借助幾何直觀教學(xué) 感悟數(shù)學(xué)基本思想

摘 要：數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)是學(xué)生在探究、交流共享中建構(gòu)知識的過程。在實(shí)際教學(xué)中，教師需有效地進(jìn)行預(yù)設(shè)，借助幾何直觀教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深層次的探究，感悟數(shù)學(xué)基本思想。文章以北師大版數(shù)學(xué)四年級（上冊）“數(shù)圖形的學(xué)問”教學(xué)為例，分析了如何借助幾何直觀教學(xué)讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)基本思想。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);幾何直觀;數(shù)學(xué)基本思想

中圖分類號：G427 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：2095-9192（2022）07-0034-03

引 ?言

四年級學(xué)生正處于由具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的階段，他們具有一定的探究意識。課堂教學(xué)中，筆者通常利用學(xué)生這一心理，設(shè)置“跳一跳能摘到桃子”的問題，讓學(xué)生在探究中品嘗成功，感悟數(shù)學(xué)思想。本文以北師大版數(shù)學(xué)四年級（上冊）“數(shù)圖形的學(xué)問”為例，談?wù)勅绾闻囵B(yǎng)學(xué)生的幾何直觀思想。

一、幾何直觀在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中具有重要意義

其一，幾何直觀能夠?qū)?fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡單明了，幫助學(xué)生拓展思維，加深學(xué)生對所學(xué)知識的理解，提高學(xué)生的解題能力。其二，幾何直觀大大增強(qiáng)了數(shù)學(xué)中數(shù)與形的聯(lián)系，有利于提高學(xué)生解題效率。數(shù)與形是客觀事物，在數(shù)學(xué)學(xué)科中，數(shù)與形是聯(lián)系緊密的兩個(gè)元素。二者既相互對立，也相互統(tǒng)一。就像我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚所說的那樣，數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微。其三，幾何直觀是培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)習(xí)慣的重要推手。它的作用不僅僅局限于數(shù)學(xué)學(xué)科，還可以輻射到其他學(xué)科，甚至對學(xué)生的生活實(shí)踐都有很大的影響[1]。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀分析

（一）學(xué)生興趣低下

就目前的小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)狀態(tài)而言，其所展現(xiàn)出來的主要現(xiàn)狀就是學(xué)習(xí)興趣低下。有興趣，才有學(xué)習(xí)的動(dòng)力。一直以來，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師都過于重視對理論知識的講述，忽視對學(xué)生解題能力、計(jì)算能力的培養(yǎng)。因此，教師采用的教學(xué)方式較為單一，無法激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，導(dǎo)致學(xué)生成為被動(dòng)接受知識的容器。興趣是最好的老師，是學(xué)好數(shù)學(xué)，或者說學(xué)好一切學(xué)科的重要前提和基礎(chǔ)。在教學(xué)中，教師不能只關(guān)注教學(xué)進(jìn)度、學(xué)生的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)，還應(yīng)該關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，以靈活多變的方式開展數(shù)學(xué)教學(xué)，讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的魅力，從而不斷激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)探究，以積極主動(dòng)的姿態(tài)投入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，實(shí)現(xiàn)各方面素養(yǎng)的提升。

（二）教學(xué)方法單一

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師習(xí)慣了一言堂，一味將知識灌輸給學(xué)生，看似完成了教學(xué)目標(biāo)，實(shí)則不利于學(xué)生真正理解和掌握知識。在素質(zhì)教育背景下，教師要摒棄“灌輸式”“填鴨式”的教學(xué)方法，在課堂上重探究、重合作、重互動(dòng)、重思考，真正促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。為此，教師要?jiǎng)?chuàng)新教學(xué)方法，使課堂教學(xué)更加生動(dòng)。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)幾何直觀的教學(xué)方法

