基于投影面的多目標(biāo)優(yōu)化問題進(jìn)化算法MOEA/P

楊 爽, 陳未如

(沈陽化工大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 遼寧 沈陽 110142)

在實(shí)際工程應(yīng)用中,存在很多目標(biāo)優(yōu)化問題(multi-objective optimization problems,MOP).這些目標(biāo)通常都是相互矛盾、相互制約的,基本上不可能在所有目標(biāo)上都求得最優(yōu)解,但存在一個(gè)Pareto最優(yōu)解集[1].Pareto最優(yōu)解的含義是沒有任何其他解在各個(gè)目標(biāo)上都比這個(gè)最優(yōu)解更好.多目標(biāo)優(yōu)化算法的目標(biāo)就是求解Pareto最優(yōu)解集.由于可能存在無窮解,保證求解完整的Pareto最優(yōu)解集是費(fèi)時(shí)且?guī)缀醪豢赡艿?所以多目標(biāo)優(yōu)化算法都是求解Pareto最優(yōu)解集的近似子集,即在已得到的所有可行解中求解非支配解集——不被已知其他解所支配的解的集合.

進(jìn)化算法由于基于種群的特點(diǎn)而十分適合多目標(biāo)優(yōu)化問題的求解,在近幾十年的時(shí)間里成為國內(nèi)外學(xué)者研究的熱點(diǎn),尤其是在近20年的時(shí)間內(nèi)有著突飛猛進(jìn)的研究成果.在最初的多目標(biāo)遺傳算法研究基礎(chǔ)上,學(xué)者們提出了許多典型的算法:以精英保護(hù)策略為主要特征的算法NSGAII[2],利用Pareto支配信息指導(dǎo)解集的選擇;基于分解的多目標(biāo)進(jìn)化算法(MOEA/D)[3],將一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問題分解為一組單目標(biāo)的子問題進(jìn)行求解;基于指標(biāo)評價(jià)的算法IBEA[4],通過評價(jià)指標(biāo)指引算法的搜索方向,指導(dǎo)進(jìn)化過程中新種群的選擇;還有一些研究專門研究如何確定多目標(biāo)權(quán)重系數(shù)以達(dá)到更強(qiáng)尋優(yōu)能力的目的[5].

近年來,面向超多目標(biāo)優(yōu)化問題的算法研究也取得了一定進(jìn)展,在Google學(xué)術(shù)搜索上超多目標(biāo)優(yōu)化相關(guān)論文多達(dá)19 700條(2020年3月19日以“many objective optimization”為關(guān)鍵詞進(jìn)行搜索).與多目標(biāo)優(yōu)化算法分類相同,面向超多目標(biāo)優(yōu)化問題的算法包括:(1)基于Pareto支配關(guān)系的超多目標(biāo)進(jìn)化算法,如GFM-MOEA[6];(2)基于改進(jìn)支配關(guān)系的超多目標(biāo)進(jìn)化算法,如GPO[7];(3)將目標(biāo)空間劃分為若干網(wǎng)格并利用網(wǎng)格坐標(biāo)作為目標(biāo)值來判斷Pareto支配關(guān)系的算法,如grid支配[8];(4)利用模糊邏輯提升某個(gè)解支配其他解概率的算法,如fuzzy支配[9];(5)利用小生境技術(shù)來判斷支配關(guān)系的算法,如SDR[10];(6)基于分解的超多目標(biāo)進(jìn)化算法,如MOEA/D-AWA[11];(7)基于性能指標(biāo)的超多目標(biāo)進(jìn)化算法,如基于改進(jìn)的IGD的AR-MOEA[12].

多目標(biāo)優(yōu)化所面臨的最大問題是存在大量、分散的解,影響算法的求解效率和求解質(zhì)量.大多數(shù)算法都是面向整個(gè)解空間研究如何提高求解效率和求解質(zhì)量,如果能夠在較小的范圍內(nèi)求解,如重點(diǎn)關(guān)注某幾個(gè)目標(biāo),或選擇某些目標(biāo)值范圍內(nèi)的最優(yōu)解等,將會(huì)大大提高求解效率和求解質(zhì)量.當(dāng)面向整個(gè)解空間求解時(shí)會(huì)得到大量的解,而過多的解會(huì)使用戶無從抉擇,因此有側(cè)重地去求所需要的解集,會(huì)使決策者在較小的范圍內(nèi)得到自己所關(guān)心、期望的結(jié)果.這個(gè)問題在超多目標(biāo)優(yōu)化問題中也尤為突出.

