激勵(lì)機(jī)制和VaR約束下的DC養(yǎng)老金計(jì)劃的最優(yōu)投資

呂文欣, 董迎輝, 魏思媛

(蘇州科技大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇 蘇州 215009)

0 引言

近年來(lái)，由于死亡率的下降和市場(chǎng)持續(xù)低利率環(huán)境的影響，有關(guān)固定繳費(fèi)型(DC, Defined contribution)養(yǎng)老金計(jì)劃的最優(yōu)資產(chǎn)配置方面的研究引起了廣泛的關(guān)注，參見(jiàn)Chen等[1]，Zeng等[2]，Wang等[3]，Dong和Zheng[4]，王傳玉等[5]和孫景云等[6]。

激勵(lì)機(jī)制對(duì)資產(chǎn)管理的影響最近得到了廣泛研究。為了激勵(lì)基金經(jīng)理，基金持有人通常會(huì)根據(jù)基金經(jīng)理所管理基金的業(yè)績(jī)而支付薪酬。這種薪酬機(jī)制由兩部分組成：與基金財(cái)富成固定比例的管理費(fèi)，以及類似期權(quán)組合所構(gòu)成的績(jī)效費(fèi)(接下來(lái)簡(jiǎn)稱混合薪酬機(jī)制)。一般認(rèn)為，激勵(lì)機(jī)制會(huì)使得基金管理人想要獲得更多的績(jī)效費(fèi)而選擇風(fēng)險(xiǎn)更高的投資組合。然而，很少有文獻(xiàn)關(guān)注DC養(yǎng)老金計(jì)劃管理中的績(jī)效機(jī)制，這是由于人們認(rèn)為績(jī)效費(fèi)會(huì)促使DC養(yǎng)老金經(jīng)理采取激進(jìn)的投資策略，從而導(dǎo)致DC養(yǎng)老金賬戶發(fā)生巨額損失。目前DC養(yǎng)老金計(jì)劃主要是采用基于資產(chǎn)價(jià)值的單一管理費(fèi)薪酬機(jī)制。

He等[7]中提到，在20世紀(jì)90年代末，績(jī)效機(jī)制已被批準(zhǔn)可作為DC養(yǎng)老金計(jì)劃管理的薪酬機(jī)制。然而，績(jī)效費(fèi)會(huì)誘使基金經(jīng)理以犧牲DC養(yǎng)老金計(jì)劃參與人的利益為代價(jià)而采取過(guò)度激進(jìn)的投資策略來(lái)博取自身的利益。DC養(yǎng)老金計(jì)劃的目的是為退休后的養(yǎng)老金計(jì)劃參與人提供足夠的生活保障收入。因此，為確保養(yǎng)老金賬戶的安全，大部分DC型養(yǎng)老金計(jì)劃并沒(méi)有實(shí)施績(jī)效薪酬機(jī)制。文獻(xiàn)[7]考慮了在采用單一管理費(fèi)和混合薪酬兩種不同機(jī)制下的最優(yōu)資產(chǎn)配置問(wèn)題。他們比較了這兩種薪酬機(jī)制下的基金經(jīng)理和參與人的期望效用，并指出實(shí)施績(jī)效激勵(lì)會(huì)使得經(jīng)理人和參與人獲得雙贏。此外，文獻(xiàn)[7]考慮了投資組合保險(xiǎn)(PI, Portfolio insurance) 約束條件，該約束使得終端財(cái)富始終保持在某事先約定的最低保障之上，從而能夠很好地保護(hù)DC 養(yǎng)老金計(jì)劃參與人的利益。然而，當(dāng)最低保障較高時(shí)，經(jīng)理人會(huì)采取過(guò)度謹(jǐn)慎的投資策略從而導(dǎo)致終端財(cái)富值較低。