（一）課堂展示教學(xué)法

小學(xué)數(shù)學(xué)幾何教學(xué)中的課堂展示教學(xué)法，是指在幾何知識的教學(xué)中，教師要善于通過模型的展示，給學(xué)生以直觀的印象，促使學(xué)生建立對幾何的認(rèn)識。展示的過程即是幫助學(xué)生建立思維直觀印象的過程，有利于學(xué)生快速理解與消化抽象的幾何知識[2]。

比如，在課堂教學(xué)中，筆者經(jīng)常借助多媒體設(shè)備向?qū)W生展示熟悉的生活事物。借助電子白板的強(qiáng)大功能，教師可以從這些具體的事物中抽象出幾何圖形。小學(xué)生抽象思維能力薄弱，需要借助一些直觀的展示才能理解一些概念和問題。課堂展示教學(xué)法中，展示者既可以是教師，也可以是學(xué)生，教師可以自己展示相關(guān)內(nèi)容，也可以給學(xué)生布置學(xué)習(xí)任務(wù)，讓他們制作展示的課件，并在課堂上講述。

（二）換位思考教學(xué)法

換位思考不僅僅適用于人際交往，同樣適用于小學(xué)數(shù)學(xué)幾何直觀教學(xué)。這種方法要求教師站在學(xué)生的角度去研究教學(xué)、思考問題，從而使教學(xué)以學(xué)生為主體，最終促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展。其中，最有效的辦法就是將學(xué)生的困惑作為教學(xué)的起點(diǎn)，將解決學(xué)生的困惑作為最終的目標(biāo)。從備課之初，教師就要做好準(zhǔn)備，了解學(xué)生在幾何知識方面的困惑以及幾何思維上的薄弱點(diǎn)。新課程改革明確指出學(xué)生是課堂的主體。要做到這一點(diǎn)，教師就必須采用換位思考教學(xué)法，構(gòu)建以學(xué)生為中心的培養(yǎng)模式，使教學(xué)的整個(gè)過程更加彰顯對學(xué)生幾何思維的培養(yǎng)。

（三）一題多解教學(xué)法

很多情況下，解決幾何問題并非只有一種方法，這也是數(shù)學(xué)的神奇之處。在幾何直觀教學(xué)中，教師要鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行一題多解，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維。比如，在尋找?guī)缀文Ｐ驮氐膶W(xué)習(xí)中，教師讓學(xué)生進(jìn)行一番自我探究后，大多數(shù)學(xué)生都可以找到這樣幾個(gè)幾何元素：中點(diǎn)、角的平分線、直角三角形。其實(shí)，掌握了這些最基礎(chǔ)的模型，就等于掌握了了解幾何體最有力的武器。在幾何直觀教學(xué)中，教師要靈活運(yùn)用一題多解教學(xué)法，使學(xué)生領(lǐng)略到幾何直觀教學(xué)的真正含義，使教師的教、學(xué)生的學(xué)都更具探究性。

四、幾何直觀教學(xué)數(shù)學(xué)基本思想滲透的案例研究

（一）借助幾何直觀教學(xué)，讓抽象思想在課堂中綻放

數(shù)學(xué)課堂上只有讓學(xué)生親身經(jīng)歷抽象的過程，感受抽象的客觀真實(shí)，才能使學(xué)生對“抽象”這一基本思想有所感悟。

例如，教學(xué)“數(shù)圖形的學(xué)問”時(shí)，筆者先將鮮活的情境圖（如圖1）呈現(xiàn)給學(xué)生。在學(xué)生解讀情境圖后，筆者繼續(xù)拋出問題：“有多少條路線？”學(xué)生頓時(shí)忙開了，認(rèn)認(rèn)真真地?cái)?shù)著。然后，筆者讓學(xué)生在小組內(nèi)交流一下，找出數(shù)圖形的辦法。

交流時(shí)，第一組代表分別從第二、第三與第一個(gè)洞口進(jìn)入，細(xì)心數(shù)出了6條路線，得到了大家的認(rèn)可。第二組質(zhì)疑：如果按順序，分別從第一、第二、第三個(gè)洞口進(jìn)入，更便于做到“不重不漏”。第三組代表很自豪地拿出了小組作品進(jìn)行展示，他們把洞口略去，在稿紙上點(diǎn)上四個(gè)點(diǎn)表示洞口，并且連出了路線。

