二維有界區(qū)域上具有非線性梯度項的拋物系統(tǒng)解的存在性

李遠飛

(廣州華商學院數(shù)據(jù)科學學院，廣東 廣州 511300)

1 引言及準備工作

本文研究具有非線性梯度項的耦合反應-擴散方程：

(1)

(2)

(3)

u(x,0)=u0(x),v(x,0)=v0(x),x∈Ω,

(4)

0≤g1(ξ,η)≤ξp1ηq1, 0≤g2(ξ,η)≤ξp2ηq2,

(5)

其中p1,p2,q1,q2是大于零的常數(shù)且0

在過去的幾十年中,關于線性和非線性拋物方程解的存在性以及爆破現(xiàn)象一直是人們關注的焦點.事實上,方程(1)—(4)的幾種特殊形式已經(jīng)得到了研究.2003年,Wang[4]研究了非線性邊界條件下的半線性拋物方程

ut=Δu+up,vt=Δv,x∈BR,t>0,

u(x,0)=u0(x),v(x,0)=v0(x),x∈BR,

其中Δ是拉普拉斯算子,BR是N上的一個半徑為R的球,n是?BR上的外單位法向量.對方程中的參數(shù)做出一定的限制之后,得到解的爆破率的上界和下界.Chen[5]則把文獻[4]的結果推廣到了熱量方程

ut=Δu,vt=Δv,x∈Ω,t>0,

u(x,0)=u0(x),v(x,0)=v0(x),x∈Ω.

2013年,Xu等[6]考慮了以下耦合反應-擴散問題：

ut=Δu+upvq,vt=Δv+urvs, (x,t)∈Ω×(0,t*),

u=v=0, (x,t)∈?Ω×(0,t*),

u(x,0)=ρu0(x),v(x,0)=ρv0(x),x∈Ω.

該系統(tǒng)模擬了各種物理現(xiàn)象,例如描述了熱在雙組分連續(xù)介質中的擴散和燃燒過程、電導率、體積能量釋放和核爆炸.

本文研究方程(1)—(4)的爆破現(xiàn)象和全局存在性.當爆破發(fā)生時,推導爆破時間的下界.事實上,不管爆破最后有沒有發(fā)生,這種下界都是有意義的.例如文獻[8]提到的2003年哥倫比亞號航天飛機的災難.由于航天飛機發(fā)射時被一塊脫落的泡沫擊中飛機左翼,導致隔熱材料局部受損.結果,在重返大氣層時，航天飛機由于在受損部分附近產(chǎn)生的巨大熱量而解體.事實上,以前的幾架航天飛機也有類似的問題,但它們都能安全著陸.一些工程師懷疑這些損傷太小,航天飛機在溫度變得足夠高之前已經(jīng)著陸.更多關于解爆破性研究和解存在性研究的最新成果,參見文獻[9-16].

本文重點研究當N=2時耦合反應擴散方程(1)—(4)爆破時間的下界.受文獻[7]的啟發(fā),本文通過定義稍微不同的輔助函數(shù),利用一階微分不等式技巧和能量估計的方法,推導爆破時間的下界.并且推導了解全局存在的充分條件.

2 重要引理

引理1[17]設Ω是N,N≥2上的有界星型區(qū)域.若w∈C1(Ω),則有

其中ρ0=min?Ω(x·n),d=max?Ω|x|,n>1.

利用H?lder不等式,可得

(6)

利用不等式

(a+b)l≤max{1,2l-1}(al+bl),a,b>0, 0

和式(5),由引理1可得

(7)

引理2[16,18]設Ω是2上的有界凸區(qū)域.則存在依賴于Ω及其邊界?Ω大于零的常數(shù)Λ1使得

其中δ1是大于零的任意常數(shù).所以

(8)

取δ1足夠小并對區(qū)域Ω做適當?shù)南拗剖沟?/p>

由式(8)可得以下引理.

