基于PBL教學(xué)模式下高中函數(shù)教學(xué)的設(shè)計(jì)與思考

摘 要：2017版普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（以下簡稱新課標(biāo)）中明確了以學(xué)生發(fā)展為本，立德樹人，提升素養(yǎng)的基本理念，并且也將函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)四大主線之一，體現(xiàn)了函數(shù)的重要性。因此本文基于“以學(xué)生為中心，問題為課堂導(dǎo)向”的PBL教學(xué)模式，以指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)為例進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)與思考，為進(jìn)一步貫徹落實(shí)新課標(biāo)的基本理論，提高教學(xué)效率提供一些參考。

關(guān)鍵詞：PBL 教學(xué)模式 高中數(shù)學(xué) 指數(shù)函數(shù) 教學(xué)設(shè)計(jì)

函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的概念，是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)語言和工具，在解決世界問題中發(fā)揮重要作用，并且函數(shù)也是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線[1]。因此函數(shù)對于學(xué)生來說是重中之重的，學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)不僅需要能夠?qū)W習(xí)到函數(shù)知識(shí)，而且需要學(xué)生能夠利用函數(shù)的知識(shí)和思想解決實(shí)際問題中存在的問題，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的能力，從而達(dá)到全面綜合發(fā)展。但是傳統(tǒng)教學(xué)模式下高中函數(shù)教學(xué)課堂中主要以教師的講授為主的模式，如此不僅不能充分考慮到學(xué)生的能力的全面綜合發(fā)展，也無法滿足未來社會(huì)對于人才綜合需求，并且還存在不能夠關(guān)注到班級(jí)的每一位學(xué)生的問題。因此需要根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)的以學(xué)生發(fā)展為本，立德樹人，提升素養(yǎng)的基本理念指導(dǎo)下，在傳統(tǒng)教學(xué)模式的基礎(chǔ)上結(jié)合PBL教學(xué)模式，以問題為導(dǎo)向，以學(xué)生為中心進(jìn)行教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生在實(shí)際中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的綜合能力，促進(jìn)個(gè)體的全面綜合發(fā)展。

1 PBL教學(xué)模式及相關(guān)理論

1.1 PBL教學(xué)模式定義

PBL（problem-based-learning）教學(xué)模式，即基于問題的學(xué)習(xí)模式，最早源于醫(yī)學(xué)教育，最初是為了解決醫(yī)學(xué)生在學(xué)習(xí)中理論知識(shí)掌握牢固，但是在實(shí)踐中卻存在能力不足的現(xiàn)象。該模式以學(xué)生為中心，利用問題為導(dǎo)向，在實(shí)施教學(xué)中利用信息技術(shù)等方法呈現(xiàn)或創(chuàng)造現(xiàn)實(shí)生活中問題情景，讓學(xué)生通過小組合作等一系列活動(dòng)解決實(shí)際問題，掌握問題背后的科學(xué)知識(shí)。這不僅讓學(xué)生對知識(shí)進(jìn)行掌握，同時(shí)還拓寬知識(shí)的廣度和深度，培養(yǎng)學(xué)生綜合能力，也提高課堂效率。重要的是通過小組合作交流等方式進(jìn)行問題解決，不僅培養(yǎng)學(xué)生小組交流等能力，還可以通過合理的評價(jià)方式從而達(dá)到關(guān)注到課堂中每一位學(xué)生的教學(xué)目的。

