初中數(shù)學(xué)函數(shù)應(yīng)用題的解題對(duì)策研究

程 曦

(浙江省杭州市錢塘新區(qū)觀瀾中學(xué) 310018)

函數(shù)知識(shí)是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重要的內(nèi)容之一，在課程中占據(jù)著很大的份額，同時(shí)也是中考數(shù)學(xué)中重要的題型，占據(jù)著較大比重的分值.因此，作為初中一線數(shù)學(xué)教師，必須做好初中函數(shù)應(yīng)用題的分析和研究工作，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到函數(shù)知識(shí)學(xué)習(xí)的重要性，傳授學(xué)生解題的對(duì)策，培養(yǎng)他們解題的思維，提升他們解題的能力，理解并掌握研究函數(shù)的學(xué)習(xí)方法，從而構(gòu)建高效課堂，并為學(xué)生的中考提供幫助，為后續(xù)函數(shù)的學(xué)習(xí)提供方法.

根據(jù)筆者多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，中考考題年年變，但基本上都是換湯不換藥.作為初中數(shù)學(xué)教師，我們要贏在課堂教學(xué)中，提高課堂效率，認(rèn)真分析函數(shù)應(yīng)用題的知識(shí)點(diǎn)，并將其貫徹到中考當(dāng)中.基于此，筆者認(rèn)為初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)從如下幾個(gè)方面著手.

1 把握知識(shí)體系，明確題目要求

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要想傳授學(xué)生函數(shù)應(yīng)用題的解題思路和技巧，首先應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生把握知識(shí)體系，明確題目的要求，提煉題目的有效信息.用通俗的話講就是讓學(xué)生讀懂題目，這也是提升學(xué)生函數(shù)應(yīng)用題解題技巧和能力的前提基礎(chǔ).在浙教版初中數(shù)學(xué)教材中，函數(shù)知識(shí)主要分為一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)三種類型，其中，二次函數(shù)是中考數(shù)學(xué)試卷必出的題型，且在總分值中占比較大.為了提高學(xué)生二次函數(shù)解題的準(zhǔn)確率，教師在講解函數(shù)應(yīng)用題的過程中，就必須先引導(dǎo)學(xué)生把握函數(shù)知識(shí)的整體脈絡(luò)，提升自身的讀題能力，讓他們能夠快速抓住問題的題干和題眼，明確自己要解決的問題是什么，這樣才能幫助學(xué)生快速找到解題的思路和方法，準(zhǔn)確解決問題.在具體操作中，教師應(yīng)結(jié)合中考的考點(diǎn)和要求，幫助學(xué)生理清題目中要考查的知識(shí)點(diǎn)是什么，然后能根據(jù)解析式找到特殊點(diǎn)，利用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像分析題目中隱含的信息，為解決問題做準(zhǔn)備.

例如：如圖1所示，拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(2，0)，與y軸相交于點(diǎn)C(0，6)，其對(duì)稱軸l為x=-2.

圖1

(1)求二次函數(shù)的解析式和其頂點(diǎn)的坐標(biāo).

(2)如果動(dòng)點(diǎn)N在對(duì)稱軸l上，動(dòng)點(diǎn)P在第二象限內(nèi)的拋物線上，①當(dāng)PA=NA，PA⊥NA時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；②當(dāng)四邊形PABC的面積最大時(shí)，求四邊形PABC的面積最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

在講解這道應(yīng)用題時(shí)，教師應(yīng)巧妙運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將復(fù)雜的問題向簡(jiǎn)單化的問題轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生對(duì)該問題熟悉起來，這樣才能讀懂問題，在本題中，可以將點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段的長(zhǎng)度，再把線段的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為方程式，把面積最大值的問題轉(zhuǎn)化為底邊(線段)的最大值問題，這樣才能簡(jiǎn)化問題并讀懂問題，從而快速、高效、準(zhǔn)確地解答問題，并掌握相應(yīng)題型的解答規(guī)律，這樣才能為中考函數(shù)應(yīng)用題的解題提供幫助.