筆者提出一種全新的求解多目標(biāo)優(yōu)化問題的思想——基于投影面的多目標(biāo)優(yōu)化問題進(jìn)化算法(multi-objective optimization evolutionary algorithm based on projection plane,MOEA/P).借鑒基于分解的多目標(biāo)進(jìn)化算法思想,根據(jù)決策需求將目標(biāo)空間分成投影面和自由維,再把投影面分割成多個(gè)投影格,由各個(gè)投影格決定求解方向,在各個(gè)投影格上求解自由維的最優(yōu)值,從而得到多目標(biāo)優(yōu)化問題的最優(yōu)解.在求解過程中,利用空間壓縮的進(jìn)化方法,選擇適當(dāng)?shù)倪m應(yīng)度函數(shù),由大到小將種群個(gè)體壓縮向投影目標(biāo)空間,逐步得到最終解.

投影面的劃分將高維多目標(biāo)優(yōu)化問題簡化成求解低維多目標(biāo)優(yōu)化問題,即僅在投影面上求解自由維目標(biāo)的優(yōu)化;投影格的分割將求解確定在由決策者指定的目標(biāo)值具體范圍,提高了求解精度和效率.在本算法應(yīng)用中,可以根據(jù)用戶的決策方向,有指導(dǎo)地選擇相應(yīng)的投影格進(jìn)行最優(yōu)求解,既能夠保證求解的精度,又能夠保證所得解滿足用戶決策支持需求.

1 相關(guān)工作

以最小化問題為例,多目標(biāo)優(yōu)化問題可以描述為:

最小化:F(X)={f1(X),…,fm(X)}T.

約束到:gj(X)≥0,j=1,…,J,

hk(X)=0,k=1,…,K,

X∈Ω.

(1)

{F(X)|X∈Ω,gj(X)≥0,hk(X)=0}.

其中:j=1,…,J;k=1,…,K.

對于任意兩個(gè)決策向量u,v∈Ω,稱u支配v(記作uv).當(dāng)且僅當(dāng) ?i∈{1,2,…,m}時(shí)有fi(u)≤fi(v);當(dāng)?i∈{1,2,…,m}時(shí)有fi(u)

MOEA/D[3]是基于分解的多目標(biāo)進(jìn)化算法的代表,這類算法的核心思想是將一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問題按照目標(biāo)空間個(gè)數(shù)分為若干個(gè)單目標(biāo)優(yōu)化問題,同時(shí)求解這些子問題并將它們進(jìn)行組合.在MOEA/D的基礎(chǔ)上改進(jìn)的超多目標(biāo)優(yōu)化算法中,大多側(cè)重研究聚集函數(shù)的設(shè)計(jì)、權(quán)值向量的分配方式以及自適應(yīng)方法.基于分解的多目標(biāo)進(jìn)化算法基本上采用參考點(diǎn)、參考向量以及權(quán)重向量等分解目標(biāo)空間.由于目標(biāo)解集可能存在解量大且不均勻的情況,因此,為了減少所得解的數(shù)量,得到有一定代表性的較小的解集,Yang等[8]將目標(biāo)空間劃分為若干網(wǎng)格,并利用網(wǎng)格坐標(biāo)作為目標(biāo)值進(jìn)行Pareto支配關(guān)系的判斷,從而將相近的解歸并成一個(gè)解.

2 投影面及投影支配

與其他基于分解的多目標(biāo)進(jìn)化算法不同,筆者將目標(biāo)空間按目標(biāo)維分解為兩部分:投影面和自由維.

定義1. 投影面:根據(jù)目標(biāo)決策需求選取部分主要目標(biāo)維構(gòu)成投影面(projection plane),投影面上的各目標(biāo)維稱為投影維(projection dimension).投影面P是多目標(biāo)函數(shù)集F的純子集,即P?F.不失一般性,選取前m-1維目標(biāo)作為投影面進(jìn)行算法實(shí)驗(yàn)分析.這樣,對于二目標(biāo)優(yōu)化問題,投影面就是f1坐標(biāo)軸;對于三目標(biāo)優(yōu)化問題,投影面是f1、f2構(gòu)成的一個(gè)坐標(biāo)面.

定義2. 自由維:除投影面外的目標(biāo)空間其他維稱為自由維(free dimension),由所有自由維所組成的集合稱為自由維集(free dimension set).自由維集D=F-P.