1.2 PBL教學(xué)模式設(shè)計(jì)步驟

PBL教學(xué)模式在具體實(shí)施當(dāng)中側(cè)重于問題導(dǎo)向，采用“先問題，后內(nèi)容”的教學(xué)過程，將問題作為學(xué)生學(xué)習(xí)的起點(diǎn)和教師教學(xué)的核心，通過問題創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生好奇心與學(xué)習(xí)興趣，也為學(xué)生下一步學(xué)習(xí)提供了明確方向[2]。因此PBL教學(xué)模式的設(shè)計(jì)步驟大致如下：一、教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，提出問題，創(chuàng)設(shè)科學(xué)合適的問題情景，此問題需要讓學(xué)生一些挑戰(zhàn)性，但是又不至于超出學(xué)生能力范圍;二、在實(shí)施過程中，結(jié)合具體情景選擇合適的教學(xué)工具呈現(xiàn)和分析問題，利用形象直觀的方式幫助學(xué)生理解問題的實(shí)質(zhì);三、大多采用小組合作交流的探究方式，根據(jù)學(xué)生的知識(shí)水平和解決問題的能力平均分為6到8人一組。教師需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行實(shí)踐和網(wǎng)絡(luò)等方法獲取資料，進(jìn)行課前的預(yù)習(xí)環(huán)節(jié);四、小組進(jìn)行討論，教師進(jìn)行引導(dǎo)，確保每個(gè)成員都能夠積極參與討論和探索，組內(nèi)成員能夠做到資料信息等互補(bǔ)和更正，確保探究的科學(xué)性;五、匯報(bào)成果，小組進(jìn)行展示，提供解決方案，教師進(jìn)行補(bǔ)充和引導(dǎo);六、總結(jié)與反思，教師對各小組的成果進(jìn)行評價(jià)并且補(bǔ)充和總結(jié)，強(qiáng)調(diào)在學(xué)習(xí)中的重難點(diǎn)，提高課堂效率和完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)。并且需要制定小組成員的最終的總評得分，得分構(gòu)成的主體應(yīng)該以學(xué)生自評和小組成員進(jìn)行評價(jià)，從此環(huán)節(jié)可以注意到每一位學(xué)生是否在探究問題的過程中做到了積極參與和探究，避免存在小組中只是部分學(xué)生的展示平臺(tái)。

2 PBL教學(xué)模式下指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 教材分析

指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)選自人教A版必修一第二章第二節(jié)，從內(nèi)容上學(xué)生學(xué)習(xí)過一次函數(shù)等基本初等函數(shù)并且上一章節(jié)學(xué)習(xí)了集合定義下的函數(shù)概念與性質(zhì)，因此對于新的函數(shù)模型的探究過程比較熟悉。即從實(shí)際問題情景探究到建立指數(shù)函數(shù)模型和概念，最后畫出圖象并根據(jù)圖象研究性質(zhì)并應(yīng)用，并且指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)三者密切聯(lián)系，對于三者的研究過程都是貫穿著類比思想，具有從具體到一般的抽象過程，因此只有經(jīng)歷指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的學(xué)習(xí)，學(xué)生才會(huì)真正掌握到研究一類函數(shù)的方法，積累經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會(huì)從圖象和代數(shù)運(yùn)算的角度下認(rèn)識(shí)具體函數(shù)和性質(zhì)，不但為學(xué)生后續(xù)對對數(shù)函數(shù)等自主研究做鋪墊，而且能實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教育價(jià)值[3]。

2.2 學(xué)情分析

本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了集合定義的函數(shù)概念與性質(zhì)基礎(chǔ)上，學(xué)生對于函數(shù)的研究方法有一定的了解，可以按照“概念—表示—性質(zhì)—應(yīng)用”的主線進(jìn)行研究。學(xué)生學(xué)習(xí)此內(nèi)容時(shí)處于高一，學(xué)生心理逐步趨于相對穩(wěn)定和成熟;從思維上看，學(xué)生已經(jīng)處于經(jīng)驗(yàn)型向理論型過渡階段，學(xué)生已具有抽象思維能力及獨(dú)立思考的意識(shí)，這都為本節(jié)課的順利開展提供能力基礎(chǔ)。

2.3 教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)新課標(biāo)、教材分析、學(xué)情分析以及相關(guān)文獻(xiàn)[4]，本文制定了以下教學(xué)目標(biāo)：

（1）通過問題情景，經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模過程，由實(shí)例抽象出指數(shù)函數(shù)概念，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)。

（2）會(huì)用描點(diǎn)法畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)，應(yīng)用性質(zhì)解決實(shí)際問題。

（3）結(jié)合指數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)研究，體會(huì)研究函數(shù)的一般方法，提升直觀想象素養(yǎng)。

（4）能夠通過學(xué)習(xí)，感受數(shù)學(xué)的生活化和實(shí)踐化，體會(huì)到生活處處是數(shù)學(xué)，生活處處是問題，從而達(dá)到培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的能力。

2.4 教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的表示以及圖象與性質(zhì)。

難點(diǎn)：對底數(shù)的分類，以及根據(jù)圖象和解析式歸納指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)并應(yīng)用。

