解三角形題中尋找邊角關系的幾個視角

堯祿華

解三角形題是歷年高考試題考查的重點，出現(xiàn)的位置常見于前兩道大題.這類題目并不屬于難題，但解題方法較為靈活，解題切入角度較多.部分考生在選擇解題方向時，經常產生一定困惑.筆者根據(jù)多年的教學經驗，感覺若能從三角形構成的要素出發(fā)，即三邊三角的關系的視角，結合方程思想，能快速順利解決大部分考題.以下通過具體實例談談尋找邊角關系的幾個視角，以期幫助學生從本質上理解解三角形問題的一般模式，從而快速尋找到突破口，提升解題能力，提高解題素養(yǎng).

視角1：補角視角

一個三角形中，若某邊出現(xiàn)中點，或者三等分點時，可以通過兩角互補，余弦值相加等于零，從而得到三邊的一個關系.或者利用兩角互補，正弦值相等，再結合正弦定理，得出邊角等量關系.

例1：（2017年全國III卷理科17題）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知sinA+3cosA=0 ，a=27，b=2.（1）求c;（2）設D為BC邊上一點，且AD⊥AC，求△ABD的面積.

解：第（1）問直接余弦定理即可得出答案c=4;第（2）問，注意到點D為BC上一點，從補角入手，構建等量關系，方法也不復雜，關鍵是此法操作性強，學生也更易掌握.

因為∠ADB+∠ADC=π，sin∠ADB=sin∠ADC

又sin∠ADB=AB·sin∠BADBD，sin∠ADC=ACCD，

所以BD=CD，

所以S△ABD=S△ACD=3.

視角2：兩個三角形視角

一個三角形若已知兩角一邊，或者兩邊及這兩邊的夾角，或者三邊，結合正余弦定理、面積公式等，就可以求出這個三角形的其他要素，此時三角形是確定的，我們說這個三角形是可解的.若是已知兩邊或一邊的對角，此時三角形不能確定，可能無解、一解或二解.實際解題中，給出的已知條件中，往往只給出其中的兩個條件，這時三角形并不能直接確定，需要通過借助旁邊與之相關的三角形再構建一個邊角的等量關系，才能求解.我們把這種方法稱作解兩個三角形，下面舉例說明.

例2：（2021佛山質量檢測卷18題）如圖，梯形ABCD中，AB//CD，AB=2，CD=5，∠ABC=2π3.

（1）若AC=27，求梯形ABCD面積;（2）若AC⊥BD，求tan∠ABD.

解：本題第（1）問易得梯形高23，從而梯形ABCD面積為73;第（2）問大部分學生感覺比較難，事實上，我們從兩個三角形出發(fā)，建立方程組，本題也是可以輕松拿下.注意到ΔABC與ΔDCB有一條公共邊BC，并且其他內角都可以用∠ABD表示，不妨設∠ABD=θ，于是有ΔABC中，ABsin（θ-π6）=BCsin（π2-θ）……①;

ΔDCB中，DCsin（2π3-θ）=BCsinθ……②;

聯(lián)立①②化簡得53tan2θ-7tanθ-23=0，

解得tanθ=233.

視角3：等面積視角

高中學了正弦定理后，則常見的三角形面積公式除了SΔ=12ah，還有SΔ=12absinC.對于有些題目從等面積角度出發(fā)，構建邊與角的等量關系，往往解題更加方便，簡潔.

例3：題目見上述例1第（2）問.

解：本題若從面積相等的角度考慮，步驟非常簡潔，因為S△ABDS△ACD=12AB·AD·sinπ612AC·AD=1，

又因為S△ABC=12×4×2sin∠BAC=23，從而得出△ABD的面積為3.

本文從高考題出發(fā)，介紹了尋找邊角關系的三個視角，事實上，處理解三角形問題，還有其他視角，其他文章也多有介紹.但無論哪種視角，都應該從問題本質出發(fā).在數(shù)學概念教學中，要理解數(shù)學，掌握數(shù)學的本質特征.解題教學中，更應該從數(shù)學本質出發(fā)，對于解三角形，最本質的特征就是從構成三角形的基本要素三邊三角關系出發(fā)，結合正弦定理、余弦定理、三角形內角和定理、平角余弦互補、面積公式等構建等量關系，綜合方程思想，求出相關要素.