基礎(chǔ)豎向多頻參數(shù)激勵下圓弧拱平面內(nèi)動力失穩(wěn)研究

鐘子林，劉愛榮

(1. 廣州大學風工程與工程振動研究中心，廣東，廣州 510006；2. 廣州鐵路職業(yè)技術(shù)學院，廣東，廣州 510430)

拱結(jié)構(gòu)具有造型美觀、跨越能力強和承載能力大等優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于建筑工程，如巴黎圣日內(nèi)維耶圖書館和沈陽西站候車室的屋蓋等；橋梁工程，如廣西平南縣拱橋和盧浦大橋等；水利工程，如美國科羅拉多河葛蘭大壩和日本的黑部大壩等；機械和航空工程，如拱形吊車梁、曲梁構(gòu)件和拱形機艙骨架等。在外部環(huán)境激勵下，拱可能會發(fā)生大幅度振動，當外部激勵達到臨界失穩(wěn)頻率，拱將發(fā)生劇烈振動而導(dǎo)致失穩(wěn)。不同激勵幅值下的臨界激勵頻率圍成拱的動力不穩(wěn)定域，可預(yù)測拱在外部參數(shù)激勵下的穩(wěn)定性。由于外部激勵持續(xù)變化，可能誘發(fā)拱發(fā)生多種類型的動力失穩(wěn)。動力不穩(wěn)定域的域?qū)捄头植挤浅?fù)雜，如何準確計算拱的動力不穩(wěn)定域并分析其隨各種參數(shù)的變化規(guī)律，優(yōu)化拱的設(shè)計參數(shù)，以避免其落入動力不穩(wěn)定域，是當前研究的難點。

