考慮齒隙的多約束導(dǎo)引控制一體化設(shè)計(jì)方法

姜 尚, 魏 波, 梁偉閣, 孫東彥, 李進(jìn)軍, 馬 野

(1. 海軍大連艦艇學(xué)院導(dǎo)彈與艦炮系, 遼寧 大連 116018; 2. 海軍工程大學(xué)兵器工程學(xué)院, 湖北 武漢 430033)

0 引 言

近年來(lái),世界軍事強(qiáng)國(guó)不斷加快海軍戰(zhàn)略的轉(zhuǎn)型改革,“從海到陸,由海制陸”等海戰(zhàn)思想也在快步發(fā)展,都需要艦炮裝備在對(duì)海對(duì)岸作戰(zhàn)時(shí),具備遠(yuǎn)程精確打擊與持續(xù)火力支援能力。艦炮制導(dǎo)炮彈不僅比導(dǎo)彈射速高、效費(fèi)比高、持續(xù)作戰(zhàn)能力強(qiáng),而且較常規(guī)彈藥射程遠(yuǎn)、脫靶量小,能夠?qū)赌繕?biāo)實(shí)施遠(yuǎn)程壓制與精確打擊,為登陸部隊(duì)提供持續(xù)可靠的火力支援。

導(dǎo)引控制系統(tǒng)是關(guān)系到艦炮制導(dǎo)炮彈實(shí)現(xiàn)作戰(zhàn)目標(biāo)的關(guān)鍵,它的常規(guī)設(shè)計(jì)方法是基于時(shí)標(biāo)分離條件,忽略兩子系統(tǒng)之間的耦合作用,難以證明整體制導(dǎo)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。但隨著攻防裝備升級(jí)、彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)加劇,質(zhì)心導(dǎo)引與姿態(tài)控制之間的耦合作用顯著增強(qiáng),將兩個(gè)子系統(tǒng)進(jìn)行導(dǎo)引控制一體化(integrated guidance and control, IGC)設(shè)計(jì),能夠進(jìn)一步提升制導(dǎo)系統(tǒng)的整體性能。

Williams等最早在1983年提出IGC,通過(guò)氣動(dòng)角來(lái)聯(lián)系質(zhì)心導(dǎo)引與姿態(tài)控制,集成出一個(gè)高階串級(jí)系統(tǒng),根據(jù)彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)、彈體姿態(tài)等信息直接解算出舵機(jī)的操縱指令。隨著現(xiàn)代控制理論的蓬勃發(fā)展,涌現(xiàn)出最優(yōu)控制、反步控制、動(dòng)態(tài)面控制、滑?？刂?sliding mode control, SMC)等IGC設(shè)計(jì)方法。

應(yīng)用最優(yōu)控制進(jìn)行IGC設(shè)計(jì)的難點(diǎn)是求解Hamilton-Jacobi-Bellman方程,Vaddi等基于Riccati方程實(shí)現(xiàn)了IGC數(shù)值求解,但計(jì)算量大。Xin等基于θ-D方法成功地進(jìn)行了IGC次優(yōu)化設(shè)計(jì),其性能卻敏感于指標(biāo)權(quán)重。針對(duì)飛行器IGC設(shè)計(jì)問(wèn)題,Seyedipour等提出了一種反步控制方法,通過(guò)Lyapunov理論分析了系統(tǒng)穩(wěn)定性。針對(duì)導(dǎo)彈IGC系統(tǒng),Ibarrondo等基于反步控制完成了IGC設(shè)計(jì),該方法的主要缺陷是,在解算虛擬控制量的時(shí)候容易造成微分膨脹問(wèn)題。為此,Wang等在進(jìn)行導(dǎo)彈縱平面IGC設(shè)計(jì)時(shí),運(yùn)用低通濾波器進(jìn)行求解,有效地避免了微分膨脹現(xiàn)象的出現(xiàn)。Guo等針對(duì)攔截彈IGC設(shè)計(jì)中存在的噴流擾動(dòng),運(yùn)用動(dòng)態(tài)面控制有效減弱了控制量峰值。響應(yīng)速度快、實(shí)踐難度小、系統(tǒng)穩(wěn)定性強(qiáng)等是SMC的顯著優(yōu)勢(shì),Jiang等基于一階滑模提出了IGC設(shè)計(jì)方法,運(yùn)用視線角與視線角速率構(gòu)造滑模面。Koren等研究了導(dǎo)彈攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)時(shí)的IGC設(shè)計(jì)問(wèn)題,提出了無(wú)需目標(biāo)機(jī)動(dòng)先驗(yàn)信息的一階SMC方法,具有一定的實(shí)際應(yīng)用潛力。Sagliano等基于高階滑模設(shè)計(jì)了飛行器IGC控制指令,在一定程度上提升了制導(dǎo)系統(tǒng)的整體性能。同時(shí),作用于系統(tǒng)內(nèi)、外部的不確定性干擾,無(wú)疑對(duì)IGC設(shè)計(jì)施加了更多的壓力。因此,Wang等運(yùn)用擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(extended state observer, ESO)精確地估計(jì)出未知干擾,提高了IGC系統(tǒng)的魯棒性。ESO由Han首次提出,可以迅速準(zhǔn)確地觀測(cè)出不確定性干擾，值得一提的是,它并不需要研究對(duì)象準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型。進(jìn)一步地,Wang等將IGC設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為狀態(tài)變量的跟蹤問(wèn)題,設(shè)計(jì)ESO估計(jì)目標(biāo)機(jī)動(dòng),但未將ESO的觀測(cè)誤差納入到系統(tǒng)穩(wěn)定性分析當(dāng)中。