對于給定目標(biāo)解向量f在投影面上的投影記為fp,在自由維集上的投影記為fd.

實(shí)驗(yàn)中將最后一目標(biāo)維fm作為自由維.圖1給出的是一個(gè)三維目標(biāo)的投影面劃分.

圖1 三維目標(biāo)空間劃分成投影面和自由維

定義3. 投影點(diǎn)和自由值:目標(biāo)向量在投影面上的分量稱為投影點(diǎn),在自由維上的分量稱為自由值.

定義4. 投影格:將投影面分割成一個(gè)個(gè)子面,稱為投影格(projection grid,PG).用其核心點(diǎn)作為標(biāo)識向量,該標(biāo)識向量稱為投影格向量(projection grid vector,Vg).Vg由組成投影面的各維度值構(gòu)成.在不影響理解的情況下,以下簡稱投影格向量為投影格.

按照本文給出的算法求得落在指定投影面上的目標(biāo)向量后,以該投影面所限定的子空間(投影格)為目標(biāo)求解范圍,進(jìn)化求解自由維最優(yōu)解.

定義5. Pareto投影支配:設(shè)多目標(biāo)優(yōu)化問題F的投影面P和自由維集D.對于任意兩個(gè)決策向量u,v∈Ω,稱uPareto投影支配v(記作u?v).當(dāng)且僅當(dāng)?fp∈P時(shí)有fp(u)≤fp(v);當(dāng)?fd∈D時(shí)有fd(u)≤fd(v);當(dāng)?fd∈P時(shí)有fd(u)

定義6. 非Pareto投影支配解:非Pareto投影支配解是不被任何其他解Pareto投影支配的解.相應(yīng)地,非Pareto投影支配解集NDP為所有非Pareto投影支配解的集合.以下簡稱非Pareto投影支配解為非投影支配解.

3 MOEA/P算法

筆者提出基于投影面的多目標(biāo)優(yōu)化問題進(jìn)化算法MOEA/P.它不是求解多目標(biāo)優(yōu)化問題的所有Pareto前沿,而是根據(jù)目標(biāo)決策需要將目標(biāo)空間劃分成投影面P和自由維D,同時(shí)將投影面分割成投影格,求解非Pareto投影格支配解,進(jìn)而得到Pareto投影前沿,并在此基礎(chǔ)上得到其中的全局非支配目標(biāo)解.

宏觀上看,MOEA/P是一種基于分解的多目標(biāo)進(jìn)化算法.但與其他類MOEA/D算法不同,MOEA/P不是分解成若干個(gè)參考向量,而是將目標(biāo)空間分解成兩部分:投影面和自由維.MOEA/P也進(jìn)行網(wǎng)格分割,但分割對象不是整個(gè)目標(biāo)空間,而是投影面,其目的是求各投影格上的最優(yōu)解.

3.1 MOEA/P算法框架

MOEA/P算法框架

輸入:

多目標(biāo)問題MOP;

結(jié)束條件;

DS:目標(biāo)決策空間(投影面)設(shè)定;

ω:投影格邊長;

S:初始種群大小.

輸出:最優(yōu)解集PS

過程:

步驟(1) 目標(biāo)空間劃分

根據(jù)DS確定MOP投影面及投影范圍,并將之分割成邊長為ω的多個(gè)投影格PGs;

設(shè)目標(biāo)解集PS為空.

步驟(2) 在每個(gè)投影格上求非投影支配解

對于PGs的每一個(gè)投影格,執(zhí)行步驟①～③.

步驟① 初始化種群

初始化長度為S的種群G,構(gòu)造種群中個(gè)體并初始個(gè)體基因序列,保證所有個(gè)體滿足MOP約束條件;

對種群G每個(gè)個(gè)體進(jìn)行初始計(jì)算,得到相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值;

設(shè)置投影格內(nèi)個(gè)體非支配解個(gè)體列表GridList.

步驟② 種群進(jìn)化

如果滿足結(jié)束條件,轉(zhuǎn)步驟③;

設(shè)置新一代個(gè)體池GenPOOL;

分別對種群G中的個(gè)體進(jìn)化操作;

計(jì)算每一個(gè)新生成個(gè)體并根據(jù)適應(yīng)度優(yōu)先關(guān)系將之按序加入GenPOOL中,并將落入到相應(yīng)投影格內(nèi)的個(gè)體按支配關(guān)系插入到GridList;

令G=GenPOOL,并將GridList中的個(gè)體插入到G的前端;

對G進(jìn)行截?cái)嗖僮?

