解答解三角形問題的三個常用辦法

彭姚鮮

解三角形是高中數(shù)學中的重要內(nèi)容，也是數(shù)學高考的必考內(nèi)容.解三角形問題側(cè)重于考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用.下面，結(jié)合例題，探討一下解答解三角形問題的三種常用辦法.

一、利用正余弦定理

正余弦定理適用于求解大部分解三角形問題.在解題時，需首先根據(jù)題意和幾何圖形理清三角形的三邊、三角及其關(guān)系，然后運用正余弦定理求解.一般地，正弦定理適用于解答已知角較多的問題，余弦定理適用于解答已知邊較多的問題.

例1.如圖1，甲船以每小時 30 2 海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當甲船位于 A1 處時，乙船位于甲船的北偏西105° 方向的B1 處，此時兩船相距20海里.當甲船航行20分鐘到達 A2 處時，乙船航行到甲船的北偏西120° 方向的B2 處，此時兩船相距 10 2 海里，問乙船每小時航行多少海里？

解：連接 A1B2 ，A2B2 .由 A2B2 = 10 2 ，A1A2 = 30 2 × 2060 = 10 2 ，得 A1A2 = A2B1 ，又因為∠A1A2B2 = 180° - 120° = 60° ，所以△A1A2B1 是等邊三角形，所以 A1B2 = A1A2 = 10 2 .而 A1B1 - 20 ，∠B1A1B2 = 105° - 60° = 45° ，

所以在△A1A2B1 中，由余弦定理可得 B1B22 = A1B12 + A1B22 - 2A1B2?A1B2? cos 45° = 200，所以 B1B2 = 10 2 ，因此乙船的速度大小為 10202 × 60 = 30 2 （海里/小時） .

解答本題，需先結(jié)合圖形明確甲、乙兩船所在的方位，然后添加輔助線，構(gòu)造△A1A2B1 ，求得各個角、邊的大小，再在△A1A2B1 中運用余弦定理求得 B1B2的長，這樣便可求得乙船的速度.

二、采用向量法

三角形與向量的關(guān)系緊密.在解答解三角問題時，可根據(jù)三角形法則構(gòu)造出向量，求得目標向量的大小，就能通過向量運算求得問題的答案.運用向量法解題，能巧妙地避開一些繁瑣的運算，有助于提升解題的效率.

例 2. 已知在△ABC 中， AB = 4 63 ，cosB = 66 ，AC 邊上的中線 BD = 5 ，求角 A 的正弦值.

解：

我們先根據(jù)三角形法則構(gòu)造向量，運用三角形中線的向量形式建立關(guān)于 BC 的關(guān)系，求得 | BC| ，然后根據(jù)余弦定理求得 | AC| ，最后運用正弦定理即可求得問題的答案.

三、運用建系法

對于一些動點、最值問題，我們一般采用建系法來求解.首先根據(jù)三角形的特點來建立合適的平面直角坐標系，如以三角形的一個頂點為原點、一條邊為軸;以等腰、等邊三角形的中線和一條直角邊為軸;以直角三角形的兩條直角邊為軸等建立平面直角坐標系，求得各個點的坐標，通過向量坐標運算能順利求得問題的答案.

例 3.在△ABC 中，AB = 2 ， AC = 2 BC ，求該三角形面積的最大值.

解：以 AB 所在的直線為 x 軸、AB 的中點為原點，建立如圖3所示的直角坐標系，則 A（-1，0） ， B（1，0） .設(shè)點 C（x，y） ，由 AC = 2 BC ，得 （（x + 1）2 + y2 = 2 （x - 1）2 + y2 ，即 （x - 3）2 + y2 = 8（x ≠ ±1） ，

故點 C 在以 （3，0） 為圓心、半徑為 2 2 的圓（去掉與 x 軸的交點）上，

則△ABC 面積的最大值為 S = 21 × 2 × 2 2 = 2 2 .

我們以 AB 所在的直線為 x 軸、AB 的中點為原點建立平面直角坐標系.再根據(jù)兩點間的距離公式建立關(guān)于 C 點坐標的方程，求得 C 點的軌跡方程，便可確定 C 到直線 AB 的距離，最后根據(jù)三角形的面積公式求得三角形面積的最大值.

相比較而言，第一種方法比較常用，第三方法比較便捷，但適用范圍較窄.總之，在解答解三角形問題時，同學們需將數(shù)形結(jié)合起來，把三角形與正余弦定理、向量、坐標運算法則關(guān)聯(lián)起來，根據(jù)圖形來建立關(guān)系式，這樣才能使問題快速獲解.

（作者單位：江蘇省丹陽高級中學）