在實(shí)際作戰(zhàn)中,為了提升對(duì)目標(biāo)的毀傷效果,往往會(huì)要求彈體以一定的攻擊角命中目標(biāo);制導(dǎo)炮彈區(qū)別于導(dǎo)彈等的最大特征,就是發(fā)射后始終處于自旋狀態(tài),這限制了視線角速率的測(cè)量,上述約束條件顯然向IGC設(shè)計(jì)提出了新的挑戰(zhàn),尤其是在同時(shí)還要兼顧系統(tǒng)一致最終有界(uniformly ultimately bounded, UUB),而這些恰恰是客觀存在且亟待解決的重要問(wèn)題。值得注意的是,相對(duì)于導(dǎo)彈等高速飛行器,制導(dǎo)炮彈只采用電動(dòng)舵機(jī)作為唯一的執(zhí)行機(jī)構(gòu),而齒隙是制約舵機(jī)性能的重要非線性因素,但在上述文獻(xiàn)中,均是將舵機(jī)視為低階的理想模型,難以反映出實(shí)際存在于舵機(jī)中的非線性特性與動(dòng)態(tài)特性對(duì)飛行控制的影響程度,因此在設(shè)計(jì)IGC方法時(shí)考慮舵機(jī)齒隙具有重要的意義。

然而,齒隙死區(qū)模型具有非連續(xù)、不可微等非線性特性,并且重要的參數(shù)通常也很難精確測(cè)量出來(lái),這在一定程度上阻礙了齒隙模型建立與精確補(bǔ)償控制,于是諸多學(xué)者先后提出了包括逆模型、遲滯模型等在內(nèi)的一些齒隙非線性模型。但是在舵機(jī)三閉環(huán)控制系統(tǒng)中,齒隙很難直接折算到控制指令的輸入端,這限制了逆模型的推廣與應(yīng)用,另一方面,遲滯模型雖然具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的優(yōu)勢(shì),但它是不可微的,容易導(dǎo)致傳動(dòng)力矩在換向時(shí)發(fā)生震蕩。為了能夠?qū)ζ溥M(jìn)行高精度的逼近,文獻(xiàn)[30]設(shè)計(jì)了一種便于系統(tǒng)控制的近似死區(qū)模型,它具有連續(xù)可微的性質(zhì),文獻(xiàn)[31]進(jìn)一步闡明了采用該模型描述齒隙的合理性與可行性,并分析論證了參數(shù)選取與逼近精度的關(guān)系。

本文綜合考慮了多項(xiàng)約束與齒隙因素,基于動(dòng)態(tài)面滑模(dynamic surface sliding mode, DSSM)控制與Lyapunov穩(wěn)定性理論,提出了考慮齒隙的多約束導(dǎo)引控制一體化(IGC with multiple constraints and backlash， IGCMCB)方法。需要解決下列幾項(xiàng)問(wèn)題:首先,針對(duì)不確定干擾與視線角速率難以測(cè)量,要設(shè)計(jì)ESO對(duì)其進(jìn)行實(shí)施準(zhǔn)確迅速的觀測(cè),并將觀測(cè)誤差納入到系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中;然后,為了在有限時(shí)間內(nèi)零化視線角跟蹤誤差與視線角速率,需要結(jié)合彈目距離與接近速率,設(shè)計(jì)具有自適應(yīng)指數(shù)趨近律的非奇異終端滑模,并且運(yùn)用DSSM消除控制量的高頻抖振;最后,IGCMCB不僅需要使制導(dǎo)炮彈滿足多項(xiàng)約束條件和全系統(tǒng)狀態(tài)UUB,同時(shí)也應(yīng)該有效地削弱齒隙對(duì)于IGC設(shè)計(jì)的影響。