研究發(fā)現(xiàn)，當動力荷載的激振參數(shù)(頻率、幅值等)與拱的振動頻率滿足一定條件時，拱的位移將會突然增加，發(fā)生動力失穩(wěn)。例如，當外荷載的激振頻率是拱自振頻率的2倍時，拱的位移突然呈指數(shù)增長，發(fā)生參數(shù)共振失穩(wěn)。Bolotin[1]在其著作中針對徑向均布荷載作用下的兩端鉸接圓弧拱進行了解析推導(dǎo)，給出了拱平面內(nèi)反對稱參數(shù)共振失穩(wěn)域的求解方法。在Bolotin的研究基礎(chǔ)上，Sophianopoulos等[2]首次推導(dǎo)了簡諧荷載作用下兩端鉸接懸鏈線拱的Mathieu-Hill常微分運動方程，并利用Bolotin法得到了懸鏈線拱參數(shù)動力失穩(wěn)的臨界頻率域。王連華等[3]考慮了幾何缺陷的影響，推導(dǎo)了周期動力荷載作用下拱的運動方程，并從李雅普諾夫穩(wěn)定性原理出發(fā)，得到了李雅普諾夫指數(shù)，研究了激勵頻率與缺陷大小對拱平面內(nèi)動力穩(wěn)定性的影響，但未分析拱動力失穩(wěn)域的分布規(guī)律。為此，趙洪金和董寧娟針對不同設(shè)計參數(shù)拱的參數(shù)動力失穩(wěn)開展了系列的研究。首先，趙洪金等[4]利用哈密頓原理和伽遼金法推導(dǎo)了兩端鉸接圓弧格構(gòu)拱的運動方程，通過Bolotin法求解了拱的面內(nèi)一階反對稱動力失穩(wěn)域，并分析了不同綴條面積、半徑和夾角等對不穩(wěn)定域大小的影響；然后，趙洪金等[5]采用類似的方法分析了剪切變形對圓弧深拱動力不穩(wěn)定域的影響；董寧娟和趙洪金[6 ? 7]利用Bolotin法和半解析法求解得到了徑向均布荷載作用下開口薄壁與閉口薄壁圓弧拱的平面內(nèi)一階反對稱動力失穩(wěn)域。以上研究未考慮非線性振動、阻尼、附加配重等參數(shù)對圓弧拱動力穩(wěn)定性的影響，且未開展實驗研究驗證理論解析解的正確性[8]。為進一步揭示圓弧拱動力失穩(wěn)機理，Liu和Yang等[9]基于能量法推導(dǎo)了拱頂集中簡諧荷載作用下固接圓弧拱平面內(nèi)的動力方程，求解了圓弧拱平面內(nèi)反對稱參數(shù)共振失穩(wěn)的動力不穩(wěn)定域，進一步利用激振器生成簡諧波，開展了掃頻實驗獲得了拱的動力不穩(wěn)定域，分析了矢跨比、附加質(zhì)量對動力不穩(wěn)定域的影響規(guī)律。此外，Liu和Lu等[10]發(fā)現(xiàn)，拱在集中簡諧荷載作用下，當激振頻率大約為拱面外自振頻率的2倍左右時，拱從原來的面內(nèi)平衡位置突然過渡為面外平衡狀態(tài)并發(fā)生大幅度的彎扭振動。為從理論的角度解釋這一現(xiàn)象，他們基于能量法，同時考慮了阻尼和非性振動的影響，推導(dǎo)了拱頂集中簡諧荷載作用下固接圓弧拱平面外的動力平衡微分方程，求解了圓弧拱平面外彎扭參數(shù)共振失穩(wěn)的動力不穩(wěn)定域，分析了動力不穩(wěn)定域的域?qū)捙c分布隨矢跨比、附加配重和阻尼比的變化規(guī)律以及非線性振動規(guī)律。此外，他們還設(shè)計了圓弧拱實驗?zāi)Ｐ瓦M行激振實驗，驗證了理論解的正確性，并揭示了拱頂集中簡諧荷載作用下圓弧拱平面外動力失穩(wěn)機理。Zhong和Liu等[11]利用哈密頓原理與伽遼金法建立了沿拱軸線豎向均勻分布簡諧荷載作用下圓弧拱的動力數(shù)學模型，推導(dǎo)了周期為T和2T的圓弧拱參數(shù)共振失穩(wěn)域的解析表達式，分析了靜載、阻尼比和矢跨比對動力不穩(wěn)定域域?qū)捙c分布的影響，通過建立有限元瞬態(tài)動力分析模型驗證了理論解析的正確性。為探索沖擊荷載下圓弧拱的動力失穩(wěn)問題，Liu和Yang等[12]建立了徑向任意階躍動荷載作用下圓弧拱的非線性運動方程，得到了圓弧拱的動力失穩(wěn)荷載解析解，分析了荷載位置對拱動力屈曲行為的影響。Yang和Liu等[13]研究了集中階躍荷載作用下FG-GPLRC拱的非線性動力屈曲，探究了GPLs 分布模式、質(zhì)量分數(shù)和幾何尺寸對 FGGPLRC拱動力屈曲的影響，結(jié)果表明GPLs 能夠顯著提高FG-GPLRC拱的動力屈曲臨界荷載。跌落沖擊荷載往往攜帶巨大的能量，但其對拱的動力屈曲行為還需要進一步研究。Yang和Liu等[14]基于能量守恒原理建立了高空跌落重物沖擊下圓弧拱動力平衡方程，將重物勢能轉(zhuǎn)化為動能，分析了拱長細比、沖擊重量與速度對圓弧拱動力失穩(wěn)的影響。

