概率教材比較與單元教學(xué)設(shè)計(jì)分析

江蘇省高郵中學(xué) (225600) 黃桂君

1.初、高中“統(tǒng)計(jì)與概率”的銜接

初中“統(tǒng)計(jì)與概率”的主要內(nèi)容有：收集、整理和描述數(shù)據(jù)，包括簡(jiǎn)單抽樣、整理調(diào)查數(shù)據(jù)、繪制統(tǒng)計(jì)圖表等；處理數(shù)據(jù)，包括計(jì)算平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差等；從數(shù)據(jù)中提取信息并進(jìn)行簡(jiǎn)單的推斷；簡(jiǎn)單隨機(jī)事件及其發(fā)生的概率.

高中必修第二冊(cè)在初中學(xué)過(guò)“統(tǒng)計(jì)與概率”知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)習(xí)“概率與統(tǒng)計(jì)”.從初中到高中，是一個(gè)統(tǒng)計(jì)(樣本估計(jì)總體等)→概率(簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率)到高中必修第二冊(cè)再統(tǒng)計(jì)→概率，然后到選擇性必修第三冊(cè)又進(jìn)一步概率(隨機(jī)變量)→統(tǒng)計(jì)(案例：獨(dú)立性檢驗(yàn)和相關(guān)性檢驗(yàn))的遞進(jìn)式學(xué)習(xí)過(guò)程.承擔(dān)的主要育人任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生分析隨機(jī)現(xiàn)象的能力，學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)分析(數(shù)學(xué)學(xué)科6個(gè)核心素養(yǎng)之一)的方法.

2.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)概率教學(xué)要求

主題四——概率與統(tǒng)計(jì).總計(jì)建議20課時(shí).

通過(guò)本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生結(jié)合具體實(shí)例，理解樣本點(diǎn)ωi、有限樣本空間Ω、隨機(jī)事件A等，會(huì)計(jì)算古典概型中簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率，加深對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)和理解.

內(nèi)容包括：(1)隨機(jī)事件與概率

①結(jié)合具體實(shí)例(拋擲硬幣、骰子，摸球、撲克牌等)，理解樣本點(diǎn)和有限樣本空間的含義，理解隨機(jī)事件與樣本點(diǎn)的關(guān)系(參見(jiàn)案例12).了解隨機(jī)事件的包含、并、交與互斥的含義，能結(jié)合實(shí)例進(jìn)行隨機(jī)事件的并、交運(yùn)算.

②結(jié)合具體實(shí)例，理解古典概型，能計(jì)算古典概型中簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率.

③通過(guò)實(shí)例，理解概率的性質(zhì)，掌握隨機(jī)事件概率的運(yùn)算法則.

④結(jié)合實(shí)例，會(huì)用頻率估計(jì)概率.

(2)隨機(jī)事件的獨(dú)立性

結(jié)合有限樣本空間，了解兩個(gè)隨機(jī)事件獨(dú)立性的含義.結(jié)合古典概型，利用獨(dú)立性計(jì)算概率.

3.蘇教版新舊教材的比較

必修3(模塊)：隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)事件的概率，古典概型、幾何概型(不要了)，互斥事件、對(duì)立事件.

最大的不同是：用集合語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)事件：首次引入樣本空間Ω，樣本點(diǎn)ωi(i=1,2,…,n).隨機(jī)事件A,B(Ω的子集)等，Ω為必然事件，?為不可能事件.這樣比過(guò)去側(cè)重于文字表述簡(jiǎn)單、更科學(xué)、規(guī)范.為用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述隨機(jī)現(xiàn)象和隨機(jī)事件提供了工具.獨(dú)立事件提前了，直接通過(guò)集合間的關(guān)系，具體的實(shí)例，由P(AB)=P(A)P(B)，給出事件A與B相互獨(dú)立，而不再如選修2-3專題中那樣通過(guò)有難度的“條件概率”，過(guò)渡得出獨(dú)立事件.“條件概率與全概率公式”放在選擇性必修中了.這樣的安排(調(diào)整)更符合實(shí)情，因?yàn)橛性S多問(wèn)題已不知不覺(jué)的運(yùn)用了獨(dú)立性概率的運(yùn)算公式(乘法).

4.新教材必修第二冊(cè)蘇教版與人教版的比較

大單元的設(shè)計(jì)安排：都安排了3節(jié).就第1節(jié)內(nèi)容(小單元設(shè)計(jì))而言，感覺(jué)蘇教版內(nèi)容“少”了點(diǎn)，人教版內(nèi)容似乎又“多”了些.

蘇教版 第15章 概率

15.1 隨機(jī)事件與樣本空間

15.2 隨機(jī)事件的概率

15.3 互斥事件和獨(dú)立事件

有關(guān)概念：確定性現(xiàn)象，隨機(jī)現(xiàn)象(初中的，人教版沒(méi)有特別提).隨機(jī)試驗(yàn)(簡(jiǎn)稱試驗(yàn)).