2.5 教學(xué)過程

2.5.1 提出問題

師：同學(xué)們知道一張普通A4紙最多可以對折多少次嗎？可以拿出一張普通的A4紙，進(jìn)行對折試一試。

生：可以對折20次、15次等回答，然后動(dòng)手實(shí)驗(yàn)（發(fā)現(xiàn)班級(jí)最多的對折也只在7到8次左右）。

師：其實(shí)理論上一張普通A4紙是可以無限次對折，但是世界紀(jì)錄也只在13次，根據(jù)一些計(jì)算如果對折42次，厚度都有可能達(dá)到地月距離，那么這是什么原因呢？我們今天一起來探索一下。

師：還是一張?jiān)O(shè)定面積為1的普通A4紙，進(jìn)行重復(fù)對折x次后，設(shè)總層數(shù)為y1，其中一層的面積為y2，將y1，y2表示為關(guān)于x的函數(shù)，小組可以討論完成。

設(shè)計(jì)意圖：首先有一個(gè)有趣的科學(xué)小問題讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，引發(fā)認(rèn)知沖突，接著在此基礎(chǔ)上提出指數(shù)函數(shù)的問題情景，拋出問題，引起學(xué)生探索欲望以及學(xué)習(xí)興趣。

2.5.2 分析問題

PBL教學(xué)模式以問題為核心，在教學(xué)過程中讓學(xué)生帶著問題進(jìn)行討論，小組成員之間共同探討，找出解決問題的關(guān)鍵，以小組為單位，將遇到問題和困難記錄下來，討論解決或向教師提出。教師的任務(wù)是巡視和個(gè)別指導(dǎo)，遇到共性問題則全班進(jìn)行指導(dǎo)，學(xué)生通過分組討論，歸納，形成最佳問題答案[5]。在分析問題的過程中可以根據(jù)實(shí)際的教學(xué)環(huán)境和條件選擇信息技術(shù)或者其他形象直觀的方式進(jìn)行引導(dǎo)分析，讓學(xué)生能夠通過問題的分析過程體會(huì)到問題背后的實(shí)質(zhì)，從而在解決問題的環(huán)節(jié)中事半功倍。

2.5.3 解決問題

師：對于提出問題的環(huán)節(jié)中折紙問題通過討論，引出函數(shù)表達(dá)式：y1=2x，y2=（）x，x∈N，通過提問兩者之間有什么共同特征？對學(xué)生進(jìn)行對比上節(jié)課的指數(shù)冪的知識(shí)引導(dǎo)研究，提示用α代替表達(dá)式中的2，。

生：學(xué)生經(jīng)過替換，感受到這兩個(gè)問題的指數(shù)冪的共性，得出指數(shù)函數(shù)表達(dá)式為y=ax。

師：接著對于表達(dá)式再次提問，對于底數(shù)的取值有什么要求呢？引導(dǎo)學(xué)生討論底數(shù)的取值和定義域。

經(jīng)過學(xué)生小組討論知，如果a<0時(shí)，x取負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)時(shí)，函數(shù)值沒有意義，而a=1時(shí)，函數(shù)是直線y=1在折紙問題只能有整數(shù)所以x∈N，但是函數(shù)的研究中x∈R最終得出指數(shù)函數(shù)的定義：y=ax，（a>0且a≠1），x∈R。

設(shè)計(jì)意圖：一方面讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐探究指數(shù)函數(shù)的定義，讓學(xué)生從發(fā)現(xiàn)問題產(chǎn)生認(rèn)知沖突自己主動(dòng)探究解決問題，發(fā)展了學(xué)生的主動(dòng)性，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力;二是通過小組合作也是培養(yǎng)他們團(tuán)隊(duì)合作的能力，對于學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣也是一種培養(yǎng)。