重復(fù)本步驟.

步驟③ 提交進(jìn)化結(jié)果

將GridList中所有非投影支配個(gè)體提交到PS,并保證不與PS中任何現(xiàn)有個(gè)體相互Pareto支配.若存在Pareto支配關(guān)系對,則從PS中刪去被支配的個(gè)體.

步驟(3) 輸出PS

3.2 投影面分割

在MOEA/P算法中,目標(biāo)空間劃分是求解的第一步,也是最重要的一步,它包括目標(biāo)決策空間設(shè)定和投影面劃分兩部分.

目標(biāo)決策空間設(shè)定是要選定投影面及相應(yīng)決策范圍.投影面由用戶重點(diǎn)關(guān)注和設(shè)定的目標(biāo)維組成.投影維的決策范圍即各投影維的決策上下界,它可以采用參考文獻(xiàn)[13]的方法設(shè)置缺省值,也可以由用戶設(shè)定所關(guān)注的區(qū)間.投影維決策范圍設(shè)定后通過歸一化方法,將整個(gè)目標(biāo)空間變換為歸一化空間.目標(biāo)決策空間的設(shè)定將最優(yōu)化求解空間設(shè)定到一個(gè)較小的范圍內(nèi),可以大大縮小計(jì)算時(shí)間并提高計(jì)算精度.

投影面選定之后,需要根據(jù)投影格邊長將投影面分割成投影格,并將各投影格按鄰接關(guān)系排序,以便進(jìn)一步求解.投影格由相應(yīng)的投影格標(biāo)識向量所標(biāo)定,對投影面進(jìn)行分割就是要生成相應(yīng)的投影格向量.

3.3 適應(yīng)度函數(shù)及投影盒

在MOEA/P算法中,適應(yīng)度包括兩部分:投影格適應(yīng)度δ和自由維適應(yīng)度λ.

投影格適應(yīng)度又稱空間適應(yīng)度,是目標(biāo)向量f距離指定投影格Vg的距離.

(2)

自由維適應(yīng)度λ是自由維向量各維同理想值偏差平方和的開方.

(3)

在δ和λ的基礎(chǔ)上,MOEA/P算法采用空間壓縮思想,設(shè)置一個(gè)投影盒box,其計(jì)算公式為

box=α·λ+β·δ.

(4)

其中:box表示了一個(gè)目標(biāo)向量與投影格Vg在目標(biāo)空間的距離,其值越小,表明目標(biāo)向量距Vg越近,就越接近最優(yōu)值;α、β是適應(yīng)度強(qiáng)度,反映了自由維和投影面的權(quán)重組合.通過進(jìn)化計(jì)算,MOEA/P算法將所有種群個(gè)體向投影格向量壓縮,使box值在最小范圍內(nèi)的非Pareto投影支配解被最后選中.

4 實(shí)驗(yàn)及討論

4.1 算法性能

由于公式(4)的引入,算法大部分過程通過box向投影格進(jìn)行壓縮,實(shí)際上是將多目標(biāo)問題簡化為單目標(biāo)問題.在將各目標(biāo)個(gè)體向量壓入投影格后再進(jìn)行Pareto投影支配比較,而此時(shí)各目標(biāo)向量已經(jīng)很接近最終值了.所以算法每次進(jìn)化迭代的效率可以表示為O(N·LOGN·S),其中:N是種群大小;S是投影格數(shù)量.S根據(jù)用戶需要進(jìn)行選擇設(shè)定,而由于投影格的劃分,N可以設(shè)置得很小.

算法是在將目標(biāo)向量壓入投影格的同時(shí)使自由值最優(yōu),單目標(biāo)化的過程保證了算法的收斂性.

算法的多樣性通過兩種途徑實(shí)現(xiàn):一是投影格的劃分,保證有解的情況下各個(gè)投影格都會(huì)求得相應(yīng)的較優(yōu)解;二是算法設(shè)置的目標(biāo)間距ε,保證目標(biāo)個(gè)體間不會(huì)因?yàn)榫植刻拐麄€(gè)區(qū)間分布不均.