筆者感到很驚喜，讓學(xué)生比較三個(gè)小組的做法。大家一致認(rèn)為第三組作品最出色，用示意圖解決了數(shù)圖形的問題。然而，第四組代表不服氣地提出了他們的想法：如果在表示洞口的四個(gè)點(diǎn)下，分別標(biāo)出A、B、C、D，不但便于表示，而且便于解說。

伴著學(xué)生興奮的心情，筆者按照四組代表的想法，將情境隱去的同時(shí)，呈現(xiàn)四個(gè)點(diǎn)，分別用A、B、C、D表示。強(qiáng)烈的視覺沖擊，激發(fā)了學(xué)生探究的樂趣。筆者適時(shí)提出要求：想辦法按順序數(shù)出有多少條不同的路線，要做到不重不漏。

學(xué)生小組合作交流后，第一組代表首先發(fā)言：連AB、AC、BC、BD、AD、CD共6條線段，說明有6條不同的路線。第二組代表提出不同的想法：題目要求是按順序數(shù)出不同的路線，一組雖數(shù)出了6條線段，但是沒有按順序數(shù)，我們組建議連AB、BC、CD，這三條是最短的路線，稍長的路線有AC、BD共2條，最長的路線有AD，所以一共有3+2+1=6條路線。筆者根據(jù)第二組代表的思路，利用多媒體設(shè)備展示出這6條路線的連接方式，同時(shí)板書：按路線長短分。

“還有其他方法嗎？”筆者再次拋出問題。第三組代表顯然經(jīng)過細(xì)心的語言準(zhǔn)備，說：“我們組是按路線的起點(diǎn)分，從A點(diǎn)，可以連AB、AC、AD三條，從B點(diǎn)可以連BC、BD兩條，從C點(diǎn)可以連CD一條，所以一共是3+2+1=6條?！比M代表不但思路清晰，而且語言表達(dá)準(zhǔn)確、合理。筆者順著其思路，播放課件，驗(yàn)證三組同學(xué)的想法，同時(shí)板書：按路線的起點(diǎn)分。

學(xué)生思維在碰撞中能夠逐步完善。他們借助幾何直觀，將生活中的現(xiàn)實(shí)問題抽象成數(shù)學(xué)問題，讓抽象思想在課堂中綻放，不僅解決了“有多少條路線”的問題，也經(jīng)歷了用畫圖來解決問題的過程。

（二）借助幾何直觀教學(xué)，讓推理思想在課堂中閃光

教師只有將推理思想融入日常的教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生自覺運(yùn)用，才能使學(xué)生理解與感悟推理思想。

于是，筆者繼續(xù)提問：聰明的小鼴鼠解決了鉆洞的問題后，想要進(jìn)行一次“菜地旅行”，請根據(jù)情境（如圖2）畫出示意圖，有順序地?cái)?shù)一數(shù)，說說你是怎樣數(shù)的。

第四小組很快畫出了示意圖，并派代表說出組員商議的結(jié)果：在“鼴鼠鉆洞”中有四個(gè)洞口，為四個(gè)點(diǎn)，在“菜地旅行”里，有五個(gè)站，分別標(biāo)出A、B、C、D、E，按路線的長短分，最短的有AB、BC、CD、DE四條，稍長的有AC、BD、CE三條，再長的有AD、BE兩條，最長的有AE一條，一共是4+3+2+1=10條，即需要10種單程車票。第四組代表的發(fā)言不僅語言表達(dá)準(zhǔn)確，而且思路嚴(yán)謹(jǐn)，更重要的是合理運(yùn)用了推理。

