基于高階思維的旋轉(zhuǎn)變換探究性學(xué)習(xí)
——以人教版“圓”的一道例題為例

2022-04-01 05:42:14廣東省東莞市常平中學(xué)初中部523560彭靖東

中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東) 2022年4期

廣東省東莞市常平中學(xué)初中部(523560)彭靖東

美國教育家布魯姆的教育目標(biāo)分類理論將認(rèn)知領(lǐng)域分為知識(shí),領(lǐng)會(huì),運(yùn)用,分析,綜合,評(píng)價(jià)6 個(gè)階層,其中后三個(gè)為學(xué)生在未知狀態(tài)下的學(xué)習(xí),屬于高階思維.基于高階思維的問題設(shè)計(jì),能夠幫助學(xué)生擺脫傳統(tǒng)的被動(dòng)模仿學(xué)習(xí)狀態(tài),展開深度性,探索性和創(chuàng)造性的學(xué)習(xí).

1 題目呈現(xiàn)

例1如圖1,⊙O的直徑AB為10cm,弦AC為6cm,∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D,求BC,AD,BD的長.(人教版九年級(jí)上冊第87 頁)

圖1

題目分析:此題出現(xiàn)在“圓”的第四課時(shí)——圓周角部分,主要知識(shí)點(diǎn)為直徑所對(duì)圓周角為90?,以及勾股定理計(jì)算直角三角形的邊長,難度較小.

如果對(duì)此題的學(xué)習(xí)局限于圓中線段的長度計(jì)算,那么至多就是變換一組數(shù)據(jù),進(jìn)行一次模仿性訓(xùn)練,思維難以得到較好發(fā)展.筆者注意到題目中一共6 條線段,知二求三,就剩CD沒有計(jì)算出長度了,因此向?qū)W生們拋出問題:

問題1:例1 中,在已知條件下線段CD的長度是否為確定的量?

問題2:如果線段CD的長度確定,能否求出?

問題3:如果能求出線段CD的長度,課本例題為何不設(shè)計(jì)這一問呢?

經(jīng)過思考與討論,學(xué)生們發(fā)現(xiàn)C點(diǎn)與D點(diǎn)的位置是確定的,因此CD的長度也確定.但是怎么求解,有較大困難,不少同學(xué)局限于勾股定理求邊長的定式,過C、D分別向直徑作垂線段構(gòu)造兩個(gè)小的直角三角形(如圖2),陷入了繁雜的計(jì)算,未能成功.這反映出同學(xué)們?nèi)狈φw構(gòu)造直角三角形求邊長的意識(shí),同時(shí)也對(duì)過往學(xué)習(xí)過的典型問題記憶不深刻,或者說缺乏深度思考而不能進(jìn)行方法或經(jīng)驗(yàn)的遷移.如果掌握了此前學(xué)習(xí)過的旋轉(zhuǎn)構(gòu)造直角三角形的辦法,此題能夠很快求解出為此筆者經(jīng)過整理設(shè)計(jì),開展了一節(jié)以圓為背景的平面幾何旋轉(zhuǎn)變換探究性學(xué)習(xí).

圖2

2 提出問題

例2如圖3,?ABC和?ECD都是等腰直角三角形,?ACB的頂點(diǎn)A在?ECD的斜邊DE上,求證:AE2+AD2=2AC2(提示:連接BD).

圖3

例3如圖4,AB為⊙O的直徑,D為的中點(diǎn),C為直徑AB上方半圓上一點(diǎn),連接AD,BD,AC,BC,CD,探究AC,BC,CD之間的數(shù)量關(guān)系.

圖4

問題4:解答完例2 后,你還能找出AD,BD,CD之間的數(shù)量關(guān)系嗎?

問題5:兩道題目中,你能找出相同或相似的幾何圖形嗎?

問題6:在例2 的解答中,你收獲什么經(jīng)驗(yàn),有助于解決例3 嗎?

例2 是人教版八年級(jí)下冊第十七章“勾股定理”的一道拓廣探索題,雖然直接的知識(shí)點(diǎn)是利用勾股定理發(fā)現(xiàn)三條線段之間的定量關(guān)系,但是解法中滲透了利用旋轉(zhuǎn)變換確定全等三角形,進(jìn)而確定了一個(gè)新的直角三角形,具體思路是連接BD(如圖5),然后證明?ACE∽=?BCD,得到:AE=BD,∠E=∠BDC=45?,進(jìn)而∠ADB=∠ADC+∠CDB=45?+45?=90?,所以有BD2+AD2=AB2,而?ABC是等腰直角三角形,等量代換后問題得證.