以上研究成果均未涉及基礎(chǔ)激勵下拱動力失穩(wěn)問題。而基礎(chǔ)激勵在工程中隨處可見，例如水下鉆孔、地震、航道、隧道等爆破產(chǎn)生的沖擊波、大型輪船運行時產(chǎn)生的水擊波、地鐵運行產(chǎn)生的振動等，是導(dǎo)致拱發(fā)生動力失穩(wěn)的主要元兇之一。然而基礎(chǔ)激勵下拱的失穩(wěn)機理尚不明晰，相關(guān)研究很少公開報道。只有，Chen等[15]將水平簡諧荷載施加在正弦淺拱的一端可動支座上，通過實驗觀察拱的平面內(nèi)非線性振動行為，但未測得拱動力失穩(wěn)的臨界激勵頻率。此外，Zhong和Liu[16]針對基礎(chǔ)豎向激勵下圓弧拱平面外參數(shù)共振失穩(wěn)進行了理論推導(dǎo)，分析了不同矢跨比、圓心角、長細比、阻尼比對圓弧拱平面外參數(shù)共振失穩(wěn)臨界激勵頻率的影響，并提出了一種臨界激勵頻率的實驗測試方法，發(fā)現(xiàn)了圓弧拱發(fā)生參數(shù)共振失穩(wěn)時振動頻率的跳躍行為，實驗結(jié)果驗證了理論解的正確性。

然而，在實際工程中，基礎(chǔ)激勵多為多頻激勵，即結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)同時受到2個或以上激勵源的作用，比如鄰近橋梁的基礎(chǔ)同時受到隧道開挖過程中機械本身產(chǎn)生的振動激勵與機械運動導(dǎo)致地面振動的激勵，多艘輪船同時產(chǎn)生多個水擊波對橋梁基礎(chǔ)的激勵等。基礎(chǔ)多頻激勵會導(dǎo)致拱復(fù)雜的動力失穩(wěn)行為。與基礎(chǔ)單頻激勵作用下圓弧拱的動力失穩(wěn)相比，多頻激勵下運動方程求解過程更為復(fù)雜，需考慮多個諧波分量之間的相互作用關(guān)系。此外，不同激勵幅值和激勵頻率的組合將會影響動力不穩(wěn)定域的域?qū)捙c分布規(guī)律，可能出現(xiàn)共振與參數(shù)共振交替出現(xiàn)或模態(tài)混疊的現(xiàn)象。因此本文針對基礎(chǔ)豎向多頻激勵下圓弧拱的平面內(nèi)動力穩(wěn)定性展開深入的研究。

1 運動方程

1.1 平面內(nèi)能量方程

圖1 基礎(chǔ)豎向激勵下圓弧拱動力系統(tǒng)Fig.1 Dynamic system of the circular arch under a vertical base excitation

基礎(chǔ)豎向激勵下圓弧拱截面上任意一點P的應(yīng)變函數(shù)可表示為[17 ? 18]：

式中：

忽略剪切變形與截面轉(zhuǎn)動慣量的影響，基礎(chǔ)豎向激勵下圓弧拱的平面內(nèi)Lagrangian方程 ?i可表示為：

式中，拱的動能T可表示為：

式中，E、A、Ix分別為圓弧拱的彈性模量、截面面積、截面慣性矩，由動軸力引起的內(nèi)力做功WN可表示為：

此外，非保守力阻尼做功可表示為：

1.2 平面內(nèi)動力平衡方程

基礎(chǔ)豎向激勵下圓弧拱平面內(nèi)的動力平衡方程可由哈密頓原理以及變分運算得到，由哈密頓原理可得：

式(11)滿足以下條件：

式中，t1、t2為任意時間。

將式(5)、式(7)～式(9)代入式(11)，運用式(12)的條件以及變分運算法則，可得由無量綱徑向和切向位移控制的平面內(nèi)動力方程：

式(13)～式(14)表示的動力系統(tǒng)的邊界條件和運動初始條件為：

式中，Δn為拱第n階模態(tài)自由衰減振動的衰減率。

2 基礎(chǔ)豎向激勵下圓弧拱平面內(nèi)的動內(nèi)力

基礎(chǔ)豎向激勵產(chǎn)生的圓弧拱動軸力與動彎矩可表示為：

對耦合方程式(13)～式(14)進行解耦計算，得：

式中：

將式(20)～式(21)代入式(13)～式(14)中，忽略內(nèi)力做功，得：

求解式(22)～式(23)表示的動力方程組，并根據(jù)邊界條件求得相應(yīng)的積分系數(shù)，可得：

式(24)～式(25)中，D1、D2分別為：

3 求解動力不穩(wěn)定域

圓弧拱的切向位移函數(shù)可表示為[20 ? 21]：

式中，fn(t)、 ψn(φ)分別為圓弧拱的空間坐標和模態(tài)函數(shù)。選取面內(nèi)前兩階模態(tài)(一階反對稱、二階正對稱)作為圓弧拱動力失穩(wěn)分析對象，將式(28)代入基礎(chǔ)豎向激勵下圓弧拱的平面內(nèi)動力平衡方程式(19)，運用伽遼金法對動力平衡方程進行離散分析，并采用多尺度法[22]進行求解，可得前兩階模態(tài)的常微分干擾方程為：