樣本點(diǎn)ω，樣本空間Ω.隨機(jī)事件A(簡(jiǎn)稱事件)，基本事件(僅包含單一樣本點(diǎn)的事件，類似于單元素集合).顯然，Ω為必然事件，?為不可能事件.

指出：當(dāng)一個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果是A的一個(gè)元素時(shí)，就稱事件A發(fā)生了.

例1——寫(xiě)出樣本空間Ω及事件A所包含的樣本點(diǎn).

例2——寫(xiě)出兩個(gè)事件A,B所包含的樣本點(diǎn)，并用集合的語(yǔ)言分析兩者之間的關(guān)系(B?A)，引得事件A包含事件B(或事件B包含于事件A).

例3——寫(xiě)出三個(gè)事件A,B,C所包含的樣本點(diǎn)，并用集合的語(yǔ)言分析三者之間的關(guān)系(C=A∪B)，引出事件A與B的并，也稱A與B的和，并記作C=A+B.

例4——同上，寫(xiě)出三個(gè)事件A,B,C所包含的樣本點(diǎn)，并用集合的語(yǔ)言分析三者之間的關(guān)系(C=A∩B)，引出事件A與B的交，也稱A與B的積，并記作C=AB.

突出了數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表示：自然文字語(yǔ)言，集合符號(hào)語(yǔ)言，文氏圖形語(yǔ)言及其相互轉(zhuǎn)化.

人教版 第十章 概率

10.1 隨機(jī)事件與概率

包括：10.1.1有限樣本空間與隨機(jī)事件.

10.1.2事件的關(guān)系和運(yùn)算.

10.2 事件的相互獨(dú)立性

10.3 頻率與概率

有關(guān)概念：隨機(jī)試驗(yàn)E.樣本點(diǎn)ω，樣本空間Ω，有限樣本空間.

例1——拋擲一枚硬幣，觀察它落地時(shí)哪一面朝上，寫(xiě)出試驗(yàn)的樣本空間.

例2——拋擲一枚骰子，觀察它落地時(shí)朝上的面的點(diǎn)數(shù)，寫(xiě)出試驗(yàn)的樣本空間.

例3——拋擲兩枚硬幣，觀察它落地時(shí)朝上的面的情況，寫(xiě)出試驗(yàn)的樣本空間.

接著通過(guò)體育彩票搖號(hào)試驗(yàn)給出隨機(jī)事件A(簡(jiǎn)稱事件)，基本事件(僅包含單一樣本點(diǎn)的事件，類似于單元素集合)，事件A發(fā)生(同樣指出：在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)A中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)).稱Ω為必然事件，?為不可能事件.

例4——電路圖，用集合表示事件.

例5、例6——寫(xiě)出樣本空間、事件，以及各事件之間的關(guān)系.

同樣突出了數(shù)學(xué)文字語(yǔ)言，集合符號(hào)語(yǔ)言，文氏圖形語(yǔ)言的表示和轉(zhuǎn)化.

5.概率第一課時(shí)教學(xué)參考建議

教學(xué)設(shè)計(jì)的目的：理解樣本點(diǎn)、樣本量、有限樣本空間的概念，以及有限樣本空間中隨機(jī)事件的相關(guān)運(yùn)算，理解隨機(jī)事件的表達(dá)，體會(huì)隨機(jī)思想.這個(gè)是必須的.也可以到此為止(如蘇教版).如果覺(jué)得內(nèi)容少、學(xué)生表現(xiàn)也較好，則可以在討論例4后請(qǐng)學(xué)生思考(類比，有集合知識(shí)的基礎(chǔ)難度不大)：畫(huà)出文氏圖，其中A∩B=?，試問(wèn)事件A與B有什么關(guān)系？給出概念(互斥事件(或互不相容事件))，或不給出概念下次再學(xué)習(xí).同樣，畫(huà)出文氏圖，其中A∪B=Ω，且A∩B=?，試問(wèn)事件A與B有什么關(guān)系？給出概念(互為對(duì)立事件)，或留給學(xué)生思考.

(1)要重視——用集合語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)事件(描述有關(guān)概念)：樣本空間Ω(主要是有限樣本空間，類似于全集)，樣本點(diǎn)ωi(i=1,2,…,n)(樣本空間Ω集合中的元素).隨機(jī)事件A,B(Ω的子集)等，Ω(全集)為必然事件， ?(空集)為不可能事件.