風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(VaR, Value-at-risk)是指在一定概率下，投資組合在某段時(shí)間內(nèi)的最大損失，已成為金融界度量市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的主流方法。Guan和Liang[8]研究了VaR約束下光滑效用函數(shù)的期望最大化問(wèn)題。相較于PI約束，同時(shí)引入VaR-PI約束能更好地改善DC養(yǎng)老金的風(fēng)險(xiǎn)管理。前景理論是行為經(jīng)濟(jì)學(xué)中最著名的理論之一， 參見(jiàn)Tversky和Kahneman[9]。在前景理論的框架下，投資者在做投資決策時(shí)常會(huì)預(yù)先設(shè)定一個(gè)參照點(diǎn)，并依據(jù)最終財(cái)富相對(duì)于參照點(diǎn)的變化來(lái)衡量損失與收益。終端財(cái)富高于參照點(diǎn)即為收益， 終端財(cái)富低于參照點(diǎn)即為損失。在面對(duì)收益時(shí)，投資者表現(xiàn)出風(fēng)險(xiǎn)厭惡，而面對(duì)損失時(shí)則表現(xiàn)為風(fēng)險(xiǎn)追逐。前景理論還表明，理性投資者是損失厭惡的。文獻(xiàn)[9]用一個(gè)不對(duì)稱的S型效用函數(shù)較好地描述了投資者在面對(duì)收益時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)厭惡和面對(duì)損失時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)追逐行為。近年來(lái)，有關(guān)在S型效用函數(shù)下研究DC 型養(yǎng)老金的最優(yōu)資產(chǎn)配置問(wèn)題得到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注，參見(jiàn)文獻(xiàn)[4,8]。然而上述文獻(xiàn)均沒(méi)有把養(yǎng)老金經(jīng)理的薪酬方案考慮到優(yōu)化問(wèn)題中。

本文推廣了文獻(xiàn)[7]的工作， 將VaR約束和損失厭惡引入模型，從而使得所研究的優(yōu)化問(wèn)題比文獻(xiàn)[7]中的優(yōu)化問(wèn)題復(fù)雜得多。我們采用鞅方法和凹化方法求解了兩種薪酬方案下的最優(yōu)投資組合問(wèn)題。

本文的主要貢獻(xiàn)是在前景理論的框架下，解決了在單一管理費(fèi)與混合薪酬這兩種不同的薪酬機(jī)制和PI約束下DC養(yǎng)老金計(jì)劃的最優(yōu)投資問(wèn)題，以及在混合薪酬機(jī)制和VaR-PI約束下的優(yōu)化問(wèn)題。數(shù)值結(jié)果表明，損失厭惡以及不同的薪酬方案對(duì)最優(yōu)終端財(cái)富的分布和最優(yōu)投資策略存在著顯著的影響。當(dāng)S型效用函數(shù)的參照點(diǎn)較低時(shí)，在單一管理費(fèi)薪酬機(jī)制下，基金經(jīng)理人很容易達(dá)到衡量其損益的參照點(diǎn)，因此經(jīng)理人采取的投資策略比在混合薪酬機(jī)制下的投資策略要保守的多，如果在混合薪酬機(jī)制下考慮VaR約束會(huì)一定程度地減少最優(yōu)終端財(cái)富的尾部風(fēng)險(xiǎn)。相反地，當(dāng)S型效用函數(shù)的參照點(diǎn)較高時(shí), 在混合薪酬機(jī)制下，基金經(jīng)理人更容易達(dá)到衡量其損益的參照點(diǎn)，其采取的投資策略比在單一管理費(fèi)薪酬機(jī)制下的投資策略要更為保守。因此，在前景理論框架下，當(dāng)決策參照點(diǎn)較高時(shí)，在混合薪酬機(jī)制下的最優(yōu)終端財(cái)富具有更低的尾部風(fēng)險(xiǎn)。

論文的其余部分安排如下：第1節(jié)介紹了本文所研究的DC養(yǎng)老金計(jì)劃的最優(yōu)投資問(wèn)題； 第2節(jié)運(yùn)用凹化方法和鞅方法來(lái)解決帶PI約束的優(yōu)化問(wèn)題；第3節(jié)給出了在VaR-PI約束和混合薪酬機(jī)制下最優(yōu)解；第4節(jié)是數(shù)值計(jì)算；第5節(jié)是總結(jié)；附錄給出了一些重要結(jié)論的證明和不同薪酬機(jī)制下的最優(yōu)投資策略的表達(dá)式。

1 模型

令(Ω,F,F,P)為一個(gè)帶過(guò)濾的完備概率空間，其中F:={Ft|0≤t≤T}是由標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng){W(t)}0≤t≤T產(chǎn)生的滿足通常條件的域流。假設(shè)DC型養(yǎng)老金成員從0時(shí)刻開(kāi)始繳費(fèi)，在T時(shí)刻退休。