式(29)～式(30)中，ε為遠小于1的小參數(shù)，其余系數(shù)的表達式為：

運用多尺度法對式(29)～式(30)進行二階近似計算，引入時間尺度，Tn=εnt，時間尺度微分計算公式為[22]：

式(39)中，Dn=?/?Tn。

將fn(t) (n=1, 2) 擴展為ε的冪級數(shù)形式，其二階近似可表示為：

將式(40)～式(41)代入式(29)～式(30)，使ε的同次冪項系數(shù)等于0，有：

式(42)的解可以表示為以下形式：

不失一般性地假設(shè)圓弧拱基礎(chǔ)受到的豎向多頻激勵為雙余弦簡諧激勵，即：

將式(45)～式(46)分別代入式(43)，可得：

當圓弧拱基礎(chǔ)受到豎向多頻激勵時，圓弧拱會發(fā)生多種形式的聯(lián)合共振失穩(wěn)。其中，當基礎(chǔ)雙余弦激勵同時激發(fā)圓弧拱發(fā)生一階反對稱參數(shù)共振失穩(wěn)、二階正對稱共振失穩(wěn)時，根據(jù)多尺度分析法[22]，可引入3個調(diào)諧參數(shù)σ1、σ2、σ3，分別表示圓弧拱動力系統(tǒng)的干擾條件，即：

將式(49)代入式(47)～式(48)，消除相應(yīng)的久期項，可得：

因此，可得式(47)～式(48)的特解為：

將式(45)、式(49)～式(50)代入式(44)，并根據(jù)式(49)給出的圓弧拱平面內(nèi)動力失穩(wěn)的干擾條件，消除相應(yīng)的久期項，可得：

根據(jù)多尺度法的求解方法，通過構(gòu)建ε的冪級數(shù)描述振幅An(T1,T2)(n=1,2)變化，即滿足下式：

通過考察動力方程不動點的穩(wěn)定性，可以判斷定態(tài)周期解的穩(wěn)定性。根據(jù)現(xiàn)有的研究可知，振幅An(T1,T2)(n=1,2)可表示為極坐標的形式，然而卻不利于求解不動點的周期解，因此可將振幅An(T1,T2)(n=1,2)寫成直角坐標的形式，即：

根據(jù)式(47)～式(48)、式(51)～式(52)分別求出D1A1·(T1,T2) 、D1A1(T1,T2) 、D2A1(T1,T2)和D2A1(T1,T2)，將其代入式(53)，并分離實部與虛部，可得：

為求解基礎(chǔ)多頻激勵下圓弧拱動力系統(tǒng)不動點的周期解，通過觀察式(55)～式(58)關(guān)于系數(shù)p1、q1組成的方程組，建立相應(yīng)的雅克比矩陣，通過求解雅可比矩陣的特征值，便可得到圓弧拱動力系統(tǒng)的臨界激勵頻率值。

