考慮隨機(jī)外強(qiáng)迫的濕大氣方程組弱解的適定性分析

張博冉，連汝續(xù)

(華北水利水電大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南 鄭州 450046)

1 預(yù)備知識

本文研究了曾慶存院士[1]提出的濕大氣動力學(xué)方程組，證明了隨機(jī)外強(qiáng)迫作用下濕大氣動力學(xué)方程組初邊值問題整體弱解的存在性和穩(wěn)定性. 下面首先介紹濕大氣方程組的初邊值問題. 引入地形坐標(biāo)系(θ,λ,ζ;t)，θ是余緯且θ∈[0,π]，λ是經(jīng)度且λ∈[0,2π]，p是氣壓且p∈[0,ps]，ps為地表處氣壓，ζ=p/ps∈[0,1]，t表示時間. 那么，考慮如下隨機(jī)外強(qiáng)迫作用的濕大氣方程組.

大氣運(yùn)動方程：

(1)

大氣熱力學(xué)方程：

(2)

水汽方程：

(3)

連續(xù)性方程：

(4)

準(zhǔn)靜力平衡方程：

(5)

其中，Co,Cp,R是熱力學(xué)常數(shù)，ui,vi(i=1,2,3)是耗散系數(shù)，g是重力加速度，w是地球自轉(zhuǎn)角速度，Ψ1表示單位時間內(nèi)大氣從外界獲得的熱量，Ψ2表示水汽相變過程中液態(tài)水的變化量.

參考文獻(xiàn)[3-4]中的方法，可給出隨機(jī)外強(qiáng)迫的定義.在完備的概率空間(Ω,F,P)中，假設(shè)ω1,ω2,ω3,…是樣本空間Ω中一列期望為E的獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動，隨機(jī)過程W是一個wiener過程，因此隨機(jī)外強(qiáng)迫Ψ可定義如下：

(6)

是關(guān)于時間的加性白噪聲，而G是從(L2(Ω))2到(H1+2γ0(Ω))2(γ0>0)的Hilbert-Schmidt算子.假設(shè)

(7)

是滿足以下隨機(jī)Stokes方程初值問題

(8)

定義Ψ1為非絕熱加熱作用，Ψ2為水汽相變作用. 其余參數(shù)的含義可參見文獻(xiàn)[1-2].

接下來，定義系統(tǒng)(1)～(5)的初邊值條件. 首先，給定初值條件為

V|t=0=V0,T|t=0=T0,q|t=0=q0,

(9)

再給出邊界條件為

(10)

目前大氣動力學(xué)方程組的適定性問題已經(jīng)取得了很多重要成果. 例如，曾慶存[5]就曾系統(tǒng)地論述過多種大氣模式解的適定性，并提出了海氣耦合問題. 隨后，文獻(xiàn)[2,6-15]研究了基于原始方程的各種大氣動力學(xué)方程組，并證明了方程組初邊值問題整體弱解和強(qiáng)解的適定性.另外文獻(xiàn)[16-20]還研究了考慮水汽相變過程的濕大氣方程組初邊值問題的適定性.關(guān)于研究大氣方程組吸引子的結(jié)論，可參見文獻(xiàn)[11-12,14-17,21-22].

目前對考慮隨機(jī)因素的大氣方程組也有一些重要的結(jié)論. 例如，文獻(xiàn)[23-25]中建立了隨機(jī)氣候模式和考慮隨機(jī)外強(qiáng)迫作用的海氣耦合模式. 之后，Griffies等[26]和Majda等[27-30]又對考慮隨機(jī)外強(qiáng)迫作用的氣候模式進(jìn)行了數(shù)學(xué)理論和數(shù)值計算方面的研究.郭柏靈等[3-4]還研究了考慮隨機(jī)外強(qiáng)迫作用的海洋原始方程組的適定性以及整體吸引子的存在性等. 2018年，Dong等[31]研究了具有指數(shù)混合性質(zhì)的三維隨機(jī)原始方程的適定性，得到了所有的弱解都有同一個不變測度，以及強(qiáng)解不變測度的唯一性.