1 模型建立

1.1 IGC設(shè)計(jì)模型

在縱平面中,構(gòu)建制導(dǎo)炮彈IGC設(shè)計(jì)模型,示意如圖1所示。

圖1 制導(dǎo)炮彈的IGC設(shè)計(jì)模型Fig.1 IGC design model of guided projectile

圖1中,表示艦炮制導(dǎo)炮彈,為目標(biāo),、、、、、分別為基準(zhǔn)系、彈體系、彈道系、視線系、目標(biāo)基準(zhǔn)系、目標(biāo)彈道系,、與、表示彈體和目標(biāo)的速度、彈道傾角,、、、、、分別表示彈目距離、視線角、俯仰角、攻角、舵偏角、水平風(fēng)速,2、2表示彈體加速度在系的分量,8、8表示目標(biāo)加速度在系的分量。為便于分析討論,作以下合理假設(shè):

視目標(biāo)為質(zhì)點(diǎn),、、均易通過(guò)成熟途徑獲取,且始終滿足>。

彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系為

(1)

式中:=-；=-；為目標(biāo)機(jī)動(dòng)引入的干擾；2、2分別表示為

(2)

在縱平面內(nèi),彈體動(dòng)力學(xué)方程為

(3)

式中:、表示俯仰力矩、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,其中,為

(4)

升力主要由產(chǎn)生,將由產(chǎn)生的升力視為有界不確定干擾。

根據(jù)文獻(xiàn)[14],可以將攻擊角視為在彈體命中目標(biāo)時(shí),彈體速度與目標(biāo)速度之間的夾角,并且約束可以等價(jià)地轉(zhuǎn)換為對(duì)的終端值的約束。

1.2 含齒隙的雙慣量舵機(jī)模型

圖2 含齒隙的舵機(jī)雙慣量模型Fig.2 Double inertia model of canard with backlash

該模型可由如下傳動(dòng)力矩方程描述:

(5)

式中:=max為鉸鏈矩系數(shù),max為舵機(jī)最大力矩;=-為驅(qū)動(dòng)、從動(dòng)軸之間的相對(duì)轉(zhuǎn)角,即齒隙寬度,且有-2≤≤2;()為連續(xù)不可微的死區(qū)函數(shù)。為了便于設(shè)計(jì),引入連續(xù)可微的近似死區(qū)函數(shù):

(6)

記()與()的逼近誤差為Δ()。

彈載舵機(jī)的電機(jī)伺服系統(tǒng)采用三閉環(huán)控制方式,同時(shí),引入含有非線性齒隙的舵機(jī)雙慣量模型,記、、分別表示電流、速度、逆變器的比例控制系數(shù),為位置控制器輸出的控制信號(hào),為速度環(huán)反饋系數(shù)。

1.3 近岸目標(biāo)模型

近岸目標(biāo)可以由一階慣性環(huán)節(jié)描述:

(7)

1.4 系統(tǒng)狀態(tài)空間模型

(8)

式中:=e-(1-e-)(1+e-)；=1-2e-(1+e-)。為了便于分析討論,根據(jù)系統(tǒng)實(shí)際情況,作合理假設(shè)如下:

Δ()在定義域上屬于連續(xù)函數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)=±時(shí)不可導(dǎo),原因是左導(dǎo)數(shù)不等于右導(dǎo)數(shù),但在除此以外的定義域上,均可導(dǎo),并且導(dǎo)數(shù)有界。

2 IGCMCB設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)方法目的為針對(duì)含舵機(jī)齒隙雙慣量模型的IGC系統(tǒng)式(8),在約束、測(cè)量受限、(=2,3,4,6,8)未知有界的工況下,得到適宜的控制量,在有限時(shí)間內(nèi)零化、,確保系統(tǒng)UUB,迅速穩(wěn)定地收斂至平衡點(diǎn)附近充分小的鄰域內(nèi)。

設(shè)計(jì)方法IGCMCB結(jié)構(gòu)原理如圖3所示,主要由ESO、非奇異終端滑模(nonsingular terminal sliding mode, NTSM)與DSSM等構(gòu)成,現(xiàn)分別對(duì)它們進(jìn)行設(shè)計(jì),隨后再進(jìn)行閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。

圖3 IGCMCB的結(jié)構(gòu)原理示意圖Fig.3 Schematic diagram of IGCMCB structure and principle