圖5

圖6

圖7

如圖8,過點(diǎn)D作線段CD的垂線交CA的延長線于點(diǎn)E,易證?BCD∽=?AED,?CED是等腰直角三角形,所以得到這相當(dāng)于把?BCD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90?,也有同學(xué)嘗試了把?ACD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90?到?BED,如圖9,也取得了成功.

圖8

圖9

上述解法的思路是通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造出一個(gè)以線段CD為直角邊的等腰直角三角形,基于過往解答例2 的經(jīng)驗(yàn),比較容易想到,當(dāng)然也可以嘗試旋轉(zhuǎn)線段AC到與BC在同一條直線上,構(gòu)造一個(gè)以AC+BC為斜邊的等腰直角三角形,然后再證明其腰長與CD相等,如圖10(可證明四邊形CEFD是平行四邊形).

圖10

3 深度探究

完成了例3 的解答后,一部分同學(xué)的成就感油然而生,但這是在做了例2 的鋪墊上所取得的效果,這一學(xué)習(xí)過程模仿的分量大于遷移,為此在例3 的基礎(chǔ)上繼續(xù)做深度探究.

問題7:如果把例3 中“D為的中點(diǎn)”這一條件改為一般情況,不再是AD=BD,比如AD=λBD,如圖11,你還能確定AC,BC,CD的之間的數(shù)量關(guān)系嗎?

問題8:如果把例3 中的C點(diǎn)改為與D點(diǎn)在同一側(cè),如圖12,你還能確定AC,BC,CD的之間的數(shù)量關(guān)系嗎?

圖12

問題9:如果把圖11 中的C點(diǎn)改為與D點(diǎn)在同一側(cè),如圖13,你還能確定AC,BC,CD的之間的數(shù)量關(guān)系嗎?

圖11

圖13

結(jié)合前面的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),學(xué)生們這一次懂得主動(dòng)構(gòu)造旋轉(zhuǎn)模型,構(gòu)造一對(duì)旋轉(zhuǎn)后呈相似關(guān)系的?ACD∽?BED,如圖14,最終得到:.

圖14

問題8 也是過點(diǎn)D作CD的垂線交BC于點(diǎn)E,構(gòu)造如圖15,得到:.

圖15

問題9 同樣是過點(diǎn)D作CD的垂線交BC于點(diǎn)E,構(gòu)造?ACD∽?BED,如圖16,得到:λBC ?AC=.

圖16

在順利完成問題7 至9 的學(xué)習(xí)后,同學(xué)們可以回答前面的問題3,對(duì)課本例題嘗試評(píng)價(jià),比較多的看法是“求CD的長”這一問難度太大,適合專門的探究性學(xué)習(xí)或者出現(xiàn)在大型測試的綜合題甚至壓軸題目中.這一觀點(diǎn)也反過來提示我們,要想具備較強(qiáng)的解題能力,獲得高階思維的發(fā)展,務(wù)必要對(duì)平時(shí)課本中的一些典型問題進(jìn)行深入探究.

4 中考鏈接

(2021 · 武漢)如圖17,在?ABC和?DEC中,∠ACB=∠DCE=90?,BC=AC,EC=DC,點(diǎn)E在?ABC內(nèi)部,直線AD與BE于點(diǎn)F.線段AF,BF,CF之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系?

(1)先將問題特殊化如圖18,當(dāng)點(diǎn)D,F重合時(shí),直接寫出一個(gè)等式,表示AF,BF,CF之間的數(shù)量關(guān)系;

圖18

(2)再探究一般情形如圖17,當(dāng)點(diǎn)D,F不重合時(shí),證明(1)中的結(jié)論仍然成立.

問題拓展.如圖19,在?ABC和?DEC中,∠ACB=∠DCE=90?,BC=kAC,EC=kDC(k是常數(shù)),點(diǎn)E在?ABC內(nèi)部,直線AD與BE交于點(diǎn)F.直接寫出一個(gè)等式,表示線段AF,BF,CF之間的數(shù)量關(guān)系.

圖19

此題考查學(xué)生們在旋轉(zhuǎn)變換中發(fā)現(xiàn)線段之間定量關(guān)系的能力,旋轉(zhuǎn)之后的全等或相似都不難發(fā)現(xiàn),難的是具有公共斜邊ED的兩個(gè)直角三角形模型中,線段EF,DF,CF之間的數(shù)量關(guān)系的確定,攻破這一關(guān),AF,BF,CF之間的數(shù)量關(guān)系按相似比代換即可求出.

5 結(jié)語