，創(chuàng)設(shè)人機(jī)交互的學(xué)習(xí)環(huán)境，充分調(diào)動學(xué)生的感官，使其開展協(xié)同活動，豐富其數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，幫助其掌握科學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，提高其數(shù)學(xué)素養(yǎng)和課堂教學(xué)實(shí)效。下面提出兩點(diǎn)建議：

（一）改進(jìn)教學(xué)方式，突出數(shù)形結(jié)合，形成幾何直觀

數(shù)學(xué)家華羅庚曾指出：形缺數(shù)時難入微，數(shù)缺形時少直觀。很多數(shù)學(xué)內(nèi)容都帶有“數(shù)的特征”和“形的特征”，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，要把握好這兩大特征，才能讓學(xué)習(xí)內(nèi)容更為生動、形象，啟發(fā)學(xué)生更好地使用數(shù)學(xué)知識來思考問題，突出其幾何直觀能力的培養(yǎng)。例如，在“數(shù)圖形的學(xué)問”一課教學(xué)中，學(xué)生根據(jù)之前所學(xué)過的線段知識，對眼前所看到的事物圖形展開想象，把抽象的思考，轉(zhuǎn)變?yōu)椤皥D形化”。在這個過程中，學(xué)生經(jīng)歷了“抽象——推理——?dú)w納”的學(xué)習(xí)，能借助算式來表示規(guī)律，并使用所學(xué)知識來解決問題，以此提高自身的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用能力。通過“數(shù)形結(jié)合”方法的使用，有助于學(xué)生數(shù)形轉(zhuǎn)化意識、幾何直觀能力的培養(yǎng)。

圖形能幫助學(xué)生研究數(shù)學(xué)問題，探求問題解決的思路，理解并記憶所得出的結(jié)果，感受幾何直觀的學(xué)習(xí)作用等。在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂上，通過計(jì)算機(jī)圖形實(shí)現(xiàn)功能的利用，能讓圖形生動起來，使學(xué)生把現(xiàn)實(shí)問題抽象為圖形問題，進(jìn)一步提高其幾何直觀能力。利用平板的書寫功能，能為學(xué)生創(chuàng)設(shè)良好的學(xué)習(xí)環(huán)境，強(qiáng)化其對相關(guān)知識的理解和記憶，有助于調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，以此提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（二）革新評價(jià)方式，生成教學(xué)方法，培養(yǎng)幾何直觀

數(shù)學(xué)牽涉很多與概念性相關(guān)的內(nèi)容，且許多知識具有相似性，這增加了學(xué)生學(xué)習(xí)和理解的難度。數(shù)學(xué)概念的抽象性較強(qiáng)，則需要學(xué)生進(jìn)行更加準(zhǔn)確的記憶。如果能在課堂上引入信息技術(shù)，把抽象的概念直觀地展示給學(xué)生，通常能獲得事半功倍的效果，拉近學(xué)生與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的距離，深化學(xué)生對相關(guān)知識的理解與記憶。

通過信息技術(shù)的使用，引導(dǎo)學(xué)生試圖用一些基本圖形來解決數(shù)學(xué)問題，這能讓學(xué)生更好地表達(dá)自己的想法，并與同伴深入交流，使其意識到幾何圖形在解題過程中的重要性，從而達(dá)到培養(yǎng)其幾何直觀能力的目的。傳統(tǒng)教學(xué)活動中，由于課堂時間的局限，教師只能對少數(shù)學(xué)生進(jìn)行個性化的評價(jià)。而對于全體學(xué)生來說，教師對其的評價(jià)大多是通過考試、作業(yè)來完成的，難以做到對學(xué)生學(xué)習(xí)的及時反饋。通過信息技術(shù)的使用，能一次性展示對全班學(xué)生的解答，能幫助教師更好地了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，有助于后續(xù)教學(xué)策略的調(diào)整。另外，教師可結(jié)合練習(xí)內(nèi)容，靈活設(shè)計(jì)多種類型的作業(yè)類型，如拍照、畫圖等，這不僅調(diào)動了學(xué)生的數(shù)學(xué)積極性，同時也能強(qiáng)化學(xué)生對所學(xué)知識的理解與記憶。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的在于實(shí)踐應(yīng)用，指引學(xué)生認(rèn)識并思考現(xiàn)實(shí)生活中與圖形有關(guān)的問題，能讓其將現(xiàn)實(shí)問題抽象為數(shù)學(xué)問題，并啟發(fā)其使用數(shù)學(xué)方法來解決問題，以此提高其數(shù)學(xué)解題能力，即形成數(shù)學(xué)建模思想。例如，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，可引導(dǎo)學(xué)生由簡單的問題入手，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，讓其更好地理解數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系，便于其遇到相同問題時，能使用數(shù)學(xué)方法來解決問題，以此提高其數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用能力。通過信息技術(shù)的引入，學(xué)生可結(jié)合不同的學(xué)習(xí)內(nèi)容，在教師的引導(dǎo)下，上網(wǎng)搜索相關(guān)知識，豐富自身的數(shù)學(xué)知識，在提高自身幾何直觀能力的同時，提高自身的信息獲取及應(yīng)用能力。

四、結(jié)語

總而言之，幾何直觀在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中發(fā)揮著重要作用，是解決問題的有效策略，是訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維的有效手段。發(fā)展幾何直觀能啟發(fā)學(xué)生深入思考，幫助其更好地掌握抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容與方法。信息技術(shù)的發(fā)展，勢必會革新傳統(tǒng)的教學(xué)方式，但是如何合理利用信息技術(shù)，優(yōu)化圖形與幾何教學(xué)，仍是教育工作者不斷探索的主題。通過信息技術(shù)，將抽象的概念，用形式化的直觀背景和幾何形象展示出來，為學(xué)生提供更多的思考空間。信息技術(shù)在數(shù)學(xué)課堂上的引入，能為學(xué)生創(chuàng)設(shè)真實(shí)的問題情景，引導(dǎo)學(xué)生開展自主探究、小組合作等活動，深化其對數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程的體驗(yàn)，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的提高。教師應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會從數(shù)學(xué)語言中提煉信息，并通過思維整合，用直觀圖形展現(xiàn)出來，然后再次通過分析、判斷、推理、猜測等思維活動，而獲得解題方法的能力，即幾何直觀能力。

注：本文為福建省中青年教師教育科研項(xiàng)目（基礎(chǔ)教育研究轉(zhuǎn)向）“小學(xué)數(shù)學(xué)課堂幾何直觀能力培養(yǎng)的研究”（課題編號：2021JCJY010152）的研究成果。

（吳淑媛）