對接賦值非良策 化整為零乃妙方
——對一類數(shù)列求和問題的分析與思考

葉誠理 林新建 林品玲

(1.福建省福清第一中學(xué) 350300;2.福建省福清進(jìn)修學(xué)校 350300)

以函數(shù)、導(dǎo)數(shù)為背景的數(shù)列求和取值范圍問題，是近年來高考壓軸題的常客．對非常規(guī)的數(shù)列求和問題學(xué)生往往束手無策，需要從數(shù)學(xué)思想方法的高度對問題進(jìn)行化歸轉(zhuǎn)化、構(gòu)造賦值，難度極高．那么，有沒有比較自然的解題策略呢？下面舉一道典型例題加以剖析．

1 試題呈現(xiàn)

(2)若不等式f(x)≥1在x∈[0,+∞)時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

2 命題意圖分析

本題考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，旨在運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式恒成立問題以及構(gòu)造函數(shù)證明數(shù)列不等式的方法，綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和邏輯推理等核心素養(yǎng)．

3 解答難點(diǎn)剖析

本題難在第(3)問，對于這類出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)壓軸題中的數(shù)列求和不等式問題，常見的解題套路是對接前面的函數(shù)不等式結(jié)論，對變量x有效賦值，結(jié)合對數(shù)運(yùn)算，從而構(gòu)造與結(jié)論相匹配的數(shù)列通項(xiàng)，利用數(shù)列求和的裂項(xiàng)相消法證得不等式．

將上述式子相加可得：

原不等式得證．

評析對考生而言，完成以上這樣的對接賦值具有極高的難度，需要較強(qiáng)的數(shù)學(xué)抽象能力和直觀想象能力，他們往往束手無策，望題興嘆而已！

4 難點(diǎn)突破策略

由此可運(yùn)用化整為零策略，令

當(dāng)n≥2時(shí)，則

bn=Sn-Sn-1

由此只需證明

求導(dǎo)或利用第(2)問的結(jié)論便可輕松予以證明.

故對任意n∈N*，an

5 命題路徑探秘

將函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式結(jié)合的綜合問題是近年來高考的熱門題型．解題者遵循“求和看通項(xiàng)”這種化整為零的思路破解這類試題，而命題者則遵循“從通項(xiàng)生成和”這種逆向思維命制試題，命題過程中充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化、化整為零的數(shù)學(xué)思想，本種命題手法在全國高考卷中屢見不鮮.

例2 (2017年全國Ⅲ卷理科22)已知函數(shù)f(x)=x-1-alnx．

(1)若f(x)≥0，求a的值；

進(jìn)而不等式兩邊分別構(gòu)造兩個(gè)數(shù)列，其中右邊轉(zhuǎn)化成常規(guī)的等比數(shù)列求和，問題便水到渠成．

例3 (2014年高考全國Ⅱ卷理科17題)已知{an}滿足a1=1，an+1=3an+1．

6 教學(xué)研究感悟

為什么有許多學(xué)生解決不了一些并不復(fù)雜甚至是簡單的數(shù)學(xué)問題呢？除了極少數(shù)學(xué)生不知道相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識外，絕大部分學(xué)生不是不會方法，而是由于沒有站在思想的高度來思考和引領(lǐng)方法，或者是因?yàn)樗枷氩幻鞔_而想不起來用什么方法來處理問題．

上述試題的自然解法源于數(shù)學(xué)思想的指引，善于觀察不等式的結(jié)構(gòu)特征，把不等式兩邊看成兩個(gè)數(shù)列的求和，從而構(gòu)造兩個(gè)數(shù)列，把研究和的大小轉(zhuǎn)化成判斷通項(xiàng)的大小，體現(xiàn)了化整為零、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程思想在數(shù)學(xué)解題中的重要作用．

解題是命題的基礎(chǔ)，命題是解題的超越.作為一線數(shù)學(xué)老師，不但要研究試題的解題方法、分析試題的產(chǎn)生背景，還要揣摩命題者的思路、懂得試題的命制原理，這樣才能促使自己在教學(xué)中能更好地引領(lǐng)學(xué)生把握試題的本質(zhì)，從數(shù)學(xué)思想方法的高度提高解題的能力和素養(yǎng)．