引理3設Ω是2上的有界星型區(qū)域.若w∈C1(Ω),則有

3 N=2時解的爆破現(xiàn)象

利用上一節(jié)給出的引理,本節(jié)推導爆破發(fā)生時爆破時間的下界.為此,建立以下輔助函數(shù)：

(9)

首先對φ(t)求導,再利用散度定理和方程(1)—(4),可得

I1+I2+I3+I4+J1+J2+J3+J4.

(10)

利用H?lder不等式、Young不等式和式(7)并注意到0

其中kij,i,j=1,2是大于零的常數(shù),ε1,ε2是大于零的任意常數(shù).記

則由式(11)可得

(12)

類似地,當0

(13)

其中ε3,ε4,ε′3,ε′4是大于零的任意常數(shù).

利用H?lder不等式, Young不等式和引理2,可得

其中ε3是大于零的任意常數(shù),

其中ε4是大于零的任意常數(shù).

下一步我們考慮0

(17)

其中c′7是大于零的常數(shù).

顯然

(18)

再利用引理3,由式(18)可得

(19)

類似地,有

(20)

由式(19)和(20),可得

(21)

若01,s+r>1,把式(12)、(13)、(14)、(15)和(21)代入到式(10),可得

(22)

取適當?shù)摩?,ε′1,ε2,ε′2,ε3,ε4使得

(23)

由式(22)可得

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

其中θi(i=1,2,3,4)是大于零的任意常數(shù)，

取適當?shù)摩萯(i=1,2,3,4)使得

c12θ1+c′12θ2+c22θ3+c′22θ4=c8,

再把式(25)—(28)代入到式(24)得

(29)

其中c9=c11+c′11+c21+c′21.

如果方程的解在某有限時刻t*發(fā)生爆破,即limt→t*φ(t)=∞,對式(29)從0到t*積分可得爆破時間的下界.此結果總結為以下定理.

定理1設u和v是方程(1)—(4)的非負解,其中Ω是2上的一個有界光滑的凸區(qū)域,g1,g2滿足式(5)且01,s+r>1.如果方程(1)—(4)的解在φ(t)的測度下在某有限時刻t*處發(fā)生爆破的話,則爆破時間t*一定具有下界,即

(30)

注1由于式(30)右邊分母中后四項的指數(shù)都是大于1的,所以式(30)右邊的積分是收斂的.

注2如果01,0

(31)

又由于

(32)

(33)

其中θ5,θ6是大于零的任意常數(shù)，

把式(24)—(27)和式(32)、(33)代入到式(31)并取θi(i=1,2,…,6)，得

c12θ1+c′12θ2+c22θ3+c′22θ4+c′qθ5+c′(s,r)θ6=c8,

進而得

(34)

其中c9=c11+c′11+c21+c′21+cq+c(s,r).與式(29)類似,我們可得以下定理.

定理2設u和v是方程(1)—(4)的非負解,其中Ω是2上的一個有界光滑的凸區(qū)域,g1,g2滿足式(5)且01,0

類似地,當01時,可得到以下定理.

定理3設u和v是方程(1)—(4)的非負解,其中Ω是2上的一個有界光滑的凸區(qū)域,g1,g2滿足式(5)且01.如果方程(1)—(4)的解在φ(t)的測度下在某有限時刻t*處發(fā)生爆破的話,則爆破時間t*一定具有下界,即

注3若0

(35)

如果方程(1)—(4)的解在φ(t)的測度下在某有限時刻t*處發(fā)生爆破的話,由式(35)可知必存在一個時刻t0

定理4設u和v是方程(1)—(4)的非負解,其中Ω是2上的一個有界光滑的凸區(qū)域,g1,g2滿足式(5)且0

注4如果方程(1)和(2)由方程

(36)

(37)

代替，只要限定00,定理1—定理4仍然成立.

4 結論

本文研究了具有非線性邊界條件下，當N=2時一類拋物方程解的爆破現(xiàn)象,通過對方程中的參數(shù)進行一定的限制,得到了爆破解的下界,并獲得了全局解的存在性.同時我們注意到當N≥3時，引理2就不再成立了,此時可以利用文獻[19]獲得一個微分不等式.

利用此不等式,我們可以繼續(xù)研究問題(1)和(2)，或(32)和(33)解的存在性和爆破現(xiàn)象.