4 結(jié)果分析

選取彈性模量E=65.38 GPa，質(zhì)量密度ρ=2700 kg/m3，泊松比為μ=0.32，矩形截面尺寸b×h=0.02 m×0.001 m，跨徑L=0.8 m的兩端固接圓弧拱作為研究對象，其中動力系統(tǒng)的一階阻尼衰減率Δ1=0.02，二階阻尼衰減率Δ2=0.002，基礎(chǔ)雙余弦激勵的最大加速度幅值分別為Pmax1=30 m/s2，Pmax2=40 m/s2，并 設(shè)Pt1=β1Pmax1,Pt2=β2Pmax2，β1和β2分別為兩個余弦激勵的無量綱激勵幅值。由式(49)可知，σ1=σ2，表明兩個余弦激勵的頻率相等，即Ω1=Ω2=Ω，而無量綱激勵幅值β1、β2的變化范圍均設(shè)為[0,1]，因此可設(shè)β1=β2=β，即對于激勵幅值Pmax1=30 m/s2，Pmax2=40 m/s2，當β=0.2時，Pt1=6 m/s2，Pt2=8 m/s2。

由圖2可知，兩條曲線將參數(shù)平面(β?Ω/ω1)劃分為穩(wěn)定區(qū)域與不穩(wěn)定區(qū)域，其中虛線圍成的區(qū)域為一階反對稱參數(shù)共振失穩(wěn)域，實線圍成的區(qū)域為二階正對稱共振失穩(wěn)域。從圖中還可知，在設(shè)定的激勵幅值下，僅矢跨比為f/L=1/4圓弧拱的反對稱參數(shù)共振失穩(wěn)與正對稱共振失穩(wěn)的動力不穩(wěn)定域存在重合區(qū)域。當基礎(chǔ)激勵的幅值與頻率落入該重合區(qū)域時，圓弧拱將會被激發(fā)雙模態(tài)動力失穩(wěn)，即同時發(fā)生一階反對稱參數(shù)共振失穩(wěn)和二階正對稱共振失穩(wěn)，而兩個域的非重合部分分別表示圓弧拱將會被分別激發(fā)平面內(nèi)一階反對稱參數(shù)共振失穩(wěn)和正對稱二階共振失穩(wěn)。

由圖2可知，基礎(chǔ)多頻激勵下圓弧拱平面內(nèi)反對稱參數(shù)共振失穩(wěn)的動力不穩(wěn)定域主要分布在無量綱激振頻率Ω/ω1=2附近，表明當基礎(chǔ)激勵頻率約為圓弧拱一階自振頻率的2倍時，圓弧拱將會被激發(fā)平面內(nèi)一階反對稱參數(shù)共振失穩(wěn)。此外，參數(shù)共振失穩(wěn)域的域?qū)掃h大于共振失穩(wěn)域的域?qū)?，表明相對于共振失穩(wěn)，參數(shù)共振失穩(wěn)是拱結(jié)構(gòu)動力穩(wěn)定設(shè)計的首要防控目標。

由于圓弧拱動力系統(tǒng)存在一定的阻尼，所以反對稱參數(shù)共振失穩(wěn)域與正對稱共振失穩(wěn)域均存在一個臨界激勵幅值βcr1、βcr2，即當基礎(chǔ)激勵的幅值大于臨界值時才能激發(fā)圓弧拱發(fā)生動力失穩(wěn)。因此，工程中可以采用增加阻尼的方法來抑制圓弧拱的動力失穩(wěn)。由圖2可知，隨著矢跨比的減小，參數(shù)共振失穩(wěn)和共振失穩(wěn)的動力不穩(wěn)定域的域?qū)捴饾u增加，而無量綱臨界激勵幅值βcr卻逐漸減小。

圖2 基礎(chǔ)激勵下不同矢跨比圓弧拱平面內(nèi)動力失穩(wěn)的動力不穩(wěn)定域Fig.2 Dynamic instability regions of the circular arch under a base excitation for different span-rise ratio

為研究長細比對圓弧拱參數(shù)動力失穩(wěn)的影響，可選取彈性模量E=69 GPa，質(zhì)量密度ρ=2700 kg/m3，泊松比為μ=0.32，矩形截面尺寸b×h=0.08 m×0.015 m，圓心角2Θ=90°的兩端固接圓弧拱作為研究對象，其中動力系統(tǒng)的一階阻尼衰減率Δ1=0.01，二階阻尼衰減率Δ2=0.001，基礎(chǔ)雙余弦激勵的最大加速度幅值分別為Pmax1=300 m/s2，Pmax2=500 m/s2。