2.1 ESO設(shè)計(jì)

(9)

式中:0<<<；0<<<1；0<2<1(=1,2)；非線性函數(shù)fal為

(10)

進(jìn)一步化簡(jiǎn)式(9),可得觀測(cè)誤差的動(dòng)態(tài)方程組為

(11)

式中:fal為分段非線性函數(shù),顯然需要分情況進(jìn)行討論,當(dāng)<|21|時(shí),有等式fal(21,,)=|21|sign(21)成立,結(jié)合等式21=|21|(1-)|21|sign(21),式(11)可化簡(jiǎn)為

(12)

(13)

(14)

(15)

證畢

為了迅速準(zhǔn)確地觀測(cè)出不確定性干擾(=3,4,6,8),定義觀測(cè)變量、,定義觀測(cè)誤差為1=-、2=-,分別設(shè)計(jì)二階ESO為

(16)

式中:各參數(shù)定義、取值范圍以及函數(shù)形式參照ESO模型式(9)。

2.2 NTSM設(shè)計(jì)

為保證系統(tǒng)狀態(tài)收斂的快速性,同時(shí)避免奇異問(wèn)題出現(xiàn),設(shè)計(jì)NTSM為

=+||sign(), 0<；1<<2

(17)

對(duì)式(17)求導(dǎo)可得

(18)

(19)

聯(lián)立式(8)和式(9),并舍棄奇異因子||(1-)(),推導(dǎo)虛擬控制量3為

(20)

針對(duì)系統(tǒng)式(8)前兩個(gè)等式構(gòu)成的子系統(tǒng),采用ESO模型式(9)與NTSM模型式(17)和式(19),通過(guò)選擇合適的參數(shù),則能使系統(tǒng)狀態(tài)、在有限時(shí)間內(nèi)收斂至零。

(21)

(22)

根據(jù)引理2,、可以在有限時(shí)間內(nèi)收斂至零。

證畢

2.3 DSSM設(shè)計(jì)

系統(tǒng)式(8)屬于高階非線性系統(tǒng),為了對(duì)其進(jìn)行有效的鎮(zhèn)定,并且避免反步法產(chǎn)生的微分膨脹問(wèn)題,需要運(yùn)用DSSM進(jìn)行方法設(shè)計(jì)。

設(shè)計(jì)3使→0,通過(guò)一階濾波器得到3,其有時(shí)間常數(shù):

(23)

定義動(dòng)態(tài)面3為=-3,求導(dǎo)可得

(24)

設(shè)計(jì)DSSM的指數(shù)趨近律為

(25)

同理,設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)面4～8分別為

=-，=4,5，…,8

(26)

式中:為虛擬控制量的濾波值,設(shè)計(jì)與控制量分別為

(27)

式中:|1|≤(=3,4,6,8),0≤,0≤,0<(=3,4，…,8),為避免對(duì)(=3,4，…,8)直接求導(dǎo)而產(chǎn)生微分膨脹問(wèn)題,設(shè)計(jì)一階濾波器為

(28)

至此,IGCMCB設(shè)計(jì)完畢,由ESO模型式(9)和式(16),NTSM模型式(17)和式(20),DSSM模型式(23)～式(28)組成。

IGCMCB中的(=2,3,…,8)為滑模切換項(xiàng)增益,與其對(duì)應(yīng)的符號(hào)函數(shù)共同組成滑模切換項(xiàng),作用是抑制不確定干擾并保證系統(tǒng)快速穩(wěn)定,而||(2-)()雖然也帶有符號(hào)項(xiàng),但它僅僅是由NTSM引入的附加切換項(xiàng)。

3 穩(wěn)定性分析

定義虛擬控制量誤差為

=-，=3,4，…,8

(29)

進(jìn)行求導(dǎo),可得

(30)

進(jìn)一步推導(dǎo),可得

(31)

=++

(32)

選取閉環(huán)系統(tǒng)Lyapunov函數(shù)為

(33)

對(duì)于系統(tǒng)式(8),采用IGCMCB設(shè)計(jì)方法,通過(guò)選擇合適的參數(shù),則能夠使閉環(huán)系統(tǒng)UUB,并且能夠迅速穩(wěn)定地收斂至平衡點(diǎn)附近充分小的鄰域內(nèi)。

對(duì)全系統(tǒng)Lyapunov函數(shù)式(33)進(jìn)行求導(dǎo),并結(jié)合上述分析,推導(dǎo)可得

(34)

為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定,在選取參數(shù)時(shí)需要滿足以下條件:

(35)