由于本文研究的是基于投影面的多目標(biāo)優(yōu)化問題的求解,并不追求整個(gè)目標(biāo)空間的求解,所以一般用于評價(jià)算法性能的方法并不適用于本算法.設(shè)ND為算法得到的非Pareto支配解集,以下為算法性能指標(biāo)相關(guān)概念.

(1)目標(biāo)間距ε:為保證目標(biāo)個(gè)體間不會(huì)因?yàn)榫植刻拐麄€(gè)區(qū)間分布不均,設(shè)置目標(biāo)間距ε,其含義是任何兩個(gè)目標(biāo)個(gè)體之間至少在一個(gè)目標(biāo)維度上的值不小于ε,否則將被認(rèn)為是相同的目標(biāo).

(2)自由維誤差δd:在某指定投影格上,如果有解,算法所求的解與理想解越近越好.自由維誤差表示的是所有ND對應(yīng)非支配解的自由值與理想值距離的算術(shù)平均值.

(5)

(3) 投影誤差δp:目標(biāo)個(gè)體與其投影點(diǎn)附近所有理想值之間的平均距離.

(6)

其中Dp是投影維個(gè)數(shù).投影誤差δd可以同時(shí)反映算法的多樣性指標(biāo)和收斂性.

4.2 與NSGA-II和MOEA/D算法的對比實(shí)驗(yàn)

由于NSGA-II和MOEA/D是兩種影響非常廣的多目標(biāo)優(yōu)化問題進(jìn)化算法,因此選擇與它們進(jìn)行對比.參照參考文獻(xiàn)[3]的相關(guān)實(shí)驗(yàn),選擇雙目標(biāo)測試用例ZDT1、ZDT2、ZDT3、ZDT4和ZDT6和三目標(biāo)測試用例DTLZ1-DTLZ2進(jìn)行對比實(shí)驗(yàn).原文采用種群大小N=100用于二目標(biāo)測試,N=300用于三目標(biāo)測試,進(jìn)化250代.MOEA/P算法對二目標(biāo)測試劃分4個(gè)投影格,對三目標(biāo)測試劃分25個(gè)投影格,所有測試種群大小都設(shè)置為70,同樣進(jìn)化250代.由于MOEA/P劃分了投影格,為公平起見,對MOEA/P算法在滿足足夠進(jìn)化精度的種群大小情況下,通過調(diào)整目標(biāo)間距ε使所得目標(biāo)解個(gè)數(shù)分別在100和300左右.選擇相同環(huán)境(Intel CPU @3.2GHz)下運(yùn)行,每組測試獨(dú)立運(yùn)行30次.表1與表2中有關(guān)NSGA-II和MOEA/D的數(shù)據(jù)均來自參考文獻(xiàn)[3].

表1為算法NSGA-II、MOEA/D和MOEA/P求解部分多目標(biāo)優(yōu)化問題時(shí)相應(yīng)的平均運(yùn)行時(shí)間.表1結(jié)果顯示:MOEA/P算法除了在ZDT6用例上較MOEA/D相當(dāng)之外,在其他用例上都有很大的優(yōu)勢.

表1 NSGA-II、MOEA/D和MOEA/P平均運(yùn)行時(shí)間

為了測試算法的收斂性和多樣性,參考文獻(xiàn)[3]使用了D-matric指標(biāo).設(shè)P*是一組在真實(shí)Pareto前沿上均勻采樣的解集,A為多目標(biāo)進(jìn)化算法求得的近似解集,d(v,A)是v與A中各點(diǎn)的最小歐式距離,則從P*到A的平均距離[3]定義為

(7)

與參考文獻(xiàn)[3]相同,選用均勻分布的500點(diǎn)和990點(diǎn)的P*進(jìn)行D-matric計(jì)算.表2為算法NSGA-II、MOEA/D和MOEA/P求解部分多目標(biāo)優(yōu)化問題時(shí)相應(yīng)的D-matric值(括號內(nèi)為標(biāo)準(zhǔn)差).表2結(jié)果顯示:MOEA/P算法除了在ZDT3用例上較NSGA-II相當(dāng)之外,在其他用例上都有明顯優(yōu)勢,且具有更好的穩(wěn)定性.

表2 NSGA-II、MOEA/D和MOEA/P D-matirc值

表3是MOEA/P算法求解部分問題所得解的投影誤差δp與D-matric計(jì)算結(jié)果(括號內(nèi)為標(biāo)準(zhǔn)差).由表3可知:除在ZDT6上因個(gè)別點(diǎn)抖動(dòng)(標(biāo)準(zhǔn)差增大)影響外,其他結(jié)果顯示投影誤差δp與D-matric基本在同一量級,可以用于MOEA/P算法在不同測試用例中進(jìn)行收斂性和多樣性的評價(jià).