假定金融市場(chǎng)存在兩種可交易的資產(chǎn)：無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)以及風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(現(xiàn)金賬戶)價(jià)格過(guò)程{S0(t)}t≥0滿足:

dS0(t)=rS0(t)dt

(1)

其中r是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格過(guò)程{S1(t)}t≥0滿足下述的隨機(jī)微分方程:

dS1(t)=S1(t)(μdt+σdW(t))

=S1(t)(rdt+(dW(t)+dt))

(2)

在DC養(yǎng)老金計(jì)劃中，養(yǎng)老金計(jì)劃參與人在退休時(shí)刻T前不斷地向養(yǎng)老金賬戶進(jìn)行繳費(fèi)。令c(t)>0為養(yǎng)老金計(jì)劃的所有參與者在時(shí)刻t的總繳費(fèi)額，正如文獻(xiàn)[4]中所提到的，單個(gè)成員的繳費(fèi)率在一段時(shí)間內(nèi)可能是隨機(jī)的， 但所有成員的總繳費(fèi)額總體上是確定的并且是較為穩(wěn)定的。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)， 我們假設(shè)c(t)≡c是一個(gè)常數(shù)。假設(shè)金融市場(chǎng)上不存在稅收和交易成本。養(yǎng)老金帳戶的初始資金為x0≥0。設(shè)π(t)是在時(shí)刻t∈[0,T]時(shí)投資在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的總金額。則財(cái)富過(guò)程{Xπ(t)}0≤t≤T滿足:

dXπ(t)=rXπ(t)dt+π(t)σ(dW(t)+

?dt)+cdt,Xπ(0)=x0

(3)

令H(t)為[t,T]期間總的養(yǎng)老金繳費(fèi)額在時(shí)刻t的折現(xiàn)值，則

(4)

傳統(tǒng)上, 基金經(jīng)理收取終端財(cái)富的一定比例作為管理費(fèi)。更具體地說(shuō)，在單一管理費(fèi)機(jī)制下，DC養(yǎng)老金經(jīng)理的收益為

Ψ1(Xπ(T))=k1Xπ(T)

(5)

其中k1>0為管理費(fèi)。

此外，我們還將研究混合薪酬機(jī)制下帶有VaR約束的優(yōu)化問(wèn)題。

令M(T)為是否產(chǎn)生績(jī)效費(fèi)的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)。不妨假設(shè)該基準(zhǔn)為：

在混合薪酬機(jī)制下，基金經(jīng)理的收益為:

(6)

其中k2≤k1為混合薪酬機(jī)制下的管理費(fèi)率，k3為績(jī)效費(fèi)率。

考慮如下S型的效用函數(shù):

(7)

其中θ>0為預(yù)先設(shè)定的決策參照點(diǎn)，B>1為損失厭惡系數(shù)，0<γ1，γ2<1均為常數(shù)。

對(duì)任意的i=1,2，考慮如下帶有最低保障的優(yōu)化問(wèn)題:

(8)

我們還將考慮混合薪酬方案下，帶有VaR-PI約束的的優(yōu)化問(wèn)題:

(9)

當(dāng)ε=1，(9)退化為僅帶有最低保障的混合薪酬方案下的優(yōu)化問(wèn)題(8)。

首先引入完備市場(chǎng)中的定價(jià)核函數(shù):

(10)

為了計(jì)算的方便，本文假設(shè)參數(shù)θ，k1，k2滿足θ>Mk1≥Mk2。令

(11)

G2(x)?U(Ψ2(x))

(12)

在完備市場(chǎng)中，問(wèn)題(8)和(9)可分別寫(xiě)為:

(13)

(14)

2 PI約束下的最優(yōu)交易策略

本節(jié)將利用拉格朗日對(duì)偶方法來(lái)解決在兩種不同薪酬機(jī)制和PI約束下的DC養(yǎng)老金計(jì)劃的最優(yōu)資產(chǎn)配置問(wèn)題。

引理1(1)當(dāng)θ>Mk1時(shí)，方程

(15)

(2)當(dāng)θ

(16)

在單一管理費(fèi)薪酬機(jī)制下

(17)

在混合薪酬機(jī)制下

(18)