“隨機(jī)事件”是核心概念之一，如果理解不深刻，將影響整個(gè)概率的學(xué)習(xí).引入樣本點(diǎn)、有限樣本空間概念，再用樣本空間的子集表示隨機(jī)事件，這是“隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)學(xué)化”的關(guān)鍵一步，教學(xué)中要給予重視.

幫助學(xué)生學(xué)會(huì)使用簡(jiǎn)單的符號(hào)(字母、數(shù)字、有序數(shù)組等)表示試驗(yàn)的樣本點(diǎn)、列舉樣本空間(借助圖表可以幫助我們不重不漏地列出所有的可能結(jié)果)，這既是重點(diǎn)也是難點(diǎn).用簡(jiǎn)單事件的運(yùn)算表示復(fù)雜事件是又一個(gè)難點(diǎn)，采用不同數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換，通過(guò)多種不同的方法，可以有效的突破這一難點(diǎn).

兩個(gè)重要的案例：

①投擲兩枚硬幣，觀察它們落地時(shí)朝上的面的情況.(有學(xué)生往往認(rèn)為有3種可能的結(jié)果)

引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)書(shū)面表達(dá)：第1枚硬幣可能的基本結(jié)果用x表示，第2枚硬幣可能的基本結(jié)果用y表示，則樣本點(diǎn)可用(x,y)表示.于是試驗(yàn)的樣本空間為Ω={(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}或Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}.

②投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子(標(biāo)記為Ⅰ號(hào)和Ⅱ號(hào))，觀察兩枚骰子分別可能出現(xiàn)的基本結(jié)果.

(2)要了解——為后面選擇性必修第三冊(cè)事件用隨機(jī)變量X表示后的概率分布做鋪墊，打牢基礎(chǔ).

從必修課程關(guān)注隨機(jī)現(xiàn)象出現(xiàn)某一個(gè)結(jié)果(事件)的概率，到選擇性必修內(nèi)容關(guān)注隨機(jī)現(xiàn)象整體分布，學(xué)生在認(rèn)識(shí)上往往存在困難.我們注意到教材有意用“1”表示硬幣“正面朝上”，用“0”表示硬幣“反面朝上”等.將事件數(shù)字化，其做法是為后面選擇性必修第三冊(cè)事件用隨機(jī)變量X表示做鋪墊.

是先學(xué)習(xí)概率——將事件用隨機(jī)變量X(數(shù))表示后，研究和討論離散型隨機(jī)變量X的概率分布列(類似數(shù)列——一列函數(shù)值)、分布表(兩點(diǎn)分布X～0-1(對(duì)立事件)、超幾何分布X～H(n,M,N)(互斥事件)、二項(xiàng)分布X～B(n,p)(獨(dú)立重復(fù)事件)).連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率分布圖——正態(tài)分布N～(μ,σ2).

后學(xué)統(tǒng)計(jì)——統(tǒng)計(jì)案例：獨(dú)立性χ2檢驗(yàn)，相關(guān)性r檢驗(yàn)(主要是線性回歸分析).

類比運(yùn)用函數(shù)的思想方法，將概率分布看成是函數(shù)的取值分布：f(x0)與P(X=x0)；y=f(x)與P(A).不過(guò)概率的研究對(duì)象要比函數(shù)的研究對(duì)象復(fù)雜得多.

(3)要轉(zhuǎn)變觀念——這一塊的教學(xué)內(nèi)容及例題、練習(xí)題與函數(shù)、三角、數(shù)列等有很大不同，就是規(guī)定的定義、概念比較多，這些又不好讓學(xué)生探究.當(dāng)然，也有可以讓學(xué)生思考的問(wèn)題，如等可能的所有樣本點(diǎn)及其個(gè)數(shù)，用集合來(lái)理解事件之間的關(guān)系等.教學(xué)中要注意利用典型例子，針對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的特征、樣本點(diǎn)、樣本空間、隨機(jī)事件及其關(guān)系等提出問(wèn)題，最好是讓學(xué)生自己提出問(wèn)題.教師上課講的不要認(rèn)為簡(jiǎn)單問(wèn)題繁瑣化，學(xué)生作業(yè)做的不要嫌不帶勁(我們知道過(guò)去學(xué)生求概率就寫(xiě)一個(gè)式子或數(shù)字，不少老師和學(xué)生連“記……為事件A”等都懶得寫(xiě)).尤其是認(rèn)為寫(xiě)出樣本空間Ω及其中的元素即樣本點(diǎn)ω、事件A及其中的樣本點(diǎn)，沒(méi)有什么意思.要拋棄這樣的想法，這樣的訓(xùn)練是基礎(chǔ)性的，對(duì)于認(rèn)識(shí)和理解隨機(jī)現(xiàn)象有重要意義，不能匆匆而過(guò)多.要多引導(dǎo)學(xué)生用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示試驗(yàn)所有的可能結(jié)果，重視學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)的訓(xùn)練.