2 主要結(jié)論

首先，利用式(4)和(5)，結(jié)合邊界條件，可將考慮隨機(jī)外強(qiáng)迫作用的濕大氣動力學(xué)方程組簡化為如下形式：

(11)

定義未知函數(shù)U∶=(V,T′,q)，進(jìn)而給定初值為

U0,

邊界條件為

(12)

系統(tǒng)(12)滿足如下邊界條件：

(13)

接下來定義如下算子：

下面可給出類似于文獻(xiàn)[2]中弱解的定義.

下面給出整體弱解的存在性和穩(wěn)定性定理.

注：借鑒參考文獻(xiàn)[2]中注2.2的方法，利用葉果洛夫定理可證明整體弱解的幾乎處處穩(wěn)定性，這里省略了具體的證明過程.

3 能量估計

本部分給出系統(tǒng)(12)～(13)的能量估計.

(14)

這里C(M)是與時間M有關(guān)的常數(shù).

證明令式(12) 與(u,T′,q)作內(nèi)積，并利用邊界條件得

q2]|ζ=1dσ=I1+I2+I3+I4+I5+

其中

由H?lder不等式和Young不等式可得

|I1|≤C‖Z‖L2(Ω)‖T′‖L2(Ω)+

(15)

這里C表示某正常數(shù)，下同. 又因為

(16)

且有

本文利用復(fù)模態(tài)指示函數(shù)法和多參考點最小二乘復(fù)頻域法對測量所得汽車發(fā)動機(jī)飛輪頻響函數(shù)矩陣進(jìn)行分析，然后再對結(jié)果進(jìn)行了二級驗證。運(yùn)用OROS V3動態(tài)信號分析儀、NVGATE和Modal II分析軟件，采用多參考點錘擊技術(shù)對飛輪進(jìn)行動態(tài)性能測試，獲得試驗?zāi)B(tài)參數(shù)。利用Solidworks與ANSYS軟件建立飛輪模型并計算出了理論模態(tài)參數(shù)。結(jié)果顯示，二者的固有頻率接近、振型相似，驗證了發(fā)動機(jī)飛輪模型的準(zhǔn)確性。本研究對改進(jìn)發(fā)動機(jī)飛輪結(jié)構(gòu)，促使汽車輕量化具有一定的參考價值。

(17)

又由H?lder不等式、插值不等式和Young不等式可得

(18)

這里ε是任意小的常數(shù)，下同. 另外由H?lder不等式、Minkowski不等式、插值不等式和Young不等式可得

(19)

同理可得

(20)

(21)

綜合式(16)～(21) 可得

由分部積分可得I3=0,I4=0, 進(jìn)一步由H?lder不等式和Young不等式可得

綜上可得

對上式使用Gronwall不等式，即可證明式(14)成立.

4 定理證明

(22)

和

0,

(23)

其中

在下面的證明過程中，對于不含Z的項，可利用類似參考文獻(xiàn)[2]中引理4.2的證明方法得到，這里略去具體證明過程. 那么首先給出J1的先驗估計

C‖u*k‖H1(Ω)‖Z‖H1(Ω)‖φ1‖H1(Ω)≤

同理可得

其中，由分部積分、H?lder不等式、Minkowski不等式和插值不等式可得

(‖φ‖L6(Ω)+‖φζ‖L6(Ω))≤

同理可得

其中，由H?lder不等式可得

C.

最后，由Hardy不等式和H?lder不等式可得

利用上述結(jié)論和參考文獻(xiàn)[2]引理4.2的證明方法可得

F∈L2(0,M;H-2(Ω)),

再借鑒文獻(xiàn)[11-12]的證明思路，可得到系統(tǒng)(12)～(13)整體弱解的存在性，即定理2.1成立，這里不再給出具體證明過程.

接下來，證明系統(tǒng)(12)～(13) 整體弱解的穩(wěn)定性.

采用類似文獻(xiàn)[2]第4章的證明方法，當(dāng)m→+∞，可得以下緊性框架：

5 結(jié) 論