注1注意到，如果ρ=0，也就是不存在最低保障，損失厭惡會(huì)使得基金管理者為了獲得自身的利益，而無(wú)限增加風(fēng)險(xiǎn)承擔(dān)從而損害參與人的利益，導(dǎo)致在經(jīng)濟(jì)形勢(shì)不好的情形下最優(yōu)終端財(cái)富為0，也就是說(shuō)，經(jīng)理人目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)面臨著道德風(fēng)險(xiǎn)。PI約束很好地保護(hù)了養(yǎng)老金參與人在經(jīng)濟(jì)形勢(shì)不好時(shí)的利益。

利用命題1，我們不難得到最優(yōu)投資策略的解析表達(dá)式。

注2當(dāng)效用函數(shù)為一個(gè)嚴(yán)格增的凹函數(shù)時(shí)，文獻(xiàn)[7]給出了PI約束下最優(yōu)財(cái)富過(guò)程的解析解。將命題A1中所給出的最優(yōu)投資策略與[7]中所得到的結(jié)論(4.4)相比較發(fā)現(xiàn)在凹效用和單一管理費(fèi)薪酬方案下，投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的財(cái)富不含有風(fēng)險(xiǎn)追逐項(xiàng)，而損失厭惡導(dǎo)致在兩種機(jī)制下，投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的財(cái)富均含有風(fēng)險(xiǎn)追逐項(xiàng)。

3 VaR-PI約束下的最優(yōu)交易策略

在本節(jié)中，我們將利用第2節(jié)中得到的結(jié)論解決優(yōu)化問(wèn)題(14)。

引理2若θ>Mk1，則方程

(19)

(20)

證明證明類似于引理1的證明，故略去證明過(guò)程。

P(ξ(T)>H*)=ε,0<ε<1

(21)

則最優(yōu)化問(wèn)題(9)的最優(yōu)終端財(cái)富具有如下的表達(dá)式，其中拉格朗日乘子β*滿足E[ξ(T)Xπ*,ε,β*(T)]=x0+H(0);

基于最優(yōu)終端財(cái)富便可得出最優(yōu)財(cái)富過(guò)程和最優(yōu)投資策略的解析表達(dá)式。

4 數(shù)值分析

圖1顯示了在θ=10時(shí)最優(yōu)終端財(cái)富與ξ(T)關(guān)系。由圖1可見(jiàn)，最優(yōu)終端財(cái)富是定價(jià)核函數(shù)ξ(T)的減函數(shù)，ξ(T)越高表示經(jīng)濟(jì)狀態(tài)越差，所對(duì)應(yīng)的最優(yōu)終端財(cái)富越低。易算得基金經(jīng)理在時(shí)刻收到的繳款累積額約為94。當(dāng)θ=10時(shí)，在單一管理費(fèi)薪酬方案下，養(yǎng)老金經(jīng)理衡量得失的參考點(diǎn)為200，在混合薪酬方案下，其衡量得失的參考點(diǎn)為240。因此，在混合薪酬方案下，為了達(dá)到?jīng)Q策參照點(diǎn)，養(yǎng)老金管理者采用了風(fēng)險(xiǎn)更大的投資策略。從圖1中還可以看到，對(duì)于較低的θ，混合薪酬方案導(dǎo)致了最優(yōu)終端財(cái)富小于最低保障的可能性增大，因此產(chǎn)生更高的左尾風(fēng)險(xiǎn)。值得注意的是，在混合薪酬方案下，VaR約束可以在一定程度上改善經(jīng)濟(jì)狀況不佳時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)管理。ε越低所對(duì)應(yīng)VaR約束條件越強(qiáng)，最優(yōu)終端財(cái)富的左尾風(fēng)險(xiǎn)也就越低，然而當(dāng)經(jīng)濟(jì)狀態(tài)較好時(shí)其所對(duì)應(yīng)的最優(yōu)終端值更低，這說(shuō)明對(duì)尾部的保護(hù)是以犧牲經(jīng)濟(jì)繁榮時(shí)最優(yōu)終端值為代價(jià)的。