以下分析不同圓心角對動力不穩(wěn)定域的影響規(guī)律，設(shè)圓弧拱的長細比S/rx=400，動力系統(tǒng)參數(shù)與圖3分析中的參數(shù)相同。由圖4可知，隨著圓心角的增加，動力不穩(wěn)定域的域?qū)捴饾u減小，無量綱臨界激勵幅值逐漸增加。而當圓心角2Θ=120°時，在該基礎(chǔ)多頻激勵下，圓弧拱僅發(fā)生參數(shù)共振失穩(wěn)。雖然隨著圓心角的增加，圓弧拱參數(shù)共振失穩(wěn)和共振失穩(wěn)的動力不穩(wěn)定域域?qū)捴饾u減小，但是隨著圓心角的增加，二階正對稱自振頻率逐漸靠近一階反對稱自振頻率，因此在基礎(chǔ)激勵頻率相同的情況下，兩個動力不穩(wěn)定域逐漸靠近，此時若增加基礎(chǔ)激勵的幅值，大圓心角圓弧拱的兩個動力不穩(wěn)定域更容易發(fā)生重合，并被激發(fā)雙模態(tài)動力失穩(wěn)。由于參數(shù)共振失穩(wěn)域遠大于共振失穩(wěn)域，因此相比之下，當拱結(jié)構(gòu)設(shè)計中要求長細比一定時，應(yīng)選擇大圓心角的圓弧拱來增加其動力穩(wěn)定性。

圖3 基礎(chǔ)激勵下不同長細比圓弧拱平面內(nèi)動力失穩(wěn)的動力不穩(wěn)定域Fig.3 Dynamic instability regions of the circular arch under a base excitation for different slenderness ratio

圖4 基礎(chǔ)激勵下不同圓心角圓弧拱平面內(nèi)參數(shù)動力失穩(wěn)的動力不穩(wěn)定域Fig.4 Dynamic instability regions of the circular arch under a base excitation for different central angle

由圖5可知，當增加圓弧拱的阻尼時，平面內(nèi)一階反對稱參數(shù)共振和二階正對稱共振失穩(wěn)域逐漸減小，臨界激勵幅值逐漸增加，表明阻尼對圓弧拱的動力失穩(wěn)有明顯的抑制作用。因此當圓弧拱的參數(shù)無法改變時，可通過增加圓弧拱動力系統(tǒng)阻尼的方法避開動力不穩(wěn)定域。

圖5 不同阻尼衰減率下圓弧拱平面內(nèi)參數(shù)動力失穩(wěn)的動力不穩(wěn)定域Fig.5 Dynamic instability regions of the circular arch for different damping decrement

5 有限元驗證

采用有限元瞬態(tài)分析方法[11]，施加不同的加速度激勵幅值，對圓弧拱進行掃頻激振，得到圓弧拱平面內(nèi)振動的動力響應(yīng)，如圖6所示，其中基礎(chǔ)激勵的起始頻率分別為：向上掃頻37.41 Hz，向下掃頻43.17 Hz，掃頻速率為0.333 Hz/min。以圖2(d)中的圓弧拱為對象，利用有限元瞬態(tài)分析法分別得到不同激勵幅值下圓弧拱發(fā)生平面內(nèi)一階反對稱參數(shù)共振失穩(wěn)的臨界激勵頻率，其中基礎(chǔ)雙余弦激勵的幅值分別為Pt1=30 m/s2、Pt2=40 m/s2，阻尼衰減率為Δ1=0.02。根據(jù)時域分析法[14]可知，向上和向下掃頻基礎(chǔ)激勵下圓弧拱發(fā)生平面參數(shù)共振失穩(wěn)的臨界時間分別為40 s和41 s，對應(yīng)的臨界激勵頻率分別為37.63 Hz和42.94 Hz。按照相同的方法可分別計算出動力不穩(wěn)定域的臨界激勵頻率下限值ΩL和上限值ΩH。表1分別給出了基礎(chǔ)雙余弦激勵下圓弧拱平面內(nèi)一階反對稱參數(shù)共振失穩(wěn)臨界激勵頻率的解析解與數(shù)值解的對比，通過誤差分析可知，兩者的臨界激勵頻率值吻合，變化規(guī)律相同，即隨著無量綱激勵幅值的增加，下限值ΩL逐漸減小，上限值ΩH逐漸增加。同時也驗證了理論解析解的正確性。