令正常數(shù)=min{(=1,2,…,13)},則式(34)可以進(jìn)一步化簡(jiǎn)為

(36)

(37)

證畢

盡管式(35)給出了保證系統(tǒng)穩(wěn)定性的參數(shù)選取范圍,但由于受到多方面因素的約束,例如,在提高系統(tǒng)收斂速度的同時(shí),需用過(guò)載往往容易超過(guò)可用過(guò)載,因此給出設(shè)計(jì)參數(shù)的具體定量選擇標(biāo)準(zhǔn)是比較困難的。目前常采用的方法是綜合考慮設(shè)計(jì)方法與實(shí)際物理環(huán)境,再通過(guò)大量的數(shù)學(xué)仿真來(lái)進(jìn)行定量選擇。

為了便于定理3的推導(dǎo)證明,在中并未包含ESO模型式(9)和式(16)的觀測(cè)誤差項(xiàng),但結(jié)合定理1可知,當(dāng)中涵蓋這些ESO觀測(cè)誤差項(xiàng)時(shí),定理3是同樣成立的。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

本節(jié)的主要目的是分別在目標(biāo)固定與蛇形機(jī)動(dòng)的工況下,通過(guò)數(shù)學(xué)仿真對(duì)IGCMCB進(jìn)行分析與驗(yàn)證。微分方程組解算方法采用4階Runge-Kutta,步長(zhǎng)10 ms。仿真環(huán)境、彈體、舵機(jī)以及IGCMCB的參數(shù)設(shè)置分別如表1～表4所示。

表1 仿真環(huán)境參數(shù)Table 1 Simulation environment parameters

表2 彈體參數(shù)Table 2 Projectile parameters

表3 舵機(jī)參數(shù)Table 3 Canard parameters

表4 IGCMCB參數(shù)Table 4 IGCMCB parameters

表1～表3中下標(biāo)“0”表示參數(shù)初值。根據(jù)在第1節(jié)中建立的設(shè)計(jì)模型可知,、2、2、等是由其他已定義變量構(gòu)成的,因此僅需要給出Δ2、Δ2、Δ、、等項(xiàng)的數(shù)值,以便于定量分析干擾項(xiàng)。

為了探究舵機(jī)齒隙對(duì)于IGC設(shè)計(jì)的影響,同時(shí)又能夠體現(xiàn)出IGCMCB抑制齒隙的有效性,引入自適應(yīng)動(dòng)態(tài)面控制(adaptive dynamic surface control, ADSC)作為對(duì)比,含齒隙舵機(jī)部分采用PID控制,簡(jiǎn)記為ADSC&PID。

4.1 工況1:固定目標(biāo)

表5 工況1的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果Table 5 Simulation results of condition 1

圖4 工況1仿真實(shí)驗(yàn)曲線Fig.4 Simulation curves of operating condition 1

4.2 工況2:蛇形機(jī)動(dòng)目標(biāo)

表6 工況2的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果Table 6 Simulation results of condition 2

圖5 工況2仿真實(shí)驗(yàn)曲線Fig.5 Simulation curves of operating condition 2

5 結(jié) 論

針對(duì)艦炮制導(dǎo)炮彈在實(shí)施對(duì)岸遠(yuǎn)程火力支援的末段,考慮齒隙、約束攻擊角以及測(cè)量視線角速率受限,基于DSSM與ESO設(shè)計(jì)了IGCMCB,主要從構(gòu)建模型、方法設(shè)計(jì)、系統(tǒng)穩(wěn)定性分析以及仿真實(shí)驗(yàn)等4個(gè)方面展開(kāi)了詳細(xì)的研究,現(xiàn)總結(jié)全文如下:首先,設(shè)計(jì)了ESO準(zhǔn)確迅速地估計(jì)出視線角速率與各類干擾,分析了由觀測(cè)誤差所組成系統(tǒng)的穩(wěn)定性,為導(dǎo)引控制提供了關(guān)鍵必要信息;然后,結(jié)合彈目距離與接近速率,設(shè)計(jì)了具備自適應(yīng)指數(shù)趨近律的NTSM,在有限時(shí)間內(nèi)零化了視線角跟蹤誤差與視線角速率,運(yùn)用DSSM成功地避免了控制量高頻抖振;最后,IGCMCB使制導(dǎo)炮彈在滿足多項(xiàng)約束和系統(tǒng)UUB的同時(shí),有效地削弱了齒隙對(duì)IGC設(shè)計(jì)的影響,所需信息均可通過(guò)成熟技術(shù)途徑獲取,具有一定的理論意義與應(yīng)用價(jià)值。