2 把握解題細(xì)節(jié)，進(jìn)行類比分析

在對(duì)函數(shù)應(yīng)用題進(jìn)行解答時(shí)，把握解題的細(xì)節(jié)，并巧妙進(jìn)行類比分析是解答函數(shù)應(yīng)用題時(shí)一個(gè)十分重要的技巧和方法.常用的類比分析就是指在解題的過程中，引導(dǎo)學(xué)生回顧與該題型相似的題目，然后探尋二者之間的聯(lián)系，根據(jù)類型模擬曾經(jīng)的解題方法，從而快速解決問題.在實(shí)際教學(xué)中，這種解題方法通常也被稱為“變式訓(xùn)練”，能達(dá)到舉一反三的教學(xué)效果.但要想運(yùn)用好這種解題方法，初中數(shù)學(xué)教師還必須引導(dǎo)學(xué)生細(xì)致分析該類型題目解題的思路，把握解題的細(xì)節(jié)，了解應(yīng)注意的事項(xiàng)，如函數(shù)自變量的取值范圍、函數(shù)的值域等，切不能一味生搬硬套，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.

例如，在教學(xué)浙教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第一章《二次函數(shù)》第三節(jié)《二次函數(shù)的性質(zhì)》的內(nèi)容時(shí)，作業(yè)部分第6題：籃球運(yùn)動(dòng)員投籃后，籃球運(yùn)動(dòng)的路線為拋物線的一部分，拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2.5，求(1)球運(yùn)動(dòng)路線的函數(shù)表達(dá)式和自變量的取值范圍；(2)球在運(yùn)動(dòng)中離地面的最大高度.

在講解這道題時(shí)，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生回顧上一節(jié)數(shù)學(xué)課作業(yè)題中的第5題，運(yùn)動(dòng)員推鉛球的問題，回想教師在講解這一道題解題的思路和方法，然后把握解題的細(xì)節(jié)，根據(jù)題目給出的數(shù)據(jù)，并結(jié)合教材給出的圖示，設(shè)出未知量，并找到等量關(guān)系，求出拋物線的方程式，最后再求出未知量.

3 巧用轉(zhuǎn)化思維，實(shí)現(xiàn)數(shù)量轉(zhuǎn)換

初中學(xué)生在解答函數(shù)應(yīng)用題時(shí)，往往會(huì)因?yàn)樗悸凡磺寤蛘呤菍?duì)未知的參數(shù)理解錯(cuò)誤導(dǎo)致解答錯(cuò)誤，時(shí)間一長(zhǎng)，就會(huì)打擊到他們學(xué)習(xí)的積極性和自信心，這樣到了中考時(shí)，面對(duì)函數(shù)問題，就會(huì)影響到他們實(shí)力的發(fā)揮，進(jìn)而影響到中考答題.面對(duì)這一問題，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的指導(dǎo)和點(diǎn)撥，引導(dǎo)他們巧用轉(zhuǎn)化思維，實(shí)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)換，如運(yùn)用逆向思維進(jìn)行思考，將未知的參數(shù)變成已知數(shù)，把變量當(dāng)作常量，通過這樣的數(shù)量轉(zhuǎn)換，降低解題的難度，正確解答函數(shù)問題，逐漸培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心，豐富他們解題的技巧，提升他們解題的能力.

例如：已知x1和x2是關(guān)于x的方程(x-2)(x-m)=(t-2)(t-m)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.(1)求x1和x2的值；(2)若x1和x2分別是某直角三角形中兩直角邊的邊長(zhǎng)，當(dāng)實(shí)數(shù)m和t滿足什么條件時(shí)，該直角三角形的面積最大？求出其最大值.

在引導(dǎo)學(xué)生解答這道函數(shù)應(yīng)用題時(shí)，如果學(xué)生們直接入手分析實(shí)數(shù)m和t，幾乎是無法進(jìn)行解答的，只會(huì)讓他們陷入思維混亂當(dāng)中，從而影響到答題的準(zhǔn)確性.數(shù)學(xué)教師可以引導(dǎo)學(xué)生，將問題中的實(shí)數(shù)m和t當(dāng)成常量，可以以其中的一個(gè)常量對(duì)x進(jìn)行求解，找出x與實(shí)數(shù)m和t之間的關(guān)系式.