圖6 基礎(chǔ)雙余弦激勵下圓弧拱平面內(nèi)參數(shù)動力失穩(wěn)的振幅時程( β=1)Fig.6 Amplitude of the circular arch under double cosine base excitation for the in-plane parametric resonance

表1 基礎(chǔ)雙余弦激勵下圓弧拱平面內(nèi)一階反對稱參數(shù)共振失穩(wěn)臨界激勵頻率的解析解與數(shù)值解(f/L=1/10)Table 1 Analytical and numerical solutions of the critical excitation frequencies of first-order antisymmetric parametric resonance instability of a circular arch plane under a base double cosine excitations

6 結(jié)論

由于基礎(chǔ)豎向多頻激勵下圓弧拱易發(fā)生聯(lián)合共振失穩(wěn)，因此本文針對圓弧拱同時發(fā)生一階反對稱參數(shù)共振和二階正對稱共振的失穩(wěn)類型展開了理論推導(dǎo)，得到了相應(yīng)的動力不穩(wěn)定域，并分析了動力不穩(wěn)定域隨圓弧拱設(shè)計參數(shù)的變化規(guī)律，得到以下結(jié)論：

(1) 在一定外部激勵下，圓弧拱有可能被激發(fā)前兩階模態(tài)聯(lián)合共振失穩(wěn)，參數(shù)共振失穩(wěn)模態(tài)為一階反對稱，共振失穩(wěn)模態(tài)為二階正對稱。

(2) 動力不穩(wěn)定域可以用于預(yù)報基礎(chǔ)豎向多頻參數(shù)激勵下圓弧拱的動力穩(wěn)定性。不穩(wěn)定域存在一個重合區(qū)域使得圓弧拱同時發(fā)生一階反對稱參數(shù)共振失穩(wěn)與二階正對稱共振失穩(wěn)。參數(shù)共振失穩(wěn)域的域?qū)掃h大于共振失穩(wěn)域的域?qū)?，因此參?shù)共振失穩(wěn)是拱結(jié)構(gòu)動力穩(wěn)定設(shè)計的首要防控目標。

(3) 隨著矢跨比的減小，參數(shù)共振失穩(wěn)和共振失穩(wěn)的動力不穩(wěn)定域的域?qū)捴饾u增加，而無量綱臨界激勵幅值卻逐漸減小；隨著長細比的增加，參數(shù)共振失穩(wěn)和共振失穩(wěn)的動力不穩(wěn)定域域?qū)捴饾u增加，而無量綱臨界激勵幅值卻逐漸減??；隨著圓心角的增加，參數(shù)共振失穩(wěn)和共振失穩(wěn)的動力不穩(wěn)定域域?qū)捴饾u減小，無量綱臨界激勵幅值逐漸增加；阻尼對圓弧拱平面內(nèi)的動力失穩(wěn)具有明顯的抑制作用，可減小參數(shù)共振失穩(wěn)和共振失穩(wěn)的動力不穩(wěn)定域域?qū)?，增加無量綱臨界激勵幅值。

(4) 當基礎(chǔ)激勵的幅值與頻率落入動力不穩(wěn)定重合域時，圓弧拱將被同時激發(fā)一階反對稱參數(shù)共振失穩(wěn)和二階正對稱共振失穩(wěn)，而當基礎(chǔ)激勵的幅值與頻率避開重合域時，圓弧拱僅被激發(fā)反對稱參數(shù)共振或共振失穩(wěn)。

(5) 動力失穩(wěn)臨界激勵頻率的理論解析解與數(shù)值解基本一致，驗證了理論解析解的正確性。