圖2刻畫(huà)了θ=20時(shí)，在不同的薪酬方案下最優(yōu)終端財(cái)富與ξ(T)的關(guān)系。當(dāng)θ=20時(shí)，在單一管理費(fèi)薪酬方案下，其參考點(diǎn)為400，在混合薪酬方案下，其參考點(diǎn)為323。與θ較低的情形不同，為了達(dá)到?jīng)Q策參照點(diǎn)，基金經(jīng)理人在單一管理費(fèi)薪酬方案下采取的投資策略要更為冒險(xiǎn)。從圖2可以看出，對(duì)于θ較大時(shí)，混合薪酬方案可以降低經(jīng)濟(jì)狀態(tài)不好時(shí)的最優(yōu)終端財(cái)富的尾部風(fēng)險(xiǎn)。

圖4刻畫(huà)了在0時(shí)刻，最優(yōu)投資比例與初始賬戶值x0的關(guān)系。我們可以觀察到，投資在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的最優(yōu)比例隨著x0的增加而減小，這是因?yàn)閷?duì)于固定的參照值θ，隨著x0的增加，最優(yōu)終端財(cái)富將更可能高于參照點(diǎn)，風(fēng)險(xiǎn)厭惡使得基金經(jīng)理人采取更為保守的策略。

圖5描述了在混合薪酬機(jī)制下，0時(shí)刻的最優(yōu)投資比例與績(jī)效費(fèi)率k3的關(guān)系。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，投資在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的最優(yōu)比例均隨著k3的增加而增加，這是因?yàn)榛鸾?jīng)理人想要獲得更高的績(jī)效費(fèi)，所以在初始時(shí)刻選擇投資更多的財(cái)富到風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上。VaR約束會(huì)使得經(jīng)理人選擇更為保守的投資策略，并且隨著ε的減小，最優(yōu)投資比例對(duì)k3的變化更加不敏感。

圖6刻畫(huà)了在無(wú)VaR約束的單一和混合薪酬機(jī)制下，當(dāng)θ分別為10與100時(shí)，最優(yōu)投資比例與t的關(guān)系。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，在每一種情形下，在0時(shí)刻基金經(jīng)理人都持有較高比例的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)以便在到期日能夠獲得更高的薪酬。然而在臨近到期日時(shí)，基金經(jīng)理人在θ=10與θ=100時(shí)的投資策略截然不同。當(dāng)θ=10時(shí)，基金經(jīng)理較易達(dá)到其衡量得失的參考點(diǎn)，因此他們持有較高比例的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。然而當(dāng)θ=100時(shí)，在單一薪酬下基金經(jīng)理人衡量得失的參考點(diǎn)為2000，在混合薪酬方案下，其衡量得失的參考點(diǎn)990。由于基金經(jīng)理人認(rèn)為很難達(dá)到如此高的參照值，因此在臨近到期日前，他們表現(xiàn)為風(fēng)險(xiǎn)厭惡者從而選擇較為保守的投資策略。

5 結(jié)論

本文研究了DC養(yǎng)老金經(jīng)理在收取單一管理費(fèi)和同時(shí)收取管理費(fèi)和績(jī)效費(fèi)這兩種不同的薪酬機(jī)制以及損失厭惡下的最優(yōu)資產(chǎn)配置問(wèn)題。利用凹化方法得到了在兩種不同的薪酬機(jī)制和PI約束下的最優(yōu)財(cái)富過(guò)程和最優(yōu)投資策略的解析解。進(jìn)一步給出了在混合薪酬機(jī)制和VaR約束下的最優(yōu)財(cái)富過(guò)程和最優(yōu)投資策略的解析解。數(shù)值結(jié)果表明由于損失厭惡，當(dāng)S型效用函數(shù)中用于衡量得與失的決策參照點(diǎn)較高時(shí), 混合薪酬激勵(lì)機(jī)制會(huì)導(dǎo)致基金經(jīng)理采取更為保守的投資策略，從而降低了最優(yōu)終端財(cái)富的尾部風(fēng)險(xiǎn)。當(dāng)S型效用函數(shù)中用于衡量得與失的決策參照點(diǎn)較低時(shí)，混合薪酬激勵(lì)機(jī)制會(huì)導(dǎo)致基金經(jīng)理采取更為冒險(xiǎn)的投資策略從而達(dá)到其獲得績(jī)效費(fèi)的參照點(diǎn),然而通過(guò)VaR約束可以從一定程度上降低最優(yōu)終端財(cái)富的尾部風(fēng)險(xiǎn)。