第四組代表意猶未盡，繼續(xù)說：“還可以按路線的起點(diǎn)分，從A點(diǎn)可以連AB、AC、AD、AE四條，從B點(diǎn)可以連BC、BD、BE三條，從C點(diǎn)可以連CD、CE兩條，從D點(diǎn)可以連DE一條，仍然是4+3+2+1=10條?！睘榱俗寣W(xué)生理解第四組推理的思路，筆者追問：“你能把你們組的想法解釋得詳細(xì)一點(diǎn)嗎？”第四組代表沉思了一下，答：“在‘鼴鼠鉆洞’時(shí)，四個(gè)洞口，標(biāo)出A、B、C、D四點(diǎn)，可以分成三小段，現(xiàn)在有5個(gè)站點(diǎn)，可以標(biāo)出A、B、C、D、E五個(gè)點(diǎn)，分成四小段，只是在‘鼴鼠鉆洞’的基礎(chǔ)上增加一個(gè)點(diǎn)，增加了四條路線?！钡谒慕M代表的回答開啟了學(xué)生推理的思路，大家細(xì)心比較著剛才的算式。

第一組代表興奮地說：“如果是6個(gè)汽車站，單程需要準(zhǔn)備15種車票，是5+4+3+2+1=15種，如果是7個(gè)汽車站，則需要準(zhǔn)備6+5+4+3+2+1=21種單程車票，依此類推，8個(gè)汽車站則需要7+6+5+4+3+2+1=28種單程車票?！钡谝唤M代表的發(fā)言引發(fā)了學(xué)生的共鳴，加深了學(xué)生對知識的理解。

學(xué)生在思維碰撞中不時(shí)地迸發(fā)智慧的火花，在問題解決的過程中，無意識地運(yùn)用推理思想，提高了推理能力，感悟到了推理的作用與價(jià)值。

（三）借助幾何直觀，讓模型思想在課堂中升華

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅僅是數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，更需要教師讓學(xué)生在經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究的同時(shí)，感悟數(shù)學(xué)思想。

在學(xué)生順利數(shù)出8個(gè)汽車站有28種單程車票后，筆者追問：“8個(gè)汽車站列出的算式是7+6+5+4+3+2+1=28（種），那么100個(gè)汽車站有多少種單程車票呢？”學(xué)生想了想說：“2個(gè)汽車站有1種單程車票，3個(gè)汽車站有2+1=3種單程車票，算式的第一個(gè)數(shù)比汽車站數(shù)少1。如果是100個(gè)汽車站，則從99加到1?！痹撋陌l(fā)言引發(fā)學(xué)生熱烈的掌聲，這掌聲充滿了學(xué)生的自信與體驗(yàn)成功的快樂。

學(xué)生能利用所學(xué)的知識去發(fā)現(xiàn)生活中的問題并進(jìn)行解決，說明學(xué)生真正理解了知識。學(xué)生在知識探究的過程中，感悟數(shù)學(xué)思想，也讓模型思想在課堂中得到了升華。

結(jié) ?語

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是在學(xué)生探究、交流共享中建構(gòu)知識的過程，教師需有效地進(jìn)行預(yù)設(shè)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深層次的探究，讓學(xué)生在感受新鮮、有趣的數(shù)學(xué)知識的同時(shí)，提升數(shù)學(xué)思維，感悟數(shù)學(xué)基本思想。

[參考文獻(xiàn)]

楊松濤.初中幾何教學(xué)中學(xué)生邏輯思維能力的培

養(yǎng)[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)（教師教育），2021（17）：40.

張紅琴.“轉(zhuǎn)化思想”在初中幾何最值問題中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)之友，2021（04）：90-92.

作者簡介：王玲（1981.11-），女，安徽六安人，任教于安徽省六安市霍邱縣周集鎮(zhèn)中心小學(xué)，小教指導(dǎo)員，一級教師。2012年獲六安市優(yōu)質(zhì)課大賽數(shù)學(xué)組一等獎(jiǎng)，2019年獲六安市優(yōu)質(zhì)課大賽科學(xué)組一等獎(jiǎng)，2021年獲六安市智慧課堂優(yōu)質(zhì)課大賽數(shù)學(xué)組一等獎(jiǎng)，2021年被選為霍邱縣政協(xié)委員。