圖象是研究函數(shù)最直觀的工具，學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中對于畫出函數(shù)圖象的步驟已經(jīng)有初步的知識(shí)結(jié)構(gòu)，教師首先對學(xué)生進(jìn)行畫函數(shù)圖象的步驟的復(fù)習(xí)，依次是列表、描點(diǎn)、連線，然后還是上述折紙的函數(shù)表達(dá)式：y1=2x，y2=（）x進(jìn)行列表、描點(diǎn)、連線的方法畫圖，在學(xué)生畫出函數(shù)圖象之后引導(dǎo)學(xué)生在此基礎(chǔ)上繼續(xù)作y3=3x，y4=（）x的圖象，以便概括函數(shù)性質(zhì)做準(zhǔn)備，學(xué)生也可通過信息技術(shù)如作圖計(jì)算器、幾何畫板或者GeoGebra等軟件自主操作，通過改變a的值來獲得多個(gè)函數(shù)圖象。

師：使用多媒體呈現(xiàn)函數(shù)圖象，提問從畫出的圖象中，發(fā)現(xiàn)y1=2x，y2=（）x以及y3=3x，y4=（）x圖象之間的關(guān)系？能否利用y=2x畫出y=（）x圖象、用y=3x畫出y=（）x圖象？

生：觀察圖象，表述自己的觀點(diǎn)，即y1=2x，y2=（）x以及y3=3x，y4=（）x圖象之間是關(guān)于y軸是對稱的關(guān)系，畫出一個(gè)利用對稱的關(guān)系則可以畫出另一半。

師生共同交流總結(jié)，利用對稱性畫指數(shù)函數(shù)圖象的方法。

設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生自主探究和總結(jié)，使學(xué)生掌握兩個(gè)函數(shù)圖象之間的對稱關(guān)系以及其解析式的特點(diǎn)，利用對稱性畫圖。

師：繼續(xù)提問學(xué)生，經(jīng)過上一章節(jié)函數(shù)的性質(zhì)的學(xué)習(xí)，能否利用指數(shù)函數(shù)的圖象歸納出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)嗎？教師引導(dǎo)學(xué)生觀察多媒體呈現(xiàn)的圖象或是自己畫出的各種底數(shù)的函數(shù)圖象，概括指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，并完成下表1。

生：各個(gè)小組通過觀察不同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)圖象，對于表格所需要的內(nèi)容，完成指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的探究，形成對指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，小組派代表進(jìn)行講解，每個(gè)小組講解一個(gè)性質(zhì)，其他小組需要進(jìn)行補(bǔ)充和糾正。

師：在學(xué)生們總結(jié)出性質(zhì)的基礎(chǔ)上，強(qiáng)調(diào)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)中的重點(diǎn)，以及結(jié)合函數(shù)圖象進(jìn)行對函數(shù)性質(zhì)的記憶。

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)環(huán)環(huán)相扣的問題，讓學(xué)生在小組合作的基礎(chǔ)上，逐步探究并掌握指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)。整個(gè)環(huán)節(jié)讓學(xué)生自主在問題的基礎(chǔ)上探究，逐步完善對指數(shù)函數(shù)的認(rèn)識(shí)，不僅對學(xué)生的能力的培養(yǎng)，也是對其數(shù)形結(jié)合等思維的培養(yǎng)。

2.5.4 應(yīng)用問題

在對指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的知識(shí)結(jié)構(gòu)完善之后，還需引導(dǎo)學(xué)生回歸到問題本身，解決實(shí)際問題。

師：回歸到問題上，為什么一張普通的A4紙對折，大家只能對折7到8次呢？理論上對折42次，是否能達(dá)到地月距離呢？我們該如何利用指數(shù)函數(shù)的知識(shí)進(jìn)行科學(xué)計(jì)算？現(xiàn)在假設(shè)一張普通A4紙厚度約為0.1mm，請同學(xué)們進(jìn)行計(jì)算。

生：利用本節(jié)指數(shù)函數(shù)的知識(shí)，借助計(jì)算器等手段，不難算出y=2x當(dāng)x=42時(shí)，242=439804.65km，遠(yuǎn)大于地月距離的38km.因此這個(gè)有趣的科普小知識(shí)是真實(shí)的。

師：在多媒體上呈現(xiàn)1.01365，0.99365;1.02365，0.98365兩組值，讓學(xué)生進(jìn)行比較值的大小，體會(huì)感悟。

生：經(jīng)過計(jì)算可以得出，1.01365≈37.8，0.99365≈0.037;1.02365≈1377，0.98365≈0.0006，體會(huì)出只是底數(shù)相差一點(diǎn)，但是指數(shù)函數(shù)值卻相差很大。