表3 投影誤差δp與D-matirc值

4.3 超多目標(biāo)優(yōu)化實(shí)驗(yàn)

對于4個(gè)目標(biāo)以上的超多目標(biāo)優(yōu)化問題,往往很難用P*進(jìn)行D-matric計(jì)算,大多數(shù)采用超體積指標(biāo)進(jìn)行算法的收斂性和多樣性測試.筆者利用投影誤差δp的概念對算法求解超多目標(biāo)優(yōu)化問題的性能進(jìn)行評價(jià).

選用DTLZ系列測試案例[14]進(jìn)行超多目標(biāo)測試.整體采用N=80大小的種群,進(jìn)化200代.目標(biāo)間距ε=0.05,分別對 3、4、5、6、7個(gè)目標(biāo)的問題進(jìn)行求解,每組實(shí)驗(yàn)獨(dú)立運(yùn)行10次,表4是相關(guān)測試結(jié)果(括號內(nèi)為標(biāo)準(zhǔn)差).表4測試結(jié)果表明MOEA/P算法在求解超多目標(biāo)問題時(shí)有較好的收斂性、多樣性和穩(wěn)定性.

圖2是MOEA/P算法求解部分超多目標(biāo)問題相應(yīng)的運(yùn)行時(shí)間與投影格個(gè)數(shù)的關(guān)系.圖2表明算法的運(yùn)行時(shí)間與目標(biāo)個(gè)數(shù)關(guān)聯(lián)不大,每次迭代運(yùn)行時(shí)間基本上與投影格數(shù)目成正比關(guān)系.

表4 超多目標(biāo)優(yōu)化問題解的投影誤差δp值、算法運(yùn)行時(shí)間t和解數(shù)目s

圖2 超多目標(biāo)問題求解算法運(yùn)行時(shí)間與投影格個(gè)數(shù)的關(guān)系

5 結(jié)論與展望

實(shí)驗(yàn)表明基于投影面的多目標(biāo)優(yōu)化問題進(jìn)化算法(MOEA/P)可以有效求解多目標(biāo)優(yōu)化問題甚至超多目標(biāo)優(yōu)化問題.筆者還進(jìn)行了大量的相關(guān)實(shí)驗(yàn),包括求解質(zhì)量與種群大小、進(jìn)化代數(shù)的關(guān)系,不同投影面的選擇、目標(biāo)值求解范圍的設(shè)定等,由于篇幅限制,本文不能充分展示.總體結(jié)論是:

(1) 由于投影面的設(shè)置,將原本復(fù)雜的高維多目標(biāo)問題簡化成在投影面上的低維多目標(biāo)問題,甚至是單目標(biāo)問題,因而該算法很適用于求解超多目標(biāo)問題.

(2) 由于可以選擇求解范圍,不必面向整個(gè)求解空間,可以選擇很小的種群進(jìn)行進(jìn)化,部分問題可以在種群大小為10的情況下進(jìn)化求解,極大地提高了算法效率和求解精度.

(3) 可以針對不同目標(biāo)空間范圍進(jìn)行求精計(jì)算,從而對整個(gè)空間的整體高精度求解.

(4) 投影面可以根據(jù)用戶決策需求進(jìn)行設(shè)置,也可以針對同一問題選擇不同的投影面進(jìn)行求解,再將各解合并,得到分布更加合理的高精度解集.

MOEA/P還存在部分問題.由于投影面被均勻分割成多個(gè)投影格,而解的分布不一定是均勻的,所以存在所求解分布不均的情況,需要根據(jù)求解過程中解的分布自適應(yīng)地進(jìn)行局部投影格分割.如何充分結(jié)合現(xiàn)有其他算法有效求解自由維最優(yōu)解,更是需要認(rèn)真研究的.

目前,多目標(biāo)優(yōu)化問題以及超多目標(biāo)優(yōu)化問題的研究顯得尤為重要和迫切,尤其是對于超多目標(biāo)優(yōu)化問題這一難題.將MOEA/P進(jìn)一步改進(jìn),并在適當(dāng)?shù)念I(lǐng)域應(yīng)用是我們下一步的工作目標(biāo).