4 利用函數(shù)圖像，做到數(shù)形結(jié)合

在初中函數(shù)應(yīng)用題解答時(shí)，教師還可以巧妙利用函數(shù)圖像，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，這也是提升學(xué)生解題能力，將函數(shù)問題解答落實(shí)到中考當(dāng)中的有效措施.在實(shí)際應(yīng)用中，利用函數(shù)圖像，做到數(shù)形結(jié)合，能有效降低函數(shù)應(yīng)用題解題的難度，幫助學(xué)生更快、更準(zhǔn)確地解答出正確的答案.

例如，已知拋物線y=x2-2x+c的部分圖象如圖2所示.

圖2

(1)求c的取值范圍；

(2)若拋物線經(jīng)過點(diǎn)(0，-1)，試確定拋物線y=x2-2x+c的解析式.

這道函數(shù)應(yīng)用題就是一道典型的蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合思想的題目，在解答這道題時(shí)，需要學(xué)生在解題的過程中，認(rèn)真審視題目中所給出的數(shù)據(jù)及圖像，細(xì)心把握住圖像給出的信息及其囊括的相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)，然后認(rèn)真分析，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，解答出每一個(gè)未知的參數(shù).此外，教師還要引導(dǎo)學(xué)生在解出答案后，回過頭來對(duì)題目所給的圖像再一次進(jìn)行分析，細(xì)心排除掉圖像中不可能存在的情況，從而提高自己的答題準(zhǔn)確率.只有這樣做好數(shù)形結(jié)合，才能真正有效提升學(xué)生的解題能力，為他們中考取得高分奠定基礎(chǔ).

5 巧用幾何畫板，建立動(dòng)態(tài)思維

與以往的教學(xué)相比，幾何畫板可以使原來靜態(tài)的函數(shù)圖像動(dòng)起來，從而能夠給學(xué)生更加直觀的了解到二次函數(shù)的解析式與函數(shù)圖像之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.例如，在學(xué)習(xí)圖像變換的相關(guān)內(nèi)容時(shí)，教師可以利用幾何畫板動(dòng)態(tài)展示二次函數(shù)y=2x2圖像到y(tǒng)=2(x+1)2+4圖像的變化，而在以往的函數(shù)教學(xué)中，教師通常的做法只能是在黑板上畫出靜態(tài)的函數(shù)圖像，然后讓學(xué)生進(jìn)行觀察比較，但往往人工作圖會(huì)出現(xiàn)誤差，不太標(biāo)準(zhǔn)的圖形很難收到理想的教學(xué)效果.在二次函數(shù)的教學(xué)中，幾何畫板還能進(jìn)一步對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行更深入的探究，輔助學(xué)生對(duì)二次函數(shù)性質(zhì)的理解和歸納，幾何畫板中的移動(dòng)、計(jì)算、隱藏、系列等功能，能使教學(xué)活動(dòng)更加生動(dòng)形象，學(xué)生的數(shù)學(xué)理解力更強(qiáng)，教學(xué)效率更高，同時(shí)，學(xué)生有了動(dòng)態(tài)圖的直觀感受后對(duì)題目的分析也會(huì)更全面，從而加深對(duì)函數(shù)的理解，提高解決函數(shù)問題的能力.

綜上所述，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，函數(shù)知識(shí)是教學(xué)中重要的內(nèi)容，也是中考數(shù)學(xué)試卷必出的題型.在實(shí)際教學(xué)中，函數(shù)知識(shí)的內(nèi)容比較豐富，解答起來具有一定的難度.作為初中數(shù)學(xué)教師，應(yīng)在日常的教學(xué)中想方設(shè)法將其落實(shí)到中考中，結(jié)合中考的要求，讓現(xiàn)代信息技術(shù)作為輔助手段，教會(huì)學(xué)生找等量關(guān)系，提取題目中的隱含信息，然后再通過對(duì)其他條件的分析，提高學(xué)生解題和分析的能力，從而為學(xué)生的全面發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，同時(shí)也為后續(xù)的更復(fù)雜的函數(shù)學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備.