師：概括到人生上也一樣，每天只要進(jìn)步一點(diǎn)，長久下來也會(huì)有大的進(jìn)步，相反每天退步一點(diǎn)點(diǎn)，長久下來也會(huì)退步很多，提醒學(xué)生積跬步以致千里，積怠惰以致深淵。

設(shè)計(jì)意圖：從問題回歸問題，形成PBL教學(xué)模式下以學(xué)生為主，以問題為核心的特點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際生活中的問題，并結(jié)合知識(shí)，講述在數(shù)字中的人生道理，也是一種數(shù)學(xué)文化與課程思政的體現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生全面發(fā)展。

2.5.5 評價(jià)總結(jié)

在評價(jià)總結(jié)部分，采用學(xué)生與教師共同評價(jià)的方式，基于個(gè)人得分=自評評價(jià)（30%）+互相評價(jià)（20%）+小組評價(jià)（20%）+教師評價(jià)（30%）的評價(jià)權(quán)重準(zhǔn)則，主要體現(xiàn)學(xué)生對于自我的認(rèn)識(shí)以及小組成員和小組整體對于本次探究的貢獻(xiàn)程度和表現(xiàn)情況，綜合教師負(fù)責(zé)對于學(xué)生進(jìn)行展示表述等表現(xiàn)的一個(gè)評價(jià)，對學(xué)生來說更為合理和公正，一來體現(xiàn)學(xué)生的能力，二來有這樣的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)也是不斷地促進(jìn)學(xué)生積極參與小組和課堂探究，以免存在只有個(gè)別同學(xué)積極參與課堂的現(xiàn)象。

3 總結(jié)與反思

3.1 總結(jié)

PBL教學(xué)模式總的來說就是以學(xué)生為中心，將問題作為課堂中心，設(shè)計(jì)問題情景，教師圍繞著問題設(shè)計(jì)安排課程，使學(xué)生能夠融入到問題情境中，鼓勵(lì)學(xué)生能夠主動(dòng)學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)，然后解決問題，同時(shí)激發(fā)學(xué)生思考和提問，引導(dǎo)學(xué)生深入的理解問題的一種教學(xué)模式。函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中十分重要的知識(shí)，并且是四條主線之一，可以說是貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，對以后的大學(xué)學(xué)習(xí)都是重要的基礎(chǔ)。因此只使用傳統(tǒng)教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)，以教師講授為主，學(xué)生往往不能深入的理解和學(xué)習(xí)，甚至?xí)a(chǎn)生枯燥的情緒。這也與新課標(biāo)的以學(xué)生發(fā)展為本，立德樹人，提升素養(yǎng)的基本理念是相違背的。所以，在傳統(tǒng)教學(xué)模式的基礎(chǔ)上結(jié)合PBL教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)，不僅可以使學(xué)生學(xué)習(xí)具有更強(qiáng)的主動(dòng)性和探索性，而且讓學(xué)生的學(xué)習(xí)根據(jù)有問題性和參與性，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、思考和解決問題的能力，使得學(xué)生能夠全面發(fā)展。

3.2 反思

誠然沒有問題也就沒有數(shù)學(xué)，問題也是一直推進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展的重要源泉，但是在PBL教學(xué)模式下進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)還是有很多需要再進(jìn)一步思考的地方。如教師的問題的設(shè)置要考慮科學(xué)性和實(shí)際性，不能憑空設(shè)置與科學(xué)和認(rèn)知不符合的問題情景;對于教學(xué)過程中的監(jiān)管力度需要加大，保證每一位學(xué)生都能積極參與進(jìn)來，否則課堂只是部分學(xué)生的個(gè)人展示;最后小組的分配以及組內(nèi)的交流工作需要有整體的規(guī)劃，確保每個(gè)小組的水平能力相當(dāng)，溝通暢快，這樣才能達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生探究和溝通等能力。因此，PBL教學(xué)模式的選擇使用也不是適合所有課程內(nèi)容和環(huán)境，教師需要根據(jù)各種條件和因素妥善安排和選擇，才能達(dá)到理想的教學(xué)效果。

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作者簡介：

王寅：（1998—），男，漢族，江蘇省淮安市人，現(xiàn)為寧夏師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院碩士生。研究方向：數(shù)學(xué)教育。